人教版高中数学选择性必修一 题库 第三章　3.2.1　第2课时　双曲线及其标准方程的应用

第2课时双曲线及其标准方程的应用学习目标1.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题(重点).2.双曲线在实际生活中的应用(难点).导语双曲线是我们在平时生活中经常见到的图形，这节课一起来研究双曲线在实际生活中的应用.一、双曲线定义的应用例1(1)已知A(-4，0)，B是圆(x-1)2+(y-4)2=1上的点，点P在双曲线x29-y27=1的右支上，则|PA|+|PB|A.9 B.25+6 C.10 D.12答案C解析设点C(1，4)，圆的半径为r，点B在圆上，则|PB|≥|PC|-r=|PC|-1，由点P在双曲线右支上，点A为双曲线左焦点，设A'为双曲线右焦点，所以由双曲线定义知|PA|=|PA'|+2a=|PA'|+6，所以|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|+6≥|PA'|+|PC|+6-1≥|A'C|+5=5+5=10.(2)已知双曲线x29-y216=1的左、右焦点分别是F1，F2.若双曲线上一点P满足∠F1PF2=60°，求△F1解由x29-y216=1得，a=3，b=4由双曲线的定义和余弦定理得|PF1|-|PF2|=±6，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos60°，所以102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|=64，所以S△F1PF2=12|PF1|·|PF2|=12×64×32=16反思感悟双曲线的定义的应用(1)求解与双曲线有关的长度和最值问题，都可以通过相应的双曲线的定义去解决.(2)双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用.跟踪训练1已知定点A(3，1)，F是双曲线x24-y212=1的右焦点，P是双曲线右支上的动点，则|PA|+|PF|A.2 B.52+4C.52-4 D.2+4答案C解析如图，设F1是双曲线的左焦点，则F1(-4，0)，根据双曲线的定义及P是双曲线右支上的动点可得|PF1|-|PF|=2a，所以|PF|=|PF1|-2a，所以|PA|+|PF|=|PA|+|PF1|-2a=|PA|+|PF1|-4，结合图形可得|PA|+|PF1|≥|AF1|=[3-(-4)]2当且仅当P，A，F1三点共线时等号成立，所以|PA|+|PF1|-4≥52-4，所以|PA|+|PF|的最小值为52-4.二、双曲线方程的设法例2(1)求经过点P3，154，(2)若双曲线C与已知双曲线x216-y24=1有相同的焦点，且过点(32，2)解(1)方法一若焦点在x轴上，则设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a由于点P3，154和Q所以9a2-22516b若焦点在y轴上，则设双曲线的方程为y2a2-x2b2=1(a将P，Q两点坐标代入可得225解得a所以双曲线的标准方程为y29-x综上，双曲线的标准方程为y29-x方法二设双曲线方程为mx2+ny2=1(mn<0)，因为P，Q两点在双曲线上，所以9m+所以所求双曲线的标准方程为y29-x(2)设所求双曲线C的方程为x216-λ-y24+λ=1由于双曲线C过点(32，2)，所以1816-λ-4解得λ=4或λ=-14(舍去)，所以所求双曲线C的方程为x212-y反思感悟(1)若双曲线过两定点，可设其方程为mx2+ny2=1(mn<0)，通过解方程组即可确定m，n，避免了讨论.(2)与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程为x2a2+λ-y2b2-λ=1(-a2<λ<b2)；与双曲线y2a2-x2b2=1(跟踪训练2已知双曲线中，c=6，且经过点(-5，2)，焦点在x轴上，求该双曲线的标准方程.解方法一依题意可设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a则有a2+故所求双曲线的标准方程为x25-y2方法二∵焦点在x轴上，c=6，∴设所求双曲线方程为x2λ-y26-λ=1(其中∵双曲线经过点(-5，2)，∴25λ-46-解得λ=5或λ=30(舍去).∴所求双曲线的标准方程是x25-y2三、双曲线在实际生活中的应用例3(课本例2)已知A，B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程.解如图，建立平面直角坐标系Oxy，使A，B两点在x轴上，并且原点O与线段AB的中点重合.设炮弹爆炸点P的坐标为(x，y)，则|PA|-|PB|=340×2=680，即2a=680，a=340.又|AB|=800，所以2c=800，c=400，b2=c2-a2=44400.因为|PA|-|PB|=680>0，所以点P的轨迹是双曲线的右支，因此x≥340.所以，炮弹爆炸点的轨迹方程为x2115600-y244400=1(x≥340例3单叶双曲面是最受设计师青睐的结构之一，它可以用直的钢梁建造，既能减少风的阻力，又能用最少的材料来维持结构的完整.如图1，俗称“小蛮腰”的广州塔位于中国广州市，它的外形就是单叶双曲面.某市计划建造类似于广州塔的地标建筑，此地标建筑的平面图形是双曲线，如图2，最细处的直径为100m，楼底的直径为5022m，楼顶直径为506m，最细处距楼底300m，则该地标建筑的高为()A.350m B.375m C.400m D.450m答案C解析建立平面直角坐标系如图所示.由题意可得A(50，0)，C(2522，-300)，设B(256，y0)(y0>0)，双曲线的方程是x2a2-y2b2=1(a则502a所以双曲线的方程是x22500-y将点B(256，y0)代入，得252×62500-解得y0=100，所以该地标建筑的高为300+100=400(m).反思感悟利用双曲线解决实际问题的基本步骤(1)建立适当的坐标系.(2)求出双曲线的标准方程.(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义).跟踪训练3如图，B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东30°方向2km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点D到A的距离比到B的距离远2km，现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物，那么这两条公路MB，MC的路程之和最短是km.

答案27-2解析如图所示，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系.则A(-2，0)，B(2，0)，|DA|-|DB|=2，根据双曲线定义知，点D的轨迹(即曲线PQ)为双曲线的右支.故2c=4，c=2，2a=2，a=1，b2=c2-a2=4-1=3，故轨迹方程为x2-y23=1(x≥1根据题意知C(3，3)，|MB|+|MC|=|MA|+|MC|-2≥|AC|-2=27-2.当且仅当A，M，C三点共线时，等号成立，故两条公路MB，MC的路程之和最短是(27-2)km.1.知识清单：(1)双曲线定义的应用.(2)双曲线方程的设法.(3)双曲线在实际生活中的应用.2.方法归纳：转化法.3.常见误区：双曲线在实际生活中的应用中，建模容易出错.1.相距4k千米的A，B两地，听到炮弹爆炸的时间相差2秒，若声速为k千米/秒，则炮弹爆炸点P的轨迹是()A.双曲线的一支 B.双曲线C.椭圆 D.圆答案B解析由已知可得||PA|-|PB||=2k<4k=|AB|，根据双曲线的定义可知，点P在以A，B为焦点的双曲线上，则炮弹爆炸点P的轨迹是双曲线.2.某圆锥曲线C是椭圆或双曲线，且过A(-2，1)和B32，-24两点，则曲线答案x22-y解析设曲线C的方程为mx2+ny2=1，代入点A(-2，1)，点B32得4m+所以曲线C为双曲线，其标准方程为x22-y23.已知F1，F2分别为双曲线C：x22-y22=1的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2答案3解析由题意可得，P解得|PF1|=42，|PF2|=22，因为|F1F2|=22+2=4，所以cos∠F1PF2=P=32+8-162×42×24.已知F是双曲线x24-y212=1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|答案9解析对于双曲线x24-y212=1，则a=2，b=23如图所示，设双曲线的右焦点为M，则M(4，0)，由双曲线的定义可得|PF|-|PM|=4，则|PF|=4+|PM|，所以|PF|+|PA|=|PM|+|PA|+4≥|AM|+4=(1-4)2当且仅当A，P，M三点共线时，等号成立.因此，|PF|+|PA|的最小值为9.课时对点练[分值：100分]单选题每小题5分，共50分1.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.若双曲线上存在点A使得∠F1AF2=90°，且|AF1|=2|AFA.x2-y24=1 B.x24C.x22-y23=1 D.答案A解析由题意，根据双曲线的定义及|AF1|=2|AF2|=4，可得|AF1|-|AF2|=2=2a，解得a=1，因为∠F1AF2=90°，所以|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2=20，即(2c)2=20，即c2=5，又b2+a2=c2，则b2=c2-a2=4，所以双曲线的方程为x2-y242.若双曲线C与双曲线y25-x2=1有相同的焦点，且双曲线C过点(2，-23)，则双曲线C的标准方程为(A.x22-y24=1 B.C.x24-y22=1 D.答案B解析设双曲线C的方程为y25+λ-x21-λ=1由于双曲线C过点(2，-23)，则(-23)25+解得λ=-1或λ=13(舍去)，所以双曲线C的标准方程为y24-x3.已知双曲线x24-y22=1的右焦点为F，P为双曲线左支上一点，点A(0，2)，则△APFA.4+2 B.4(1+2)C.2(2+6) D.6+32答案B解析设双曲线的左焦点为F'，则|PF|-|PF'|=2a=4，所以|PF|=4+|PF'|，所以△APF的周长为|PF|+|PA|+|AF|=4+|PF'|+|PA|+22≥4+22+|AF'|=4+42，当且仅当P在线段AF'与双曲线左支的交点处时取等号，所以△APF周长的最小值为4+42.4.地震预警是指在破坏性地震发生以后，在某些区域可以利用“电磁波”抢在“地震波”之前发出避险警报信息，以减小相关预警区域的灾害损失.根据双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.在一次地震预警中，两地震台A站和B站相距10km.根据它们收到的信息，可知震中到B站与震中到A站的距离之差为6km.据此可以判断，震中到地震台B站的距离至少为()A.8km B.6km C.4km D.2km答案A解析设震中为P，依题意有|PB|-|PA|=6<|AB|=10，所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线靠近A的一支，因为|PA|+|PB|≥|AB|=10，当且仅当A，P，B三点共线时取等号，所以|PB|-6+|PB|≥10，所以|PB|≥8，所以震中到地震台B站的距离至少为8km.5.已知双曲线的两个焦点为F1(-10，0)，F2(10，0)，M是此双曲线上的一点，且满足MF1·MF2=0，|MF1|·|MF2|=2A.x29-y2=1 B.x2-C.x23-y27=1 D.答案A解析∵MF1·M∴MF1⊥MF2，即MF1∴|MF1|2+|MF2|2=40.则(|MF1|-|MF2|)2=|MF1|2-2|MF1|·|MF2|+|MF2|2=40-2×2=36.∴||MF1|-|MF2||=6=2a，即a=3.∵c=10，∴b2=c2-a2=1.则该双曲线的方程是x29-y26.已知点P是双曲线x216-y220=1右支上的一点，点A，B分别是圆(x+6)2+y2=4和圆(x-6)2+y2=1上的点.则|PA|-|PB|A.3 B.5 C.7 D.9答案B解析由双曲线x216-y220=1可知a=4，c=a2+且圆(x+6)2+y2=4的圆心为F1(-6，0)，半径r1=2，圆(x-6)2+y2=1的圆心为F2(6，0)，半径r2=1，由圆的性质可知，|PA|≥|PF1|-r1=|PF1|-2，|PB|≤|PF2|+r2=|PF2|+1，可得|PA|-|PB|≥(|PF1|-2)-(|PF2|+1)=|PF1|-|PF2|-3，可知F1(-6，0)，F2(6，0)为双曲线的焦点，则|PF1|-|PF2|=2a=8，可得|PA|-|PB|≥|PF1|-|PF2|-3=5，所以|PA|-|PB|的最小值为5.7.(5分)已知双曲线E：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)，矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|=6答案x214解析由题意得|AB|=3，|BC|=2.如图所示，设AB，CD的中点分别为M，N，在Rt△BMN中，|MN|=2c=2，故|BN|=|BM|2+|MN|由双曲线的定义可得2a=|BN|-|BM|=52-32则a=12，又2c=2所以c=1，b2=c2-a2=34所以双曲线E的标准方程是x214-8.(5分)已知F1，F2分别是双曲线C：x216-y29=1的左、右焦点，P为双曲线C上的一点.若△PF1F2为直角三角形，则△PF1F2答案454或解析不妨设点P在双曲线的右支上，当∠PF2F1=90°时，令x=5，得y=±94，所以PF2=94，所以△PF1F2的面积为12×10×94=454；当∠F1PF2=90°时，则PF12+PF22=F1F22=100，又PF1-PF2=2a=8，可得PF1PF2=189.(10分)已知F1，F2是双曲线的两个焦点，且|F1F2|=10，过F2的直线交双曲线的一支于A，B两点，当|AB|=5，△AF1B的周长等于26时，求此双曲线的标准方程.解当双曲线的焦点在x轴上时，设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，由△AF1B的周长等于26，得|AF1|+|AB|+|BF1|=26，由双曲线的定义可知|AF1|-|AF2|=2a，|BF1|-|BF2|=2a，两式相加得，|AF1|-|AF2|+|BF1|-|BF2|=4a，即|AF1|-|AB|+|BF1|=4a，而|AB|=5，因此可得5-(-5)=26-4a⇒a=4，因为|F1F2|=10，所以c=5，于是b=c2-a2所以双曲线方程为x216-y当双曲线的焦点在y轴上时，同理可得双曲线方程为y216-x综上所述，双曲线方程为x216-y29=1或y10.(12分)设F1，F2分别是双曲线x29-y216(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；(5分)(2)若P是双曲线左支上一点，且|PF1|·|PF2|=32，试求△F1PF2的面积.(7分)解(1)F1，F2是双曲线x29-y2则a=3，b=4，c=5，设点M到另一个焦点的距离为m，由双曲线定义可知|m-16|=2a=6，解得m=10或m=22，即点M到另一个焦点的距离为10或22.(2)P是双曲线左支上的点，|PF2|-|PF1|=2a=6，则|PF2|2-2|PF1|·|PF2|+|PF1|2=36，代入|PF1|·|PF2|=32，可得|PF1|2+|PF2|2=36+2×32=100，即|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=100，所以△F1PF2为直角三角形，所以S△F1PF2=12|PF1|·|11.设椭圆x26+y22=1和双曲线x23-y2=1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个公共点，则cos∠F1A.14 B.13 C.19答案B解析设|PF1|=d1，|PF2|=d2，则d1+d2=26，①|d1-d2|=23，②①2+②2，得d12+d①2-②2，得2d1d2=6.而c=2，∴cos∠F1PF2=1312.双曲线x2-y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上的点P满足∠F1PF2=60°，则|PF1|·|PF2|等于()A.1 B.4 C.7 D.9答案B解析在双曲线x2-y2=1中，a=b=1，c=2，设P在右支上，则|PF1|-|PF2|=2a=2，∵∠F1PF2=60°，在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos60°=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1||PF2|-|PF1|·|PF2|，即4c2=4a2+|PF1|·|PF2|，即|PF1|·|PF2|=4c2-4a2=4b2=4.13.双曲线的光学性质是：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上.已知双曲线C：x216-y29=1的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线射向C上的点P(8，y0)后，被CA.1314 B.-1114 C.1114 D答案C解析设P(8，y0)在第一象限，6416-y029=1⇒y|PF2|=(8-5)2|PF1|=6+8=14，|F1F2|=10，cos∠F1PF2=142+614.3D打印是一种快速成型技术，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒(数据均以外壁即塔筒外侧表面计算)的上底直径为62cm，下底直径为92cm，喉部(中间最细处)的直径为8cm，上底与喉部的距离为22cm，则该塔筒的高为()A.272cm B.18C.2722cm D.92答案D解析该塔筒的轴截面如图所示，以喉部(中间最细处)的中点O为原点，建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)