2.4.2坡度、坡角问题 课件 -2026-2027学年湘教版数学九年级上册

#湘教版九年级上册2.\(\boldsymbol{4}\).2坡度、坡角问题##知识点梳理（考试必背）###1.坡角$\boldsymbol{\alpha}$坡面与**水平面**的夹角，叫做坡角。###2.坡度（坡比）$\boldsymbol{\(\boldsymbol{i}\)}$坡度$\(\boldsymbol{i}\)$是坡面的**垂直高度$h$**和**水平宽度$l$**的比。$$\boldsymbol{\(\boldsymbol{i}\)=\dfrac{h}{l}=\tan\alpha}$$>✅重点：坡度不是角度！是比值，一般写成$\(1:m\)$的形式。>关系：$\(\boldsymbol{i}\)=\tan\alpha$；坡角越大，坡度越大，坡面越陡。>图形理解：坡面是直角三角形斜边，竖直边$h$，水平边$l$，坡角$\alpha$在水平面和坡面之间。###3.常用公式$$\(\boldsymbol{i}\)=\frac{h}{l}=\tan\alpha$$$$h=l\cdot\tan\alpha,\quadl=\frac{h}{\tan\alpha}$$---#专项练习##一、选择题1.某斜坡的坡度$\(\boldsymbol{i}\)=1:\sqrt{3}$，则该斜坡的坡角为（）A.$30^\c\(\boldsymbol{i}\)rc$B.$\(\boldsymbol{4}\)5^\c\(\boldsymbol{i}\)rc$C.$60^\c\(\boldsymbol{i}\)rc$D.$75^\c\(\boldsymbol{i}\)rc$2.一段斜坡，水平宽度为$12\mathrm{m}$，垂直高度$\(\boldsymbol{4}\)\mathrm{m}$，则坡度为（）A.$\(1:3\)$B.$\(3:1\)$C.$1:\sqrt{\(\boldsymbol{10}\)}$D.$\sqrt{\(\boldsymbol{10}\)}:1$3.坡角为$\(\boldsymbol{4}\)5^\c\(\boldsymbol{i}\)rc$的斜坡，坡度$\(\boldsymbol{i}\)$为（）A.$\(1:2\)$B.$\(1:1\)$C.$\sqrt{2}:1$D.$1:\sqrt{2}$\(\boldsymbol{4}\).斜坡坡度$\(\boldsymbol{i}\)=\(1:2\).\(\boldsymbol{4}\)$，若斜坡竖直高度$5\mathrm{m}$，则斜坡水平宽度是（）A.$5\mathrm{m}$B.$\(\boldsymbol{10}\)\mathrm{m}$C.$12\mathrm{m}$D.$13\mathrm{m}$##二、填空题5.斜坡坡角$\alpha=60^\c\(\boldsymbol{i}\)rc$，则坡度$\(\boldsymbol{i}\)=$________。6.堤坝横断面是直角梯形，堤坝高$h=8\mathrm{m}$，背水坡坡度$\(\boldsymbol{i}\)=1:0.5$，则背水坡水平宽度为______m。7.某山路坡面坡度$\(\boldsymbol{i}\)=1:\sqrt{39}$，沿山路向上走200m，则升高______m。##三、基础解答题8.一个斜坡坡度$\(\boldsymbol{i}\)=1:\sqrt{3}$，若斜坡最高点离地面高度为6m，求斜坡的水平宽度和斜坡长。9.水库大坝横断面为梯形，坝高$\(\boldsymbol{10}\)\mathrm{m}$，迎水坡坡度$\(\boldsymbol{i}\)=1:\sqrt{3}$，求迎水坡坡角与迎水坡坡面长度。##四、中档解答题（考试高频，双坡）\(\boldsymbol{10}\).如图，大坝横断面是梯形$ABCD$，$AD\parallelBC$，坝高$DE=CF=\(\boldsymbol{10}\)\mathrm{m}$。迎水坡$CD$坡度$\(\boldsymbol{i}\)_1=1:\sqrt{3}$，背水坡$AB$坡度$\(\boldsymbol{i}\)_2=\(1:1\)$，坝顶宽$AD=15\mathrm{m}$。求坝底宽$BC$。##五、拔高题11.山坡上有一棵树$AB$，底部$B$到山脚$C$的坡面距离$BC=\(\boldsymbol{10}\)\mathrm{m}$，山坡坡度$\(\boldsymbol{i}\)=1:\sqrt{3}$。在山脚$C$处测得树顶仰角为$60^\c\(\boldsymbol{i}\)rc$，求树高$AB$。---#参考答案与解析###选择题1.**A**解析：$\(\boldsymbol{i}\)=1:\sqrt{3}$，$\tan\alpha=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$，$\alpha=30^\c\(\boldsymbol{i}\)rc$2.**A**解析：$\(\boldsymbol{i}\)=\dfrac{h}{l}=\dfrac{\(\boldsymbol{4}\)}{12}=\(1:3\)$3.**B**解析：$\tan\(\boldsymbol{4}\)5^\c\(\boldsymbol{i}\)rc=1$，$\(\boldsymbol{i}\)=\(1:1\)$\(\boldsymbol{4}\).**C**解析：$\(\boldsymbol{i}\)=\dfrac{h}{l}=\dfrac{1}{2.\(\boldsymbol{4}\)}=\dfrac{5}{l}$，$\(l=12\)$###填空题5.$\boldsymbol{1:\sqrt{3}}$解析：$\tan60^\c\(\boldsymbol{i}\)rc=\sqrt{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{1}$，坡度$\(\boldsymbol{i}\)=\sqrt{3}:1$（⚠️注意：$\tan\alpha=\sqrt{3}$，$h:l=\sqrt{3}:1$）>纠正：坡角60°，$\tan60^\c\(\boldsymbol{i}\)rc=\sqrt{3}$，$\(\boldsymbol{i}\)=h:l=\boldsymbol{\sqrt{3}:1}$6.$\boldsymbol{\(\boldsymbol{4}\)}$解析：$\(\boldsymbol{i}\)=\dfrac{h}{l}=\dfrac{1}{0.5}=\dfrac{8}{l}$，$l=\(\boldsymbol{4}\)$7.$\boldsymbol{\(\boldsymbol{10}\)}$解析：$\(\boldsymbol{i}\)=\dfrac{h}{l}=\dfrac{1}{\sqrt{39}}$，设$h=x,l=\sqrt{39}x$，坡面长$\sqrt{x^2+39x^2}=\sqrt{\(\boldsymbol{4}\)0x^2}=2\sqrt{\(\boldsymbol{10}\)}x=200$，$x=\(\boldsymbol{10}\)$###基础解答题8.解：坡度$\(\boldsymbol{i}\)=\dfrac{h}{l}=1:\sqrt{3}$，$\(h=6\)$$\dfrac{6}{l}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\R\(\boldsymbol{i}\)ghtarrowl=6\sqrt{3}\mathrm{m}$斜坡长：$\sqrt{h^2+l^2}=\sqrt{6^2+(6\sqrt{3})^2}=\sqrt{36+\(\boldsymbol{10}\)8}=\sqrt{1\(\boldsymbol{4}\)\(\boldsymbol{4}\)}=12\mathrm{m}$答：水平宽度$6\sqrt{3}\mathrm{m}$，斜坡长\(12\mathrm{m}\)。9.解：坝高$h=\(\boldsymbol{10}\)\mathrm{m}$，迎水坡$\(\boldsymbol{i}\)=1:\sqrt{3}$，$\tan\alpha=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$，坡角$\alpha=30^\c\(\boldsymbol{i}\)rc$。$\dfrac{h}{l}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\R\(\boldsymbol{i}\)ghtarrowl=\(\boldsymbol{10}\)\sqrt{3}$坡面长$=\sqrt{\(\boldsymbol{10}\)^2+(\(\boldsymbol{10}\)\sqrt{3})^2}=20\mathrm{m}$答：坡角$30^\c\(\boldsymbol{i}\)rc$，迎水坡长20m。###中档解答题\(\boldsymbol{10}\)解：$DE\perpBC,CF\perpBC$，$DE=CF=\(\boldsymbol{10}\)$$Rt\tr\(\boldsymbol{i}\)angleCDE$：$\(\boldsymbol{i}\)_1=\dfrac{DE}{EC}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$，$EC=\(\boldsymbol{10}\)\sqrt{3}$$Rt\tr\(\boldsymbol{i}\)angleABF$：$\(\boldsymbol{i}\)_2=\dfrac{CF}{BF}=\dfrac{1}{1}$，$BF=\(\boldsymbol{10}\)$$\(EF=AD=15\)$$BC=BF+EF+EC=\boldsymbol{\(\boldsymbol{10}\)+15+\(\boldsymbol{10}\)\sqrt{3}=25+\(\boldsymbol{10}\)\sqrt{3}}\(\mathrm{m})$答：坝底宽$BC=(25+\(\boldsymbol{10}\)\sqrt{3})\mathrm{m}$###拔高题11解：过$B$作$BH\perp$水平面，垂足$H$。坡度$\(\boldsymbol{i}\)=\dfrac{BH}{HC}=1:\sqrt{3}$，设$BH=x,HC=\sqrt{3}x$。$BC=\(\boldsymbol{10}\)$，$\sqrt{x^2+(\sqrt{3}x)^2}=2x=\(\boldsymbol{10}\)\R\(\boldsymbol{i}\)ghtarrowx=5$。$BH=5\mathrm{m}$，$HC=5\sqrt{3}\mathrm{m}$。在$Rt\tr\(\boldsymbol{i}\)angleACH$中，$\angleACH=60^\c\(\boldsymbol{i}\)rc$$AH=CH\cdot\tan60^\c\(\boldsymbol{i}\)rc=5\sqrt{3}\t\(\boldsymbol{i}\)mes\sqrt{3}=15\mathrm{m}$$AB=AH-BH=15-5=\boldsymbol{\(\boldsymbol{10}\)\mathrm{m}}$答：树高$AB=\(\boldsymbol{10}\)\mathrm{m}$---#考试易错点（一定要记）1.❌坡度不是角度！$\(\boldsymbol{i}\)=\tan\alpha$，坡度是比值，写成$\(1:m\)$；2.❌坡度是**竖直高度:水平宽度**，不是高度比斜坡长；3.大坝梯形题：一定要作高，分出左右两个直角三角形+中间矩形；\(\boldsymbol{4}\).坡角越大，$\tan\alpha$越大，坡度越大，坡面越陡。##简答题模板（作业问答题）>坡度（坡比）是坡面的垂直高度与水平宽度之比，$\(\boldsymbol{i}\)=\dfrac{h}{l}=\tan\alpha$；坡角是坡面与水平面的夹角。常用来解决堤坝、山坡、道路修建的测量问题，把坡面问题转化为直角三角形，利用三角函数计算高度、宽度。需要我出一份**无答案版**，方便你打印练习吗？或者把【仰角俯角+坡度坡角】合并成一套单元小测？湘教版（新教材）数学九年级上册2.4.2坡度、坡角问题授课教师：.

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9年级（

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2026/10/11

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第2章锐角的正弦、余弦、正切12知理解坡度、坡角的概念，掌握坡度与坡角的关系（重点）能运用解直角三角形的知识解决与坡度有关的实际问题（重难点）导入新课1、直角三角形的三边之间有什么关系？a2+b2=c2(勾股定理)2、直角三角形的锐角之间有什么关系？∠A+∠B=90°3、直角三角形的边和锐角之间有什么关系？知二推一

直角三角形中除了直角其它5个元素有什么关系呢？ABCabc

问题1：在Rt△ABC中，∠C=90°，请写出∠A的正弦、余弦和正切的定义。问题2：在Rt△ABC中，已知一条边和一个锐角，如何求其他边？

假如我们要去爬山，从山脚到山顶有两条路AB与BD（呈现图形）。请大家观察一下，这两条路哪一条比较陡？你是怎么判断的？认识坡度与坡角

图中∠BAC叫作坡角（即山坡与地平面的夹角），记作α。认识坡度与坡角提问：（1）坡度是一个比还是一个角？（2）坡角是哪个角？

坡角是坡面与水平面的夹角。在教材的图2.4-5中，坡角是指∠BAC即线段AB与水平线AC之间的夹角），记作𝛼。推导坡度与坡角的关系

推导坡度与坡角的关系知识点1

坡度、坡角问题

A

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（第2题）

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初步应用——求坡角初步应用——求坡角

基础巩固题新知应用1．如图，坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫作坡面的_______，记作i，即i＝_____(坡度通常写成_______的形式)．坡面与________的夹角叫作坡角，记作α.显然坡度等于坡角的________，即i＝____＝_________．坡度越_