人教版高中数学选择性必修一 题库 第一章　§1.2　空间向量基本定理

学习目标1.理解空间向量基本定理及其意义并会简单应用.2.会用基底表示空间向量.(重点)3.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的方法.(难点)导语我们学过的平面向量基本定理可以概括为给出一个二维的基底可以表示平面中所有的向量；上面的结论能否推广到三维空间，即如果给出一个三维的基底，能否表示空间中所有的向量呢？今天我们就来研究这个问题.一、空间向量基本定理问题1如图，设i，j，k是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O，对于任意一个空间向量p=OP，p能否用i，j，k提示如图，设OQ为OP在i，j所确定的平面上的投影向量，则OP=OQ+又向量QP，k共线，因此存在唯一的实数z，使得QP=zk，从而OP=OQ+在i，j确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得OQ=xi+yj.从而OP=OQ+zk=xi+yj+z问题2请证明x，y，z的唯一性.提示假设除(x，y，z)外，还存在有序实数组(x'，y'，z')，使得p=x'i+y'j+z'k，则x'i+y'j+z'k=xi+yj+zk.不妨设x'≠x，则(x'-x)i=(y-y')j+(z-z')k.两边同除以(x'-x)，得i=y-y'x'由平面向量基本定理可知，i，j，k共面，这与已知矛盾.所以有序实数组(x，y，z)是唯一的.知识梳理1.空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc.2.基底：我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量.3.单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示.4.正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使a=xi+yj+zk.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.注意点：(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示.(2)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量.(3)若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量.例1已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且OA=e1+2e2-e3，OB=-3e1+e2+2e3，OC=e1+e2-e3，试判断{OA，解假设OA，OB则存在实数λ，μ使得OA=λOB+μOC∴e1+2e2-e3=λ(-3e1+e2+2e3)+μ(e1+e2-e3)=(-3λ+μ)e1+(λ+μ)e2+(2λ-μ)e3，∵e1，e2，e3不共面，∴-3λ∴OA，∴{OA，OB，反思感悟基底的判断思路(1)判断空间三个向量能否作为一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底.(2)在正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体中，我们通常选用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底，有时，也在此基础上构造其他向量作基底.跟踪训练1(1)(多选)已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，则可以与向量p=e1+e2，q=e1-e2构成基底的向量是()A.e1 B.e3C.e1+2e2 D.e1+2e3答案BD解析能与p，q构成基底，则与p，q不共面.∵e1=p+q2，e1+2e2=32p-12∴A，C都不符合题意.∵{e1，e2，e3}为一个基底，∴e3，e1+2e3与p，q不共面，可构成基底.(2)已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，向量p=4e1+2e2+3e3，在基底e1+e2，e1-e2，e3下，p可表示为x(e1+e2)+y(e1-e2)+A.4，0，3 B.3，1，3C.1，2，3 D.2，1，3答案B解析由题意，p=x(e1+e2)+y(e1-e2)+ze3=(x+y)e1+(x-y)e2+ze3，又向量p=4e1+2e2+3e3，则x+y=二、用基底表示空间向量例2(课本例1)如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且MN=12ON，AP=34AN，用向量OA，解OP=OA+AP=OA+3=OA+34(ON=OA+34ON=14OA=14OA+14例2如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点.用向量OA，OB，OC为基底表示解OP=OM=12OA=12OA+23=12OA=16OA+13OQ=1=14OA+112OA=13OA+16反思感悟用基底表示向量(1)若基底已经明确，要充分利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则、向量减法的几何意义，以及向量数乘运算的运算律.(2)若基底不明确，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求.跟踪训练2在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设AB=a，AD=b，AA1=c，E，F分别是AD1(1)用向量a，b，c表示D1(2)若D1F=xa+yb+zc，求实数x，y，z解(1)如图，连接AC，EF，D1F，BD1，D1B=-AA1+AB=a-b-c.EF=EA+AF=-12(AA1+AD)=12AB-12AA(2)D1F==12(-AA1=12(-c+a-b-c=12a-12b-又D1F=xa+yb+z∴x=12，y=-1三、空间向量基本定理的应用例3(课本例2)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=4，AA1=5，∠DAB=60°，∠BAA1=60°，∠DAA1=60°，M，N分别为D1C1，C1B1的中点.求证MN⊥AC1.证明设AB=a，AD=b，AA1=c，这三个向量不共面，{a，b，c}构成空间的一个基底MN=MC1+C1N=12AC1=AB+BC+CC1=a+所以MN·AC1=12a-12b=12a·a+12a·b+12a·c-12b·a-12b·b=12×42+12×42×cos60°+12×4×5×cos60°-12×42×cos60°-12×42-12×4×所以MN⊥AC1.例3(课本例3)如图，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1，E，F，G分别为C'D'，A'D'，D'D的中点.(1)求证：EF∥AC；(2)求CE与AG所成角的余弦值.(1)证明设DA=i，DC=j，DD'=k，则{i，j，k}所以EF=D'F-D'E=12i-12j=12(i-CA=DA-DC=i-j.所以EF=12所以EF∥AC.(2)解因为CE=CC'+C'E=-12j+kAG=AD+DG=-i+12k所以cos〈CE，AG〉=CE·AG|所以CE与AG所成角的余弦值为25例3在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，BD的中点，点G在棱CD上，且CG=13CD(1)证明：EF⊥B1C；(2)求EF与C1G所成角的余弦值.(1)证明设DA=i，DC=j，DD则{i，j，k}构成空间的一个正交基底.∴EF=ED+DF=-12k+1=12i+12j-12k，B1C=B∴EF·B1C=12i+=-12|i|2+12|k|2=∴EF⊥B1C，即EF⊥B(2)解∵EF=12i+12jC1G=C1C+CG=∴|EF|2=1=14|i|2+14|j|2+14|k|2即|EF|=3|C1G|2=-k-13j2=|k=4+49=409，即∴cos〈EF，C1=1=43即EF与C1G所成角的余弦值为3015延伸探究若本例条件不变，M为A1B的中点，证明：MF∥B1C.证明设DA=i，DC=j，DD则B1C=B1B+BCMF=AF-AM=12(AD+AB)-1=12j=-12i-12k=12(-i-k所以MF∥B又MF，B1C无公共点，所以MF∥B1C.反思感悟(1)证明平行、共面问题的思路①利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行.②利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行.(2)求异面直线所成的角、证明线线垂直的方法利用数量积定义可得cos〈a，b〉=a·b|a||b|，跟踪训练3已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为.

答案10解析如图所示，令BA=a，BC=b，BB则〈a，b〉=120°，c⊥a，c⊥b，因为AB1=AB+BB1BC1=BC+CC|cos〈AB1，B=|=|=|-2×1×cos120°+11.知识清单：(1)空间向量基本定理.(2)空间向量基本定理的应用.2.方法归纳：转化化归.3.常见误区：(1)基向量理解错误，忽视基向量的条件.(2)利用基向量表示向量时，没有目标意识，缺少向量表示的方向性.1.已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a=OA+OB+OC，向量b=OA+OB-OC，则与a，b不能构成空间基底的是(A.OA B.OBC.OC D.OA或OB答案C解析∵OC=12(a-∴OC与a，b共面，∴a，b，OC不能构成空间基底2.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，点O为空间内任意一点，设OA=a，OB=b，OC=c，则向量OD可用a，b，c表示为(A.a-b+2c B.a-b-2cC.-12a+12b+c D.12a-1答案D解析OD=OC+CD=OC+12(OA-OB)=12a-13.在棱长为1的正四面体ABCD中，AB与CD()A.相交 B.平行C.垂直 D.无法判断位置关系答案C解析CD=BD-BC，所以BA·CD=BA·(BD-BC)=BA·=1×1×12-1×1×12=故BA⊥CD，即AB与CD垂直4.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点，若AB=a，则MN的长为()A.32aB.3C.55a D.15答案A解析设AB=i，AD=j，AA则{i，j，k}构成空间的一个正交基底.MN=MB+BC+CN=12i+j+12=12i+12j+1故|MN|2=14a2+14a2+14a2=3所以MN=32a课时对点练[分值：100分]单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分1.设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以作为空间的一个基底，否则不能作为空间的一个基底，当{a，b，c}为空间的一个基底时，一定有a，b，c为非零向量.因此pq，q⇒p，即p是q的必要不充分条件.2.在正四面体OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，D为BC的中点，E为AD的中点，OEA.13a+13b+13c B.12a+C.12a+12b+12c D.12a+1答案D解析OE=OA=OA+1=OA+14(AB=OA+14(OB-OA+OC-所以OE=12a+14b3.已知l，m是异面直线，A，B∈l，C，D∈m，AC⊥m，BD⊥m且AB=2，CD=1，则异面直线l，m所成的角等于()A.30° B.45° C.60° D.90°答案C解析如图，设AC=a，CD=b，DB=c则AB=a+b+c，所以AB·CD=(a+b+c)·b=1，|AB|=2，|CD|=1，所以cos〈AB，CD〉所以异面直线l，m所成的角等于60°.4.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别在棱BB1，BC，BA上，且满足BE=34BB1，BF=12BC，BG=12BA，O是平面B1GF、平面ACE与平面B1BDD1的一个公共点，设A.45 B.65 C.7答案B解析因为BO=xBG+yBF+zBE=xBG+yBF+3点O在平面B1GF内，所以x+y+3z4=同理可得x2+y2+z=1，解得x+y=25所以x+y+z=655.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，AM=12MC1，点N为B1BA.216 B.66 C.15答案A解析设AB=a，AD=b，AA则{a，b，c}构成空间的一个正交基底.∵MN=AN-AM=a+BN-13(a+b+c)=23a+16c-∴|MN|=496.(多选)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为A1C1与B1D1的交点，若AB=a，AD=b，AA1=cA.BM=12a-12b+c B.AC1C.|AC1|=5 D.cos〈AB，答案BD解析BM=BB1+B1M=AA1+12(BA+AC1=AB+AD+CC1=a+AC1=a+b+则|AC1|2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·2a·c+2b·c=6，则|AC1|=6AB·AC1=a·(a+b+c)=a2+a·b+a·c=2，则cos〈AB，AC17.(5分)如图，在四面体ABCD中，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE=3ED，以{AB，AC，AD}为空间的一个基底，则GE答案-112AB-1解析连接AG并延长交BC于点M，连接AE(图略)，则GE=AE=AB+34BD=AB+34(AD-AB)-23×=-112AB-138.(5分)正四面体ABCD中，M，N分别为棱BC，AB的中点，则异面直线DM与CN所成角的余弦值为.

答案1解析如图，画出对应的正四面体，设AB=a，AC=b，AD=c，则{a，b，c}构成空间的一个基底.设正四面体ABCD的棱长均为因为DM=DA=-c+12(a+b=12(a+b-2c)又CN=AN-AC=12a-b=12又a·b=a·c=b·c=12设异面直线DM与CN所成的角为θ，则cosθ=|=|(=a=1-1+19.(10分)如图所示，在空间四边形OABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设OA=a，OB=b，OC=c，用向量a，b，c表示向量解因为OG=OA+AG=OA+23(OD=13OA=13OA+23×1=13(a+b+c)又OH=23OD=23×12(OB+所以GH=OH-OG=13(b+c)-13(=-13a10.(10分)如图，已知在直三棱柱ABC-A'B'C'中，AC=BC=AA'，∠ACB=90°，D，E分别为AB，BB'的中点.(1)求证：CE⊥A'D；(4分)(2)求异面直线CE与AC'所成角的余弦值.(6分)(1)证明设CA=a，CB=b，CC'=c根据题意，得|a|=|b|=|c|且a·b=b·c=c·a=0.所以CE=b+12c，A'D=-c+12b-所以CE·A'D=-12c2+12b2=所以CE⊥A'D即CE⊥A'D.(2)解因为|AC'|=2|a|，|CE|=52|a|又AC'=-a+c，AC'·CE=(-a+c)·b+12c=12c2所以cos〈AC'，CE〉=所以异面直线CE与AC'所成角的余弦值为101011.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在棱BB1和DD1上，且DF=12DD1，记EF=xAB+yAD+zAA1，若x+y+z=14，A.12 B.14 C.1答案B解析设BEBB1=λ，因为EF=EB+BA+AD+DF=-λBB=-λAA1-AB+AD=-AB+AD+1所以x=-1，y=1，z=12-λ因为x+y+z=12-λ=14，所以12.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，且AB=AP=6，AD=2，∠BAD=∠BAP=∠DAP=60°，E，F分别为PB，PC上的点，且PE=2EB，PF=FC，则|EFA.1 B.2 C.2 D.6答案B解析在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，连接AC，如图，PE=2则EF=EB+BA+AP=13PB-AB+AP=13PB-AB+AP+12=13(AB-AP)-+12(AB+AD=-16AB+1=16(-AB+3AD+AP)又AB=AP=6，AD=2，∠BAD=∠BAP=∠DAP=60°，则AB·AD=AP·AD=6×2×cos60°=AB·AP=6×6×cos60°=18，因此，|EF|=1=1=1613.(多选)若三棱锥M-ABC的体积是三棱锥P-ABC体积的13，且PM=λPA-2PB+3PC，则λ的值可能为A.13 B.23 C.-1答案AC解析因为三棱锥M-ABC的体积是三棱锥P-ABC体积的13，所以在平面ABC内存在一点Q，使得PM=23PQ或PM=43PQ，如图①②所示，当PM=23PQ时，则23PQ=λPA-2PB+3PC，得PQ=32λPA-3PB+92PC.因为点Q在平面ABC内，所以32λ-3+92=1，解得λ=-13；当PM=43PQ时，则43PQ14.(5分)已知在矩形ABCD中，AB=1，BC=3，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，过点B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N，用BM，MN，ND表