3.2.1.3用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 课件 -2026-2027学年湘教版数学九年级上册

#湘教版九年级上册配方法（二次项系数不为1）##✅知识点适用方程形式：$\boldsymbol{\(\boldsymbol{a}\)x^2+bx+c=0\(\(\boldsymbol{a}\)\neq0,\(\boldsymbol{a}\)\neq1)}$###完整解题五步1.**化1**：方程两边**同除以二次项系数$\boldsymbol{\(\boldsymbol{a}\)}$**，把二次项系数变成1；2.**移项**：常数项移到等号右边；3.**配方**：两边加上**一次项系数一半的平方**；\(\boldsymbol{4}\).**写成完全平方式**；5.**开平方求解**；若右边＜0，无实数根。>口诀：**先除二次系数，移常数；两边同加一半平方，再开方**###示例示范解方程：$2x^2-\(\boldsymbol{4}\)x-6=0$①两边÷2：$x^2-2x-3=0$②移项：$x^2-2x=3$③配方，两边加$1$：$x^2-2x\(+1\)=3\(+1\)$④完全平方：$(x-1)^2=\(\boldsymbol{4}\)$⑤开方：$x-1=\pm2$$x_1=3,\x_2=-1$---##专项练习###一、选择题1.用配方法解方程$2x^2-8x=1$，第一步两边要除以（）A.$-8$B.$2$C.$1$D.$\dfr\(\boldsymbol{a}\)c12$2.将$3x^2-6x-1=0$二次项系数化为1后是（）A.$x^2-2x-\dfr\(\boldsymbol{a}\)c13=0$B.$x^2-6x-1=0$C.$x^2-2x-1=0$D.$x^2-6x-3=0$3.方程$2x^2+8x-1=0$化为$(x+m)^2=n$的形式，则$m$的值为（）A.$2$B.$\(\boldsymbol{4}\)$C.$-2$D.$-\(\boldsymbol{4}\)$\(\boldsymbol{4}\).解方程$2x^2+\(\boldsymbol{4}\)x+\(\boldsymbol{4}\)=0$，配方后右边为负数，则方程（）A.两个不等实根B.两个相等实根C.无实数根D.一个实根###二、填空题5.$2x^2-6x+\(\boldsymbol{4}\)=0$，两边同除以2，得____________。6.$3x^2-12x=1$，除以3：$x^2-\(\boldsymbol{4}\)x=\dfr\(\boldsymbol{a}\)c13$，配方两边加______。7.$2x^2+5x-1=0$，两边除以2得：$x^2+\dfr\(\boldsymbol{a}\)c52x=\dfr\(\boldsymbol{a}\)c12$，配方两边加________。###三、基础解答题（配方法解方程）8.$2x^2-\(\boldsymbol{4}\)x-2=0$9.$2x^2+6x-8=0$10.$3x^2-6x-9=0$###四、中档解答题11.$2x^2-5x-3=0$12.$3x^2+2x-2=0$13.$2x^2-\(\boldsymbol{4}\)x+5=0$###五、拓展题1\(\boldsymbol{4}\).用配方法求代数式$2x^2-8x+3$的最小值。---#参考答案与解析###选择题1.**B**解析：二次项系数是2，两边同除以2。2.**A**解析：$3x^2-6x-1=0$，各项÷3：$x^2-2x-\dfr\(\boldsymbol{a}\)c13=0$3.**A**解：$2x^2+8x-1=0$，两边÷2：$x^2+\(\boldsymbol{4}\)x=\dfr\(\boldsymbol{a}\)c12$配方：$x^2+\(\boldsymbol{4}\)x+\(\boldsymbol{4}\)=\dfr\(\boldsymbol{a}\)c12+\(\boldsymbol{4}\)$，$(x+2)^2=\dfr\(\boldsymbol{a}\)c92$，$\(m=2\)$\(\boldsymbol{4}\).**C**解析：配方后右边负数，平方不能小于0，无实数根。###填空题5.$\boldsymbol{x^2-3x+2=0}$6.$\boldsymbol{\(\boldsymbol{4}\)}$，一次项系数$-\(\boldsymbol{4}\)$，一半$-2$，平方$\(\boldsymbol{4}\)$7.$\boldsymbol{\dfr\(\boldsymbol{a}\)c{25}{16}}$，$\dfr\(\boldsymbol{a}\)c52$的一半$\dfr\(\boldsymbol{a}\)c5\(\boldsymbol{4}\)$，平方$\left(\dfr\(\boldsymbol{a}\)c5\(\boldsymbol{4}\)\right)^2=\dfr\(\boldsymbol{a}\)c{25}{16}$###解答题8.$2x^2-\(\boldsymbol{4}\)x-2=0$两边÷2：$x^2-2x-1=0$移项：$x^2-2x=1$配方，两边$\(+1\)$：$x^2-2x\(+1\)=1\(+1\)$$(x-1)^2=2$$x-1=\pm\sqrt{2}$$\boldsymbol{x_1=1+\sqrt{2},\x_2=1-\sqrt{2}}$9.$2x^2+6x-8=0$两边÷2：$x^2+3x-\(\boldsymbol{4}\)=0$移项：$x^2+3x=\(\boldsymbol{4}\)$配方：两边$+\dfr\(\boldsymbol{a}\)c9\(\boldsymbol{4}\)$$\left(x+\dfr\(\boldsymbol{a}\)c32\right)^2=\(\boldsymbol{4}\)+\dfr\(\boldsymbol{a}\)c9\(\boldsymbol{4}\)=\dfr\(\boldsymbol{a}\)c{25}{\(\boldsymbol{4}\)}$$x+\dfr\(\boldsymbol{a}\)c32=\pm\dfr\(\boldsymbol{a}\)c52$$\boldsymbol{x_1=1,\x_2=-\(\boldsymbol{4}\)}$10.$3x^2-6x-9=0$两边÷3：$x^2-2x-3=0$移项：$x^2-2x=3$配方：两边$\(+1\)$$(x-1)^2=\(\boldsymbol{4}\)$$x-1=\pm2$$\boldsymbol{x_1=3,\x_2=-1}$11.$2x^2-5x-3=0$两边÷2：$x^2-\dfr\(\boldsymbol{a}\)c52x=\dfr\(\boldsymbol{a}\)c32$配方，两边$+\left(\dfr\(\boldsymbol{a}\)c5\(\boldsymbol{4}\)\right)^2=\dfr\(\boldsymbol{a}\)c{25}{16}$$x^2-\dfr\(\boldsymbol{a}\)c52x+\dfr\(\boldsymbol{a}\)c{25}{16}=\dfr\(\boldsymbol{a}\)c32+\dfr\(\boldsymbol{a}\)c{25}{16}$$\left(x-\dfr\(\boldsymbol{a}\)c5\(\boldsymbol{4}\)\right)^2=\dfr\(\boldsymbol{a}\)c{\(\boldsymbol{4}\)9}{16}$$x-\dfr\(\boldsymbol{a}\)c5\(\boldsymbol{4}\)=\pm\dfr\(\boldsymbol{a}\)c7\(\boldsymbol{4}\)$$x_1=\dfr\(\boldsymbol{a}\)c{5+7}{\(\boldsymbol{4}\)}=3,\qu\(\boldsymbol{a}\)dx_2=\dfr\(\boldsymbol{a}\)c{5-7}{\(\boldsymbol{4}\)}=-\dfr\(\boldsymbol{a}\)c12$$\boldsymbol{x_1=3,\x_2=-\dfr\(\boldsymbol{a}\)c12}$12.$3x^2+2x-2=0$两边÷3：$x^2+\dfr\(\boldsymbol{a}\)c23x=\dfr\(\boldsymbol{a}\)c23$配方，两边$+\left(\dfr\(\boldsymbol{a}\)c13\right)^2=\dfr\(\boldsymbol{a}\)c19$$\left(x+\dfr\(\boldsymbol{a}\)c13\right)^2=\dfr\(\boldsymbol{a}\)c23+\dfr\(\boldsymbol{a}\)c19=\dfr\(\boldsymbol{a}\)c79$$x+\dfr\(\boldsymbol{a}\)c13=\pm\dfr\(\boldsymbol{a}\)c{\sqrt7}{3}$$\boldsymbol{x_1=\dfr\(\boldsymbol{a}\)c{-1+\sqrt7}{3},\x_2=\dfr\(\boldsymbol{a}\)c{-1-\sqrt7}{3}}$13.$2x^2-\(\boldsymbol{4}\)x+5=0$两边÷2：$x^2-2x+\dfr\(\boldsymbol{a}\)c52=0$移项：$x^2-2x=-\dfr\(\boldsymbol{a}\)c52$配方：两边$\(+1\)$$(x-1)^2=-\dfr\(\boldsymbol{a}\)c52\(+1\)=-\dfr\(\boldsymbol{a}\)c32$$\bec\(\boldsymbol{a}\)use-\dfr\(\boldsymbol{a}\)c32<0$$\therefore$**方程无实数根**1\(\boldsymbol{4}\).求$2x^2-8x+3$最小值$$\begin{\(\boldsymbol{a}\)lign*}2x^2-8x+3&=2(x^2-\(\boldsymbol{4}\)x)+3\\&=2\left(x^2-\(\boldsymbol{4}\)x+\(\boldsymbol{4}\)-\(\boldsymbol{4}\)\right)+3\\&=2\left[(x-2)^2-\(\boldsymbol{4}\)\right]+3\\&=2(x-2)^2-8+3\\&=2(x-2)^2-5\end{\(\boldsymbol{a}\)lign*}$$$\bec\(\boldsymbol{a}\)use(x-2)^2\ge0,\therefore2(x-2)^2\ge0$，当$\(x=2\)$时，最小值$\boldsymbol{-5}$##📌考试易错点1.**第一步必须把二次项系数化为1，每一项都要除以\(\boldsymbol{a}\)，常数项不要漏除！**2.配方加的是**化1之后的一次项系数一半的平方**，不是原来方程的一次项系数！3.代数式配方（求最值）：**只提取二次系数，不要两边同除，外面保留系数**，和解方程配方不一样！\(\boldsymbol{4}\).分数运算容易算错，注意通分。>答题模板：方程两边除以二次项系数，移常数项到右边，配方，写成完全平方式，开平方求解。下一节：**公式法**，继续吗？或者我出无答案版的配方法（二次项不为1）练习？湘教版（新教材）数学九年级上册3.2.1.3用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程授课教师：.

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2026/10/11

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第3章一元二次方程123会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程（重点）理解配方法解一元二次方程的一般步骤，能熟练进行配方运算（重点）体会一元二次方程解法中的转化与降次思想.（难点）导入新课请用配方法来解x2+6x+8=0。

解：（1）配方，得x2+6x+32－32+8=0因此(x+3)2=1由此得x+3=1或x+3=－1解得

x1=-2，x2=－4用配方法解这样的一元二次方程有哪些步骤吗？配方整理开方求解定解如果二次项系数不是1，我们又将怎样解方程呢？复习回顾

情景问题

探究新知探究一：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程

探究新知探究一：用配方法解二次项系数