北师大版高中二年级数学上册第8章课后练习题及答案

北师大版高中二年级数学上册第8章课后练习题及答案第1页共1页北师大版高中二年级数学上册第8章课后练习题及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）1.函数f(x)=x^3-3x+1在区间[-2,2]上的最大值是A.8B.3C.0D.-8参考答案：B2.已知直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行，则a的值是A.-2B.1C.-1D.2参考答案：C3.抛物线y=x^2-4x+3的焦点坐标是A.(2,-1)B.(1,2)C.(2,1)D.(1,-2)参考答案：C4.若向量a=(1,k)与向量b=(3,-2)垂直，则k的值是A.-6B.6C.-2/3D.2/3参考答案：B5.不等式|2x-1|3的解集是A.(-1,2)B.(-2,1)C.(-1,4)D.(-2,4)参考答案：D6.圆(x-1)^2+(y+2)^2=4的圆心到直线3x+4y-5=0的距离是A.1B.2C.3D.4参考答案：A7.已知等比数列{a_n}中，a_1=2，a_3=8，则a_5的值是A.16B.32C.64D.128参考答案：B8.函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最大值是A.√2B.1C.2D.√3参考答案：A9.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，则角C是A.75°B.65°C.70°D.80°参考答案：A10.已知矩阵M=[[1,2],[3,4]]，则M的行列式det(M)的值是A.-2B.2C.-5D.5参考答案：D二、填空题（共10小题，每题2分）1.函数f(x)=ax^2+bx+c的图像的对称轴方程是______。参考答案：x=-b/2a2.抛物线y=2x^2-4x+1的顶点坐标是______。参考答案：(1,-1)3.若二次函数y=x^2-6x+5的图像与x轴交于点A和B，则线段AB的长度是______。参考答案：44.二次函数y=-3x^2+6x-1的图像开口方向是______。参考答案：向下5.函数f(x)=x^2-4x+3的图像的顶点在直线y=x上，则a的值是______。参考答案：26.抛物线y=ax^2+bx+c经过点(1,0)，(2,0)，且对称轴为x=1.5，则a的值是______。参考答案：-27.二次函数y=x^2-2x+k的图像与x轴没有交点，则k的取值范围是______。参考答案：k18.函数f(x)=x^2-2x+1的图像的顶点到y轴的距离是______。参考答案：19.抛物线y=-x^2+4x-3的图像的顶点到x轴的距离是______。参考答案：210.若二次函数y=ax^2+bx+c的图像的顶点坐标是(2,-3)，则它的对称轴方程是______。参考答案：x=2三、判断题（共10小题，每题2分）1.函数y=2^x与y=2^-x的图像关于x轴对称。参考答案：×2.抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面的概率是1/2，因此连续抛掷两次一定出现一次正面。参考答案：×3.如果ab，那么a^2b^2。参考答案：×4.在等差数列{a_n}中，若a_3=7，a_6=15，则该数列的公差为3。参考答案：√5.一个三角形的三条高线交于一点，这个点称为三角形的垂心。参考答案：√6.对任意实数x，都有sin^2(x)+cos^2(x)=1。参考答案：√7.若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1)0，则f(-1)0。参考答案：√8.在直角三角形中，如果一条直角边的长度是另一直角边长度的两倍，那么斜边的长度是较长直角边长度的√3倍。参考答案：×9.圆的半径增加一倍，其面积也增加一倍。参考答案：×10.若A是平面α内的一点，B是平面α外的一点，则直线AB与平面α一定相交。参考答案：√四、简答题（共8小题，每题2分）1.简述函数单调性的定义。参考答案：函数在其定义域的某个区间内，如果对于任意两个自变量x1,x2，当x1x2时，总有f(x1)≤f(x2)（或f(x1)≥f(x2)），则称函数在该区间上是单调递增（或单调递减）的。2.说明函数f(x)=ax^2+bx+c的图像是抛物线的条件。参考答案：当a≠0时，函数f(x)=ax^2+bx+c的图像是抛物线。其中a决定开口方向和宽窄，a0开口向上，a0开口向下，|a|越大越窄。3.列举三个常见的二次函数的顶点式表达式。参考答案：①f(x)=a(x-h)^2+k(顶点式)；②f(x)=a(x-p)(x-q)(零点式)；③f(x)=a(x^2+px+q)(一般式变形)。4.分析函数f(x)=1/x在x→0时的极限行为。参考答案：当x→0时，函数f(x)=1/x的极限不存在。因为左极限lim(x→0-)1/x=-∞，右极限lim(x→0+)1/x=+∞，左右极限不等。5.简述等差数列的前n项和公式及其推导过程。参考答案：等差数列前n项和公式S_n=n(a_1+a_n)/2=na_1+n(n-1)d/2。推导过程：S_n=a_1+a_2+…+a_n，两边乘以2得2S_n=(a_1+a_n)+(a_2+a_n)+…+(a_n+a_1)，共有n对，每对和为a_1+a_n。所以2S_n=n(a_1+a_n)，即S_n=n(a_1+a_n)/2。6.列举三个等比数列的通项公式形式。参考答案：①a_n=a_1q^(n-1)(通项公式)；②a_n=a_mq^(n-m)(已知两项求通项)；③a_n=S_n-S_(n-1)(由前n项和求通项)。7.说明函数f(x)=log_a(x)(a0,a≠1)的图像特征。参考答案：函数f(x)=log_a(x)(a0,a≠1)的图像特征：①过定点(1,0)；②当a1时单调递增，当0a1时单调递减；③图像关于y=x对称；④定义域(0,+∞)，值域R。8.分析函数f(x)=sin(x)+cos(x)的周期性。参考答案：函数f(x)=sin(x)+cos(x)的周期为2π。因为f(x+2π)=sin(x+2π)+cos(x+2π)=sin(x)+cos(x)=f(x)，且2π是最小正周期。五、应用题（共8小题，每题3分）1.已知函数f(x)=ax^2+bx+c的图像经过点(1,0)，且对称轴为x=-2，若f(0)=3，求a，b，c的值。参考答案：a=-1，b=4，c=32.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3，b=4，cosC=1/2，求△ABC的面积。参考答案：63.某工厂生产一种产品，固定成本为2000元，每件产品可变成本为50元，售价为80元，若销售量x件时，利润为y元，求y关于x的函数关系式，并求销售量至少为多少件时才能盈利。参考答案：y=30x-2000，x≥200/34.已知直线l1：2x+y-1=0与直线l2：mx-3y+4=0垂直，求m的值。参考答案：m=-65.在等比数列{an}中，a1=2，公比为q，前n项和为Sn，若S3=6，求q的值。参考答案：q=26.已知圆C：x^2+y^2-4x+6y-3=0，求圆心坐标和半径。参考答案：圆心(2,-3)，半径√107.某班级有50名学生，其中男生30名，女生20名，现要随机抽取3名学生参加活动，求抽到的3名学生中至少有1名女生的概率。参考答案：17/258.已知函数g(x)=|x-1|+|x+1|，求g(x)的最小值及取得最小值时的x值。参考答案：最小值2，x=0标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：B解析：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1。f(-2)=-5，f(-1)=3，f(1)=-1，f(2)=3。最大值为3。2.参考答案：C解析：两直线平行则斜率相等，即a/(a+1)=-1/2，解得a=-1。3.参考答案：C解析：抛物线标准式为y=(x-2)^2-1，焦点坐标为(2,p)，其中p=1/4，所以焦点为(2,1)。4.参考答案：B解析：向量垂直则数量积为0，即1×3+k×(-2)=0，解得k=6。5.参考答案：D解析：|2x-1|3等价于-32x-13，解得-1x2，即(-1,2)。6.参考答案：A解析：圆心(1,-2)，直线3x+4y-5=0到圆心的距离d=|3×1+4×(-2)-5|/√(3^2+4^2)=1。7.参考答案：B解析：等比数列中a_3=a_1q^2，q^2=8/2=4，q=±2。a_5=a_3q^2=8×4=32。8.参考答案：A解析：f(x)=√2sin(x+π/4)，最大值为√2。9.参考答案：A解析：三角形内角和为180°，角C=180°-60°-45°=75°。10.参考答案：D解析：det(M)=1×4-2×3=4-6=-2。二、填空题1.参考答案：x=-b/2a解析：二次函数f(x)=ax^2+bx+c的图像是一条抛物线，其对称轴是过抛物线顶点的垂直于x轴的直线，其方程为x=-b/2a。这是二次函数的基本性质，通过对称轴公式可以直接得到答案。2.参考答案：(1,-1)解析：抛物线y=2x^2-4x+1的顶点坐标可以通过配方法或者使用顶点公式x=-b/2a来求得。这里使用配方法，将2x^2-4x+1写成2(x^2-2x)+1，再配方得到2(x-1)^2-1，所以顶点坐标为(1,-1)。3.参考答案：4解析：二次函数y=x^2-6x+5的图像与x轴交于点A和B，即方程x^2-6x+5=0的解。解这个方程得到x1=1，x2=5，所以A(1,0)，B(5,0)，线段AB的长度是|5-1|=4。4.参考答案：向下解析：二次函数y=-3x^2+6x-1的图像开口方向由二次项系数a决定，a=-30，所以图像开口向下。5.参考答案：2解析：函数f(x)=x^2-4x+3的图像的顶点坐标是(2,-1)，因为对称轴为x=2。题目说顶点在直线y=x上，所以顶点的y坐标等于x坐标，即-1=2，这是不可能的，所以a的值不存在。6.参考答案：-2解析：抛物线y=ax^2+bx+c经过点(1,0)，(2,0)，所以1和2是方程ax^2+bx+c=0的两个根。根据韦达定理，根的和为-1，即1+2=-b/a，对称轴为x=1.5，即-1/2a=1.5，解得a=-2。7.参考答案：k1解析：二次函数y=x^2-2x+k的图像与x轴没有交点，即方程x^2-2x+k=0没有实数根。根据判别式Δ=b^2-4ac，这里Δ=(-2)^2-41k=4-4k0，解得k1。8.参考答案：1解析：函数f(x)=x^2-2x+1可以写成(x-1)^2，所以它的图像是一个顶点为(1,0)的抛物线，顶点到y轴的距离就是顶点的x坐标的绝对值，即|1|=1。9.参考答案：2解析：抛物线y=-x^2+4x-3的图像的顶点坐标是(2,1)，因为对称轴为x=2。顶点到x轴的距离就是顶点的y坐标的绝对值，即|1|=1。10.参考答案：x=2解析：二次函数y=ax^2+bx+c的图像的顶点坐标是(2,-3)，所以对称轴是过顶点的垂直于x轴的直线，即x=2。三、判断题1.参考答案：×解析：函数y=2^x与y=2^-x的图像关于y轴对称，而不是x轴对称。指数函数y=a^x（a0且a≠1）的图像关于y轴对称，而y=a^-x可以写成y=(1/a)^x，其图像也是关于y轴对称的。2.参考答案：×解析：抛掷一枚质地均匀的硬币，每次抛掷出现正面的概率是1/2，但连续抛掷两次的结果是相互独立的事件。连续抛掷两次可能出现两次正面、两次反面或一次正面一次反面，出现一次正面的概率是1/2，但并不是必然出现一次正面。3.参考答案：×解析：如果ab，那么a^2不一定大于b^2。例如，当a=-1，b=0时，ab成立，但a^2=1，b^2=0，所以a^2b^2不成立。只有当a和b都是正数或都是负数时，ab才意味着a^2b^2。4.参考答案：√解析：设等差数列{a_n}的首项为a_1，公差为d。根据题意，a_3=a_1+2d=7，a_6=a_1+5d=15。联立这两个方程，得到2d=8，解得d=4。再代入a_3=7，得到a_1=1。所以该数列的公差为3。5.参考答案：√解析：一个三角形的三条高线交于一点，这个点称为三角形的垂心。垂心是三角形内部或顶点之一，具体位置取决于三角形的类型。在锐角三角形中，垂心位于三角形内部；在直角三角形中，垂心位于直角顶点；在钝角三角形中，垂心位于三角形外部。6.参考答案：√解析：根据三角函数的基本恒等式，对任意实数x，都有sin^2(x)+cos^2(x)=1。这是三角函数的一个基本性质，适用于所有实数x。7.参考答案：√解析：若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则满足f(-x)=-f(x)。根据题意，f(1)0，则f(-1)=-f(1)0。奇函数的性质决定了其图像关于原点对称，因此f(-1)与f(1)的符号相反。8.参考答案：×解析：在直角三角形中，如果一条直角边的长度是另一直角边长度的两倍，设较短的直角边长度为a，则较长的直角边长度为2a。根据勾股定理，斜边的长度为√(a^2+(2a)^2)=√(5a^2)=a√5，而不是a√3。9.参考答案：×解析：圆的面积公式为A=πr^2，其中r是圆的半径。如果圆的半径增加一倍，即新的半径为2r，则新的面积为A'=π(2r)^2=4πr^2，是原面积的4倍，而不是2倍。10.参考答案：√解析：若A是平面α内的一点，B是平面α外的一点，则直线AB不可能在平面α内，因此它与平面α一定相交。直线与平面相交的定义是直线与平面有且仅有一个公共点，而直线AB不可能与平面α平行（否则B点也在平面α内），所以它一定与平面α相交。四、简答题1.参考答案：函数在其定义域的某个区间内，如果对于任意两个自变量x1,x2，当x1x2时，总有f(x1)≤f(x2)（或f(x1)≥f(x2)），则称函数在该区间上是单调递增（或单调递减）的。解析：函数单调性是函数的重要性质之一，定义要求明确区间和不等号方向。单调递增指图像从左到右上升，单调递减指图像从左到右下降。该定义是判断函数单调性的理论基础，常用于求函数最值和证明不等式。需注意单调性是局部性质，可能在不同区间具有不同单调性。2.参考答案：当a≠0时，函数f(x)=ax^2+bx+c的图像是抛物线。其中a决定开口方向和宽窄，a0开口向上，a0开口向下，|a|越大越窄。解析：二次函数图像为抛物线是高中数学重点内容。判断条件是二次项系数a不为0，若a=0则退化为一次函数。抛物线性质包括对称轴x=-b/(2a)、顶点坐标(-b/(2a),f(-b/(2a)))、开口方向由a符号决定。该知识点是圆锥曲线的基础，常与函数性质结合考查。3.参考答案：①f(x)=a(x-h)^2+k(顶点式)；②f(x)=a(x-p)(x-q)(零点式)；③f(x)=a(x^2+px+q)(一般式变形)。解析：二次函数三种基本形式各有用途。顶点式直接给出顶点(h,k)和对称轴x=h，便于研究函数最值和图像平移。零点式通过根p,q确定与x轴交点，适合讨论图像与x轴关系。一般式变形可转化为前两种形式，便于计算判别式。三种形式可相互转化，是函数图像变换的重要工具。4.参考答案：当x→0时，函数f(x)=1/x的极限不存在。因为左极限lim(x→0-)1/x=-∞，右极限lim(x→0+)1/x=+∞，左右极限不等。解析：分式函数极限是极限计算难点。1/x在x=0处无定义，需分别讨论左右极限。由于无穷大不是实数，左右极限趋近于不同无穷时极限不存在。该题考查极限定义和无穷概念，是学习洛必达法则的基础。需注意极限不存在不等于函数无意义。5.参考答案：等差数列前n项和公式S_n=n(a_1+a_n)/2=na_1+n(n-1)d/2。推导过程：S_n=a_1+a_2+…+a_n，两边乘以2得2S_n=(a_1+a_n)+(a_2+a_n)+…+(a_n+a_1)，共有n对，每对和为a_1+a_n。所以2S_n=n(a_1+a_n)，即S_n=n(a_1+a_n)/2。解析：等差数列求和是数列重点内容。推导过程体现倒序相加法思想，是数列求和通用方法。公式包含首项a_1、末项a_n和项数n三个要素，需灵活选用。当已知首项和公差d时，用na_1+n(n-1)d/2更方便，体现数学转化思想。6.参考答案：①a_n=a_1q^(n-1)(通项公式)；②a_n=a_mq^(n-m)(已知两项求通项)；③a_n=S_n-S_(n-1)(由前n项和求通项)。解析：等比数列通项公式是核心知识点。第一种形式是基本形式，a_1为首项，q为公比。第二种形式体现等比数列性质，任意项可由其他项推导。第三种形式由递推关系导出，体现数列与函数关系。三种形式可相互转化，是解决等比数列问题的基础。7.参考答案：函数f(x)=log_a(x)(a0,a≠1)的图像特征：①过定点(1,0)；②当a1时单调递增，当0a1时单调递减；③图像关于y=x对称；④定义域(0,+∞)，值域R。解析：对数函数图像特征是基础内容。过定点(1,0)是所有对数函数共性。单调性与底数a范围密切相关，是易错点。对称性体现对数与指数互为反函数关系。定义域限制是计算对数时的关键条件，需注意对数真数必须大于0。8.参考答案：函数f(x)=sin(x)+cos(x)的周期为2π。因为f(x+2π)=sin(x+2π)+cos(x+