3.4 一元二次方程根与系数的关系 课件 湘教版数学九年级上册

湘教·九年级上册3.4一元二次方程根与系数的关系当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，其根为当Δ=0时，方程有两个相等的实数根，其根为当Δ<0时，方程没有的实数根.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)123复习回顾复习回顾

我们已经知道，一元二次方程

ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a，b，c来决定，除此之外，根与系数之间还有什么关系呢？ax2+bx+c=0(a≠0)x1，x2a，b，c新课探究做一做(1)填空：①方程x2+2x=0的两个根为x1=_____，x2=______，所以x2+2x=(x－_____)(x－_____)，且x1+x2=_____，x1x2=_____；0－20(－2)－20②方程x2－4x+4=0的两个根为x1=____，x2=____，所以x2－4x+4=(x－____)(x－____)，且x1+x2=_____，x1x2=_____；③方程x2－5x+6=0的两个根为x1=____，x2=____，所以x2－5x+6=(x－____)(x－____)，且x1+x2=_____，x1x2=_____；222244232356(2)由(1)可发现：若方程x2+bx+c=0的两个根为x1，x2，则x1+x2=_____，x1x2=______.－bc①x2+2x=0x1+x2=_____，x1x2=_____；②x2－4x+4=0x1+x2=_____，x1x2=_____；③x2－5x+6=0x1+x2=_____，x1x2=_____；－204456

由本章3.2节知识可知，若方程x2+bx+c=0的两个根为x1，x2，则方程左边的多项式可分解成x2+bx+c=(x－x1)(x－x2)又

(x－x1)(x－x2)=x2－(x1+x2)x+x1x2根据两个多项式相等，得x1+x2=－b，x1x2=c.对于任意一个一元二次方程，这种关系都成立吗？思考对于方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当Δ≥0时，该方程的根与它的系数之间有什么关系呢？当Δ

≥0时，设方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1，x2，则根据两个多项式相等，得即这表明，当Δ≥0时，一元二次方程的根与系数之间具有如下关系：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比.这个关系通常称为韦达定理.例1不解方程，求下列方程两个根x1，x2的和与积:(1)2x2－3x+1=0； (2)x2－3x+2=10；(3)7x2－5=x+8.解(2)整理，得x2－3x－8=0，所以x1+x2=－(－3)=3，x1x2=－8.(1)例1不解方程，求下列方程的两根x1，x2的和与积:(1)2x2－3x+1=0； (2)x2－3x+2=10；(3)7x2－5=x+8.(3)整理，得7x2－x－13=0，所以例2

已知关于x的方程3x2－19x+m=0的一个根为1，求它的另一个根及m的值.解：设3x2－19x+m=0的一个根x1=1，另一个根为x2，则由根与系数之间的关系得于是于是m=16.因此，方程的另一个根是m的值为16.

还可用其他方法求出m的值吗？例2

已知关于x的方程3x2－19x+m=0的一个根为1，求它的另一个根及m的值.解：将其中的一个根1代入方程3x2＋19x+m=0，得3×12－19×1+m=0，所以m=16.所以原方程为3x2＋19x+16

=0，于是随堂诊断1.不解方程，求下列方程两个根x1，x2的和与积(1)3x2+2=1－5x；

(2)

x(x－1)=3x+7.解：(1)整理，得3x2+5x+1=0，所以随堂诊断1.不解方程，求下列方程两个根x1，x2的和与积(1)3x2+2=1－5x；

(2)

x(x－1)=3x+7.解：(2)整理，得x2－4x－7=0，所以2.若x1，x2是方程x2+2x－100=0的两个根，求下列式子的值：解：由题意得，x1+x2=－2，x1x2=－100.2.若x1，x2是方程x2+2x－100=0的两个根，求下列式子的值：与一元二次方程有关得代数式的常见变形与一元二次方程有关得代数式的常见变形

1.不解方程，求下列方程两个根的和与积:(1)x2－6x+1=0；

(2)2x2－x=6.解:(1)(2)整理，得2x2－x－6=0，所以练习2.已知一元二次方程

x2+3x+m=0的一个根为－3，求它的另一个根及m的值.解：设x2+3x+m=0的一个根为x1=－3，另一个根为x2，则由根与系数的关系得－3+x2=－3.于是x2=0又

x1x2=－3×0=m于是m

=