人教版高中数学选择性必修一 题库 第一章　1.1.2　空间向量的数量积运算

1.1.2空间向量的数量积运算学习目标1.了解空间向量的夹角.2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法(重点).3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.4.利用向量数量积判断垂直，求空间两点间的距离，计算异面直线所成的角(难点).导语在平面向量中已经学过两个平面向量的数量积运算，由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义.一、空间向量的数量积运算1.空间向量的夹角定义已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA=a，OB=b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b范围0≤〈a，b〉≤π向量垂直如果〈a，b〉=π2，那么向量a，b互相垂直，记作a注意点：对空间任意两个非零向量a，b有：①〈a，b〉=〈b，a〉；②〈-a，b〉=〈a，-b〉=π-〈a，b〉；③〈-a，-b〉=〈a，b〉.2.(1)空间向量的数量积已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b=|a||b|cos〈a，b〉.零向量与任意向量的数量积为0，即0·a=0.(2)运算律数乘向量与数量积的结合律(λa)·b=λ(a·b)，λ∈R交换律a·b=b·a分配律(a+b)·c=a·c+b·c3.向量的投影(1)如图①，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c=|a|cos〈a，b〉b|b|，向量c称为向量a在向量b上的投影向量.类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2)如图③，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A'，B'，得到向量A'B'，向量A'B'称为向量a在平面β上的投影向量.这时，向量a，A'B'的夹角就是向量a所在直线与平面β注意点：(1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab.(2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角θ的范围决定.①当θ为锐角时，a·b>0；但当a·b>0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0.②当θ为钝角时，a·b<0；但当a·b<0时，θ不一定为钝角，因为θ也可能为π.(3)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律.即a·b=a·cb=c，(a·b)·c≠a·(b·c).例1已知空间向量|a|=13，|b|=5，且a与b夹角的余弦值为-91365，则a在bA.-91313b B.C.925b D.-9答案D解析a在b上的投影向量为|a|cos〈a，b〉·b|b|=13×=-95·b5=-9例2如图所示，已知正四面体ABCD的棱长为1.延伸探究1BC与CD的夹角等于()A.30° B.60°C.150° D.120°答案D解析〈BC，CD〉=180°-〈CB，CD〉延伸探究2若点E，F分别是AB，AD的中点，计算：①EF·BA；②EF·BD；③EF·DC；④BF·CE.解①EF·BA=1=12|BD||BA|cos〈BD=12×1×1×cos60°=1②EF·BD=1=12|BD||BD|cos〈BD=12×1×1×cos0°=1③EF·DC=1=12|BD||DC|cos〈BD=12×1×1×cos120°=-1④BF·CE=12(BD+BA)=14[BD·(-BC)+BA·(-BC)+BD·CA+BA=14[-BD·BC-BA·BC+(CD-CB)·CA+AB·AC=14×-12-延伸探究3记AB=a，AC=b，AD=c.若MN=2a-2b，PQ=b-c，则MN·PQ=答案-1解析由题意得a·b=AB·AC=|AB||AC|cos∠BAC=1×1×cos60°=1同理b·c=c·a=1所以MN·PQ=(2a-2b)·(b-c)=2(a·b-b2-a·c+b·c)=-1.反思感悟(1)当两个非零空间向量同向共线时，夹角为0，反向共线时，夹角为π.(2)由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确.二、空间向量数量积的性质设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则(1)a·e=e·a=acosθ.

(2)a⊥b⇔a·b=0.(3)当a，b同向时，a·b=ab；当a，b反向时，a·b=-ab(4)a·a=|a|2或|a|=a·(5)|a·b|≤ab(6)cosθ=a·以上性质说明，可以从向量角度有效地分析有关垂直、长度、角度等问题.例3(课本例2)如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB=5，AD=3，AA'=7，∠BAD=60°，∠BAA'=∠DAA'=45°.求：(1)AB·AD；(2)AC'的长(精确到0.1).解(1)AB·AD=|AB||AD|cos〈AB，AD〉=5×3×cos60°=7.(2)|AC'|2=(AB+AD+AA')2=|AB|2+|AD|2+|AA'|2+2(AB·AD+AB·AA'+AD·AA')=52+32+72+2(5×3×cos60°+5×7×cos45°+3×7×cos45°)=98+562所以AC'≈13.3.例3(课本例3)如图，m，n是平面α内的两条相交直线.如果l⊥m，l⊥n，求证：l⊥α.证明如图，在平面α内作任意一条直线g，分别在直线l，m，n，g上取非零向量l，m，n，g.因为直线m与n相交，所以向量m，n不平行.由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使g=xm+yn.将上式两边分别与向量l作数量积运算，得l·g=xl·m+yl·n.因为l·m=0，l·n=0，所以l·g=0.所以l⊥g.这就证明了直线l垂直于平面α内的任意一条直线，所以l⊥α.例3如图所示，已知正四面体ABCD的棱长为1，记AB=a，AC=b，AD=延伸探究4|a-b+2c|等于()A.5 B.6C.5 D.6答案C解析由题意，得a·b=b·c=a·c=12，a2=b2=c2=所以|a-b+2c|=(=a=1+1+4-2×1延伸探究5若点E，G分别为AB和CD的中点，求E，G间的距离.解EG=EB+BC+CG=12AB+(AC-AB)+12(AD-AC)=12a+(b=-12a+12b+1所以EG2=14a2+14b2+14c2-12a·b-12a·所以|EG|=22，即E，G间的距离为延伸探究6在延伸探究5的条件下，求异面直线EG与BD所成的角的余弦值.解由延伸探究5知，EG=-12a+12b+12c，|又BD=AD-AB=c-所以EG·BD=12(-a+b+c)·(c=12(-a·c+b·c+c2+a2-a·b-a·c=12×又|BD|=1，则cos〈EG·BD〉=EG·故异面直线EG与BD所成的角的余弦值为22延伸探究7证明：异面直线AB与CD垂直.证明CD=AD-AC=c-AB·CD=a·(c-b)=a·c-a·b=12-12=所以AB⊥CD，所以AB⊥CD1.知识清单：(1)空间向量的夹角、投影向量.(2)空间向量数量积的性质及运算律.(3)空间向量的垂直.2.方法归纳：化归转化.3.常见误区：(1)数量积的符号由夹角的余弦值决定.(2)当a≠0时，由a·b=0可得a⊥b或b=0.1.(多选)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是()A.AB与AB.AB与CC.BC与CD.BC与A答案AD2.已知向量i，j，k是一组单位向量，且两两垂直.若m=8j+3k，n=-i+5j-4k，则m·n的值为()A.7 B.-20 C.28 D.11答案C解析因为向量i，j，k是一组单位向量，且两两垂直，所以|i|=|j|=|k|=1且i·j=j·k=i·k=0.因为m=8j+3k，n=-i+5j-4k，所以m·n=(8j+3k)·(-i+5j-4k)=40|j|2-12|k|2=40-12=28.3.若空间向量a与b不共线，a·b≠0，且c=a-a·aa·bb，则向量a与c的夹角为(A.0 B.π6 C.π3答案D解析∵a·c=a·a=a·a-a·aa·ba·b=a·a-a·a=0∴a⊥c，向量a与c的夹角为π24.若向量a，b均为单位向量，且向量a，b的夹角为π3，则a-2b答案3解析a-2课时对点练[分值：100分]单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分1.已知向量a和b的夹角为120°，且|a|=2，|b|=5，则(2a-b)·a等于()A.12 B.8+13 C.4 D.13答案D解析(2a-b)·a=2a2-b·a=2|a|2-|a||b|·cos120°=2×4-2×5×-122.已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|=|b|=1，a·b=-12，则两直线的夹角为(A.30° B.60° C.120° D.150°答案B解析设向量a，b的夹角为θ，则cosθ=a·b|a||b|则两个方向向量对应的直线的夹角为180°-120°=60°.3.平行六面体(底面为平行四边形的四棱柱)ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都为1，且∠A1AD=∠A1AB=60°，∠DAB=45°，则BD1等于()A.3-1 B.2-1C.3-2 D.3-答案C解析如图，因为BD1=AD所以|BD1|2=|AD-AB+AA1|2=|AD|2+|AB|2+|AA1|2-2AB·AD-2=1+1+1-2×1×1×cos45°-2×1×1×cos60°+2×1×1×cos60°=3-2，所以|BD1|4.(多选)如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都为a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是()A.2BA·AC B.2AD·BDC.2FG·AC D.2EF·CB答案BC解析对于A，2BA·AC=2a2cos120°=-a2，A错误；对于B，2AD·BD=2DA·DB=2a2cos60°=a2，B正确；对于C，2FG·AC=AC·AC=a2，对于D，2EF·CB=BD·CB=-BD·BC=-12a2，5.在空间四边形ABCD中，∠ABD=∠BDC=90°，AC=2BD，则BD在AC上的投影向量为()A.12AC B.14AC 答案B解析在空间四边形ABCD中，因为∠ABD=∠BDC=90°，AC=2BD，所以AB·BD=BD·DC=又AC=AB+BD则AC·BD=(AB+BD+DC)·BD=|BD|2，所以BD在AC上的投影向量为BD·AC|AC|6.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列命题是真命题的是()A.(AA1+AD+AB)2=B.A1C·AC.AD1与AD.正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|AB·AA1||答案ABC解析设正方体的棱长为a，A选项，(AA1+AD+AB)2=AA12+AD2+AB2+2(AA1·AD+AA1·AB+AD·B选项，A1C·AB1=(AC-AA1)·(AB+AA1)=(AB+AD-AA1)·(AB+AA1)=(AB-AA1)·(AB+AA1)+AD·(AB+AA1)=AB2C选项，由于△AB1D1是等边三角形，所以AD1与AB1的夹角为D选项，|AB·AA1||AD|=0，所以D7.(5分)已知|a|=13，|b|=19，|a+b|=24，则|a-b|=.

答案22解析|a+b|2=a2+2a·b+b2=132+2a·b+192=242，∴2a·b=46，|a-b|2=a2-2a·b+b2=530-46=484，故|a-b|=22.8.(5分)已知a+3b与7a-5b垂直，且a-4b与7a-2b垂直，则〈a，b〉=.

答案60°解析由条件知(a+3b)·(7a-5b)=7|a|2-15|b|2+16a·b=0，(a-4b)·(7a-2b)=7|a|2+8|b|2-30a·b=0，两式相减得46a·b=23|b|2，所以a·b=12|b|2代入上面两个式子中的任意一个，得|a|=|b|，所以cos〈a，b〉=a·b所以〈a，b〉=60°.9.(10分)已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2，AD=4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点，试计算：(1)BC·ED1；(3(2)BF·AB1；(3(3)EF·FC1.(4解如图所示，设AB=a，AD=b，AA则|a|=|c|=2，|b|=4，a·b=b·c=c·a=0.(1)BC·ED1=AD·(=AD·1=b·12(c-a)+b=|b(2)BF·AB1=(BA1+A1F)=AA1-AB+1=c-a+12b=|c|2-|a|2=22-22=0.(3)EF·FC1=(EA1+A1F)=12(=12(=12(-a+b+c)·=-12|a|2+14|b|210.(10分)如图，正四棱锥P-ABCD的各棱长都为a.(1)用向量法证明BD⊥PC；(5分)(2)求|AC+PC|的值.(5分)(1)证明∵BD=BC∴BD·PC=(BC+CD)·PC=BC·PC+CD·PC=|BC||PC|cos60°+|CD||PC|cos120°=12a2-12a2∴BD⊥PC∴BD⊥PC.(2)解∵AC+PC=AB+BC∴|AC+PC|2=|AB|2+|BC|2+|PC|2+2AB·BC+2AB·PC+2BC·PC=a2+a2+a2+0+2a2cos60°+2a2cos60°=5a2，∴|AC+PC|=5a.11.已知空间向量a，b，c满足a+b+c=0，|a|=2，|b|=3，|c|=4，则a与b的夹角为()A.30° B.45°C.60° D.以上都不对答案D解析设a与b的夹角为θ，由a+b+c=0，得a+b=-c，两边平方，得a2+2a·b+b2=c2，因为|a|=2，|b|=3，|c|=4，所以4+2×2×3cosθ+9=16，解得cosθ=1即A，B，C选项均不符合cosθ=1412.(多选)如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1的棱长均为3，且AB，AD，AA1两两向量的夹角都是60°，过AC1的平面AEC1F与BB1，DD1分别交于点E，F，A.截面BDD1B1的面积为9B.AE·AF=11C.AC，AD.平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积为27答案ABD解析在菱形BDD1B1中，DB·BB1=(AB-AD)·AA1=AB·AA1所以DB⊥BB1，菱形BDD1B1为正方形，故面积为DB·BB1=3×3=9易知平面AEC1F与侧面的交线AE，C1F平行，AF，EC1平行，则四边形AEC1F是平行四边形，AE·AF=(AB+BE)·(AD+DF)=AB+1=AB·AD+13AA1·AD+2=92+13×92+23×92+29因为AC=33，所以AC·AA1=(AB+AD)·AA1=AB·AA1所以cos〈AC，AA1〉=AC·AA由上知AC，AA1的夹角的正弦值是63，所以平行六面体的高为则平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积为3×3×32×6=2713.(5分)在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=2，OC=3，G为△ABC的重心，则OG·(OA+OB+OC)=.

答案14解析∵OA，OB，OC两两垂直，∴OA·OB=OA·OC=OB·且OG故OG·(OA+OB+OC)=13(OA+OB+=13(|OA|2+|OB|2+|OC|2=13×(1+4+9)=1414.(5分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动(含端点)，则DC·AP的取