人教版高中数学选择性必修一 题库 第二章　2.4.2　圆的一般方程

2.4.2圆的一般方程学习目标1.掌握圆的一般方程及其特点.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的坐标和半径的大小.3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程.(重点)导语前面我们已讨论了圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，现将其展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.可见，任何一个圆的方程都可以变形为x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式.请大家思考一下，形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程表示的曲线是不是圆？下面我们来探讨这一方面的问题.一、圆的一般方程的辨析问题1如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆，需要满足什么条件？提示将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0配方可得，x+D22+y+E22=D2+E2-4F4，当D2+E2-4F>0时，问题2当D2+E2-4F=0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示什么图形？当D2+E2-4F<0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示什么图形？提示①当D2+E2-4F=0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示点-D②当D2+E2-4F<0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0不表示任何图形.知识梳理1.圆的一般方程：当D2+E2-4F>0时，二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程.2.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形条件图形D2+E2-4F<0不表示任何图形D2+E2-4F=0表示一个点-D2+E2-4F>0表示以-D2，注意点：(1)二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项.(2)二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是D2+E2-4F>0.例1若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆.(1)求实数m的取值范围；(2)写出圆心坐标和半径.解(1)由表示圆的充要条件，得(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)>0，解得m<15，即实数m的取值范围为-(2)将方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0写成标准方程为(x+m)2+(y-1)2=1-5m，故圆心坐标为(-m，1)，半径r=1-5m反思感悟圆的一般方程的辨析(1)由圆的一般方程的定义，若D2+E2-4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆.(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解.跟踪训练1(1)当圆C：x2+y2-4x-2my+2m=0的面积最小时，m的值为()A.4 B.3 C.2 D.1答案D解析由圆C：x2+y2-4x-2my+2m=0，得圆C的标准方程为(x-2)2+(y-m)2=m2-2m+4，从而对于圆C的半径r有r2=m2-2m+4=(m-1)2+3≥3，所以当m=1时，r2取得最小值，此时圆C的面积最小.(2)点M，N在圆x2+y2+kx+2y-4=0上，且点M，N关于直线x-y+1=0对称，则该圆的面积为.

答案9π解析圆x2+y2+kx+2y-4=0的圆心坐标是-k由圆的性质，知直线x-y+1=0经过圆心，∴-k2+1+1=0，解得k=4圆x2+y2+4x+2y-4=0的半径为124∴该圆的面积为9π.二、求圆的一般方程例2(课本例4)求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径.解设圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0.①因为O，M1，M2三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解.把它们的坐标依次代入方程①，得到关于D，E，F的一个三元一次方程组F解这个方程组，得D所以，所求圆的方程是x2+y2-8x+6y=0.由前面的讨论可知，所求圆的圆心坐标是(4，-3)，半径r=12D例2已知A(2，2)，B(5，3)，C(3，-1).(1)求△ABC的外接圆的一般方程；(2)若点M(a，2)在△ABC的外接圆上，求a的值.解(1)设△ABC外接圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由题意，得2解得D即△ABC的外接圆的一般方程为x2+y2-8x-2y+12=0.(2)由(1)知，△ABC的外接圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0，易知M的一个坐标为(2，2)，即a=2，又点M(a，2)在△ABC的外接圆上，∴a2+22-8a-2×2+12=0，即a2-8a+12=0，解得a=6，综上，a=2或6.反思感悟求圆的方程的策略(1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心坐标、半径，得到圆的方程.(2)待定系数法：选择圆的一般方程或标准方程，根据条件列关于D，E，F或a，b，r的方程组解出系数得到圆的方程.跟踪训练2已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+3=0，圆心在直线x+y-1=0上，且圆心在第二象限，半径长为2，求圆的一般方程.解圆心C-D∵圆心在直线x+y-1=0上，∴-D2-E2即D+E=-2. ①又∵半径长r=D2+E∴D2+E2=20. ②由①②可得D=2,E又∵圆心在第二象限，∴-D2<0，即D>0.则故圆的一般方程为x2+y2+2x-4y+3=0.三、圆的轨迹问题问题3轨迹和轨迹方程有什么区别？提示轨迹是指点在运动变化中形成的图形，比如直线、圆等.轨迹方程是点的坐标满足的关系式.例3(课本例5)已知线段AB的端点B的坐标是(4，3)，端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.解设点M的坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0).由于点B的坐标是(4，3)，且M是线段AB的中点，所以x=x0+42，于是有x0=2x-4，y0=2y-3.①因为点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，所以点A的坐标满足圆的方程，即(x0+1)2+y02=4把①代入②，得(2x-4+1)2+(2y-3)2=4，整理，得x-322这就是点M的轨迹方程，它表示以32，32为圆心，例3点A(2，0)是圆x2+y2=4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点.(1)求线段AP的中点M的轨迹方程；(2)若∠PBQ=90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程.解(1)设线段AP的中点M(x，y)，由中点坐标公式，得点P的坐标为(2x-2，2y).∵点P在圆x2+y2=4上，∴(2x-2)2+(2y)2=4，故线段AP的中点M的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.(2)设线段PQ的中点N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|=|BN|.设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，∴|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2，∴x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4，故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.延伸探究1在本例条件不变的情况下，求过点B的弦的中点T的轨迹方程.解设T(x，y).因为点T是弦的中点，所以OT⊥BT.当斜率存在时，有kOT·kBT=-1.即yx·y-1整理得x2+y2-x-y=0.当x=0或1时，点(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)也都在圆上.故所求轨迹方程为x2+y2-x-y=0.延伸探究2若本例条件不变，求BP的中点E的轨迹方程.解设点E(x，y)，P(x0，y0).∵B(1，1)，∴x整理得x0=2x-1，y0=2y-1，∵点P在圆x2+y2=4上，∴(2x-1)2+(2y-1)2=4，整理得，点E的轨迹方程为x2+y2-x-y-12反思感悟求与圆有关的轨迹问题的方程(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程.(3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.跟踪训练3已知圆C经过(2，6)，(5，3)，(2，0)三点.(1)求圆C的方程；(2)设点A在圆C上运动，点B(2，3)，且点M满足AM=2MB，求点M的轨迹方程.解(1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由题意得2解得D则圆C的方程为x2+y2-4x-6y+4=0.(2)设M(x，y)，A(xA，yA)，则AM=(x-xA，y-yA)，MB=(2-x，3-y)，由AM=2MB，得x解得x由点A在圆C上，得(3x-4)2+(3y-6)2-4(3x-4)-6(3y-6)+4=0，即x2+y2-4x-6y+12=0，故点M的轨迹方程为x2+y2-4x-6y+12=0.1.知识清单：(1)圆的一般方程.(2)求动点的轨迹方程.2.方法归纳：待定系数法、几何法、定义法、代入法.3.常见误区：忽视圆的一般方程表示圆的条件.1.若x2+y2-x+y-2m=0是一个圆的方程，则实数m的取值范围是()A.-∞，C.-14答案C解析根据题意，得(-1)2+12-4×(-2m)>0，所以m>-142.已知圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为(-2，3)，则D，E分别为()A.4，-6 B.-4，-6C.-4，6 D.4，6答案A解析圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为-D又已知该圆的圆心坐标为(-2，3)，∴-D2=-2，-E2∴D=4，E=-6.3.(多选)圆x2+y2-4x-1=0()A.关于点(2，0)对称B.关于直线y=0对称C.关于直线x+3y-2=0对称D.关于直线x-y+2=0对称答案ABC解析x2+y2-4x-1=0⇒(x-2)2+y2=5，即圆心的坐标为(2，0).A项，圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(2，0)是圆心，故正确；B项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线y=0过圆心，故正确；C项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x+3y-2=0过圆心，故正确；D项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x-y+2=0不过圆心，故不正确.4.已知点M到两个定点A(1，0)，B(4，0)的距离比为12，则点M的轨迹方程为.答案x2+y2=4解析设M(x，y)，则|MA|=(x|MB|=(x故|MA||MB|=(x-1两边平方并化简得x2+y2=4.所以点M的轨迹方程为x2+y2=4.课时对点练[分值：100分]单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分1.圆x2+y2-2x+6y+8=0的面积为()A.8π B.4π C.2π D.π答案C解析原方程可化为(x-1)2+(y+3)2=2，∴半径r=2，∴圆的面积为S=πr2=2π.2.(多选)下列结论正确的是()A.任何一个圆的方程都可以写成一个二元二次方程B.圆的一般方程和标准方程可以互化C.方程x2+y2-2x+4y+5=0表示圆D.若点M(x0，y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外，则x02+y02+Dx0+Ey答案ABD解析A，B显然正确；C中方程可化为(x-1)2+(y+2)2=0，所以表示点(1，-2)；D正确.3.若点P(1，1)在圆x2+y2+x-y+k=0的外部，则实数k的取值范围是()A.(-2，+∞) B.-2C.-2，12答案C解析因为点P(1，1)在圆x2+y2+x-y+k=0的外部，所以需满足1+1+1-1+解得-2<k<124.已知圆C：(x-a)2+(y-b)2=1过点A(1，0)，则圆C的圆心的轨迹是()A.点 B.直线 C.线段 D.圆答案D解析∵圆C：(x-a)2+(y-b)2=1过点A(1，0)，∴(1-a)2+(0-b)2=1，∴(a-1)2+b2=1，∴圆C的圆心的轨迹是以(1，0)为圆心，1为半径的圆.5.已知直线l：x+my+2=0，若圆C：x2+y2-6x+4y-3=0上存在两点P，Q关于直线l对称，则m的值为()A.52 B.32 C.答案A解析由圆C：x2+y2-6x+4y-3=0，得圆C的圆心坐标为(3，-2)，又圆C上存在两点P，Q关于直线l对称，所以直线l经过圆C的圆心，从而3-2m+2=0，解得m=526.当方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆取得最大面积时，直线y=(k-1)x+2的倾斜角α等于()A.π2 B.π4 C.3π答案C解析x2+y2+kx+2y+k2=0化为标准方程为x+k22+(y+1)2=1-所以当k=0时圆的半径最大，面积也最大，此时直线的斜率为-1，故倾斜角为3π47.(5分)当m变化时，圆x2+y2+(m+2)x+y-2=0恒过定点.

答案(0，-2)和(0，1)解析方程x2+y2+(m+2)x+y-2=0可化为(x2+y2+2x+y-2)+mx=0.由x2+y2+2x+y-2=0,x=0,得x=0,y8.(5分)已知△ABC的顶点A(0，0)，B(4，0)，且AC边上的中线BD的长为3，则顶点C的轨迹方程是.

答案(x-8)2+y2=36(y≠0)解析设C(x，y)(y≠0)，则Dx2∵B(4，0)，且AC边上的中线BD长为3，∴x2-42+即(x-8)2+y2=36(y≠0).9.(10分)已知方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9=0表示一个圆.(1)求t的取值范围；(3分)(2)求这个圆的圆心坐标和半径；(3分)(3)求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程.(4分)解(1)圆的方程可化为[x-(t+3)]2+[y+(1-4t2)]2=1+6t-7t2.由1+6t-7t2>0，即7t2-6t-1<0，得-17<t故t的取值范围是-1(2)由(1)知，圆的圆心坐标为(t+3，4t2-1)，半径为1+6t(3)r=-7=-7t-3所以r的最大值为47此时t=37故此时圆的标准方程为x-2472+10.(10分)如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4，3)，端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的端点B的轨迹方程.解设B点坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)，由于点C的坐标是(4，3)且点C是线段AB的中点，所以4=x0+x2于是有x0=8-x，y0=6-y. ①因为点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，所以点A的坐标满足方程(x+1)2+y2=4，即(x0+1)2+y02=4把①代入②，得(8-x+1)2+(6-y)2=4，整理，得(x-9)2+(y-6)2=4.所以点B的轨迹方程为(x-9)2+(y-6)2=4.11.圆x2+y2-ax-2y+1=0关于直线x-y-1=0对称的圆的方程是x2+y2-4x+3=0，则a的值为()A.0 B.1 C.2 D.3答案C解析由于圆x2+y2-ax-2y+1=0的圆心为Ma2圆x2+y2-4x+3=0的圆心为N(2，0)，又两圆关于直线x-y-1=0对称，故有1-0a2解得a=2.12.若曲线C：x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为()A.(-∞，-2) B.(-∞，-1)C.(1，+∞) D.(2，+∞)答案D解析由题意得，曲线C的标准方程为(x+a)2+(y-2a)2=4，因此曲线C是圆心为(-a，2a)，半径为2的圆.∵曲线C上所有的点均在第二象限内，∴-解得a>2，∴a的取值范围是(2，+∞).13.(多选)若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2，-4)为圆心，4为半径的圆，则下列结论正确的是()A.(x-2B.圆关于直线y=-2x对称C.F=4D.圆与y轴相切答案ABC解析(x-2)2+(y-1)2表示圆上动点(x，y)到定点(2，1)的距离，因为圆心(2，-4)到点(2，1)的距离为5，所以圆上动点(x，y)到定点(因为圆心(2，-4)在直线y=-2x上，所以圆关于直线y=-2x对称，B正确；由题知-解得D=-4，E=8，F=4，C正确；由题知圆心纵坐标的绝对值等于半径，故该圆与x轴相切，与y轴相交，D错误.14.(5分)已知圆C经过点(4，2)，(1，3)和(5，1)，则圆C与两坐标轴的四个截距之和为.

答案-2解析设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将(4，2)，(1，3)，(5，1)代入方程中，得16+4+4D+2所以圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0.令x=0，则y2+4y-20=0，由根与系数的关系得y1+y2=-4；令y=0，则x2-2x-20=0，由根与系数的关系得x1+x2=2，故圆C与两坐标轴的四个截距之和为y1+y2+x1+x2=-4+2=-2.15.已知正方形ABCD的边长为2，点M在以C为圆心，1为半径的