3.5.2 面积问题 课件 湘教版数学九年级上册

湘教·九年级上册面积问题复习导入复习列方程解应用题的一般步骤：(1)审题：仔细阅读题目，分析题意，明确题目要求，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系；(2)设未知数：用字母(如x)表示题中的未知数，通常是求什么量，就设这个量为x

；(3)列方程：根据题中已知量和未知量之间的关系列出方程；(4)解方程：求出所给方程的解；(5)检验：既要检验所求方程的解是否满足所列出的方程，又要检验它是否能使实际问题有意义；(6)作答：根据题意，选择合理的答案.新课探究在长为40cm、宽为28cm的矩形纸板的四角剪去四个全等小正方形后，折成一个无盖的长方体形盒子，如图3.5-1所示，已知长方体形盒子的底面积为364cm²，则剪去的四个小正方形的边长是多少？图3.5-1将纸板截去四个小正方形后，可以得到图3.5-2.盒子的底面积=盒子的底面长×盒子的底面宽.这个长方体形盒子的底面就是图3.5-2中心位置的大矩形，因此本问题涉及的等量关系是：图3.5-2解：设剪去的小正方形的边长为xcm，则无盖长方体形盒子的底面长为(40－2x)cm，宽为(28－2x)cm.根据等量关系，可以列出方程(40－2x)(28－2x)=364.整理，得

x2－34x+189=0.解得

x1=27，x2=7.如果剪去的小正方形的边从为27cm，那么左下角和右下角的两个小正方形的边长之和为54cm，这超过了矩形纸板的长(40cm)．于是x1=27不合题意，应当舍去.因此，剪去的小正方形的边长为7cm.例3一长为32m、宽为20m的矩形地面上修建有同样宽的道路，如图3.5-3，余下部分进行了绿化.若已知绿化面积为540m2，求道路的宽.32m20m图3.5-3分析：虽然“整个矩形的面积－道路所占面积=绿化面积”，但道路不是规则图形，因此不便于计算，通过平移道路可得到图3.5-4，此时绿化部分是一个新矩形，再由本问题涉及的等量关系“矩形的面积－矩形的长×矩形的宽”，就可建立一个一元二次方程.图3.5-4解：设道路宽为xm，则新矩形的长为(32－x)m，宽为(20－x)m.根据等量关系得(32－x)(20－x)=540.整理，得x2－52x+100=0.解得x1=2，x2=50(不合题意，舍去).答：道路宽为2m.

32m20m图3.5-4为什么x=50不合题意？列一元二次方程解决图形面积问题：类型方法规则图形不规则图形常利用规则图形的面积或周长公式以及勾股定理等建立方程求解常采用割补、平移或旋转等方法，将其转化为规则图形，再根据面积间的关系列方程求解随堂诊断1.学校计划在一块长16m、宽10m的矩形空地上修建一个矩形花坛，要求在花坛中修建两条纵向平行和一条横向弯折的等宽小道(如图)，剩余的地方种植花草.若种植花草的面积为126m2，则小道的宽度应为多少米?转化解：设小道的宽度为xm，则新矩形的长为(16－2x)m，宽为(10－x)m.根据等量关系得(16－2x)(10－x)=126.整理，得x2－18x+17=0.解得x1=1，x2=17(不合题意，舍去).答：小道的宽度为1m.2.如图，在一个长10cm、宽6cm的矩形铁皮的四角各截去一个同样大小的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体盒子.设截去的小正方形的边长为xcm.(1)若长方体盒子的底面积是32cm2，求x的值.(2)用含x的式子表示长方体盒子的侧面积为_______cm2.(3)长方体盒子的侧面积随着截去的小正方形的边长的变化而变化时，是否存在最大的侧面积？若存在，求出最大的侧面积.2.如图，在一个长10cm、宽6cm的矩形铁皮的四角各截去一个同样大小的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体盒子.设截去的小正方形的边长为xcm.(1)若长方体盒子的底面积是32cm2，求x的值.(2)用含x的式子表示长方体盒子的侧面积为_________cm2.解：根据题意得(10－2x)(6－2x)=32.整理，得x2－8x+7=0.解得x1=1，x2=7(不合题意，舍去).答：x的值为1.(－8x2+32x)(3)长方体盒子的侧面积随着截去的小正方形的边长的变化而变化时，是否存在最大的侧面积？若存在，求出最大的侧面积.解：由(2)可知，－8x2+32x=－8(x－2)2+32因为－8(x－2)2

≤0所以－8(x－2)2+32≤32.所以当x=2时，侧面积有最大值，最大值为32cm2.例4在△ABC中，∠

C=90°，AC=6cm，BC=8cm.点Р沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动，同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，如图3.5-5所示.问点P，Q出发几秒后△PCQ的面积为9cm2？ACBPQ图3.5-5ACBPQ图3.5-5解：设点P，Q出发xs后△PCQ的面积为9cm2.根据题意得AP=xcm，PC=(6－x)cm，CQ=2xcm，0≤x≤4.整理，得x2－6x+9=0.解得x1=x2=3.答：点P，Q出发3秒后△PCQ的面积为9cm2.(1)审清题意：明确动点的起点、终点、路线和速度等；(2)表示：用含有时间t

的式子表示有关线段的长度(有时需利用动点(图形)位置进行分类)；(3)列方程：根据题目中给出的等量关系(多为线段长、图形的面积)运用转化积时常借助面积公式建立一元二次方程，已知线段长时，常借助勾股定理建立一元二次方程.(4)求解：解出方程并进行验证，最后的答案要根据具体情况进行取舍.解决几何图形中动点问题的方法随堂诊断3.如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，AD=8cm，动点P从点A出发沿AB

以2cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向终点C运动.当其中一点到达终点时，另一点随即停止运动.(1)几秒时，点P，D间的距离是点P，Q间距离的2倍?(2)几秒时，△DPQ的面积是24cm2？解：(1)设ts时，点P，D间的距离是点P，Q间距离的2倍，即PD=2PQ，则PD2=4PQ2依题意，可得AP=2tcm，BQ=2tcm，则BP=(10－2t)cm，因为四边形ABCD是矩形，所以∠A=∠B=90°.所以PD2=AD2＋AP2，PQ2=BP2+BQ2.所以AD2＋AP2=4(BP2+BQ2).即82+(2t)2=4[(10－2t)2+t]2整理，得t2－10t+21=0解得，t1=3，t2=7.当t=7时，AP=2t=14>10，不合题意，舍去，所以t=3答：3秒时，点P，D间的距离是点P，Q间距离的2倍.解：(2)设xs时，△DPQ的面积是24cm2，则AP=2xcm，BP=(10－2x)cm，BQ=xcm，CQ=(8－x)cm.依题意，得S△ADP+S△BPQ+S△CPQ+S△DPQ=S矩形ABCD整理，得x2－8x+16=0.解得x1=x2=4.答：4秒时，△DPQ的面积为24cm2.练习1.在长为100m、宽为80m的矩形地面上要修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化(如图所示).若要使绿化面积为7644m2，则道路的宽应为多少米?32m20m分析：利用“整个矩形的面积－道路所占面积=绿化面积”，此时通过平移道路可以使绿化部分是一个新矩形，再由本问题涉及的等量关系，就可建立一个一元二次方程.解：设道路宽为xm，则新矩形的长为(100－x)m，宽为(80－x)m.根据等量关系得(100－x)(80－x)=7644.整理，得

x2－180x+356=0.解得

x1=2，x2=178(不合题意，舍去).答：道路宽应为2m.32m20m2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm.点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿边AC，BC向终点C移动，如图所示.若它们的速度都是1cm/s，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后，△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半？BCAQP解：设点P，Q出发x秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半。整理，得

x2－14x+24=0.根据题意得AP=BQ=xcm，PC=(8－x)cm，CQ=(6－x)cm.解得

x1=2，x2=12(不合题意，舍去).答：出发2秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半.BCAQP课堂小结列一元二次方程解决图形面积问题：类型方法规则图形不规则图形常利用规则图形的面积或周长公式以及勾股定理等建立方程求解常采用割补、平移或旋转等方法，将其转化为规则图形，再根据面积间的关系列方程求解(1)审清题意：明