人教A版高中数学选择性必修一第一课时　抛物线的简单几何性质

3.3.2抛物线的简单几何性质第一课时抛物线的简单几何性质学习目标1.理解抛物线的简单几何性质.2.理解抛物线中焦点弦公式.3.初步运用抛物线的性质解决一些综合问题.【引入】生活中不乏以抛物线为原型的例子,信号接收塔、太阳灶、石拱桥、抛物线型灯具等.除了美观外,主要也是借用了抛物线的一些性质.比如信号接收塔、太阳灶的设计利用了抛物线的聚焦性质,抛物线型石拱桥利用了其跨距大的特点等等.就如前面学习椭圆、双曲线一样,下面我们来研究一下抛物线的一些几何性质.一、抛物线的简单几何性质探究1类比椭圆、双曲线的几何性质,你认为我们应研究抛物线的哪些几何性质?提示范围、对称性、顶点、离心率等.探究2试以y2=2px(p>0)为研究对象,探讨抛物线的范围、对称性及顶点.提示(1)范围抛物线y2=2px(p>0)在y轴的右侧,开口向右,这条抛物线上的任意一点M的坐标(x,y)的横坐标满足不等式x≥0;当x的值增大时,|y|的值也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸,抛物线是无界曲线.(2)对称性观察图象,不难发现,抛物线y2=2px(p>0)关于x轴对称,我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.抛物线只有一条对称轴.(3)顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.抛物线的顶点坐标是坐标原点(0,0).标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)图形范围x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R对称轴x轴x轴y轴y轴焦点坐标FpF-F0F0准线方程x=-px=py=-py=p顶点坐标O(0,0)离心率e=1焦半径x0+pp2-xy0+pp2-y温馨提示(1)抛物线没有渐近线,在画图时不要把抛物线画成双曲线一支的形状,因为双曲线的开口越来越开阔,而抛物线的开口越来越扁平.(2)抛物线的顶点只有一个,抛物线的焦点总在对称轴上,抛物线的准线始终与对称轴垂直.例1(链接教材P134例3)已知抛物线的对称轴在坐标轴上,以原点为顶点,且经过点M(1,-2).求抛物线的标准方程、准线方程、焦点坐标、对称轴及离心率.解当抛物线的焦点在x轴上时,设其标准方程为y2=mx(m≠0).将点M(1,-2)代入,得m=4.∴抛物线的标准方程为y2=4x;当抛物线的焦点在y轴上时,设其标准方程为x2=ny(n≠0).将点M(1,-2)代入,得n=-12∴抛物线的标准方程为x2=-12y故所求的抛物线的标准方程为y2=4x或x2=-12y准线方程分别为x=-1或y=18焦点坐标分别为(1,0)或0,对称轴分别为x轴或y轴;离心率e都为1.思维升华把握三个要点确定抛物线的简单几何性质(1)开口:由抛物线的标准方程看图象开口,关键是看准一次项是x还是y,一次项的系数是正还是负.(2)关系:顶点位于焦点与准线中间,准线垂直于对称轴.(3)定值:焦点到准线的距离为p;过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p;离心率恒等于1.训练1(1)对抛物线y=4x2,下列描述正确的是()A.开口向上,焦点为(0,1) B.开口向上,焦点为0C.开口向右,焦点为(1,0) D.开口向右,焦点为1(2)若抛物线y2=2px(p>0)上一点M到准线及对称轴的距离分别为10和6,则抛物线的标准方程为.

答案(1)B(2)y2=4x或y2=36x解析(1)由抛物线y=4x2,得抛物线标准方程为x2=14y,2p=1故焦点在y轴上,开口向上,焦点坐标为0,(2)∵点M到对称轴的距离为6,∴设点M的坐标为(x,6).又∵点M到准线的距离为10,∴6解得x=9,故当点M的横坐标为9时,抛物线方程为y2=4x;当点M的横坐标为1时,抛物线方程为y2=36x.二、抛物线的简单几何性质的应用探究3我们将抛物线上过焦点的直线与抛物线相交所得的弦叫做焦点弦.以y2=2px(p>0)为例,若弦端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),试分析弦长与坐标的关系.提示|AB|=|AF|+|BF|=x1+p2+x2+p2=1.抛物线的焦点弦标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)图形焦点弦x1+x2+pp-x1-x2y1+y2+pp-y1-y22.当焦点弦垂直于对称轴时,其长度为2p,为最短焦点弦长,称为通径.例2(链接教材P135例4)已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点.(1)若直线l的倾斜角为60°,求|AB|的值;(2)若|AB|=9,求线段AB的中点M到准线的距离.解(1)因为直线l的倾斜角为60°,所以其斜率k=tan60°=3,又F32所以直线l的方程为y=3x联立y消去y得x2-5x+94若设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=5,而|AB|=|AF|+|BF|=x1+p2+x2+=x1+x2+p,所以|AB|=5+3=8.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线定义知|AB|=|AF|+|BF|=x1+p2+x2+=x1+x2+p=x1+x2+3=9,所以x1+x2=6,于是线段AB的中点M的横坐标是3,又准线方程是x=-32所以中点M到准线的距离等于3+32=9例3已知正△AOB的一个顶点O位于坐标原点,另外两个顶点A,B在抛物线y2=2px(p>0)上,求这个三角形的边长.解如图所示,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y12=2px1,y22又|OA|=|OB|,所以x12+y12=即x12-x22+2px1-2整理得(x1-x2)(x1+x2+2p)=0.因为x1>0,x2>0,2p>0,所以x1=x2,由此可得|y1|=|y2|,即线段AB关于x轴对称,由此得∠AOx=30°,所以y1=33x1,与y12=2px解得y1=23p.所以|AB|=2y1=43p,即这个三角形的边长为43p.思维升华利用抛物线的性质可以解决的问题(1)对称性:解决抛物线的内接三角形问题.(2)焦点、准线:解决与抛物线的定义有关的问题.(3)范围:解决与抛物线有关的最值问题.(4)焦点弦:解决焦点弦问题.训练2(1)已知点(x,y)在抛物线y2=4x上,则z=x2+12y2+3的最小值是(A.2 B.3 C.4 D.0(2)斜率为3的直线过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于A,B两点,则|AB|=.

答案(1)B(2)16解析(1)因为点(x,y)在抛物线y2=4x上,所以x≥0,因为z=x2+12y2+3=x2+2x+3=(x+1)2+2所以当x=0时,z最小,最小值为3.(2)由题意得直线的方程为y=3(x-1),联立两方程,得y得3x2-10x+3=0,设A(xA,yA),B(xB,yB),∴xA+xB=103故|AB|=1+xA+1+xB=2+103=16【课堂达标】1.抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为2,则p=()A.1 B.2 C.22 D.4答案B解析抛物线的焦点坐标为p2,0,其到直线x-y+1=0的距离d=p解得p=2(p=-6舍去).2.(多选)以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程可以为()A.y2=8x B.y2=-8xC.x2=8y D.x2=4y答案AB解析设抛物线方程为y2=2px或y2=-2px(p>0),依题意,2p=8,p=4.∴抛物线方程为y2=8x或y2=-8x.3.已知抛物线y2=2px(p>0),直线x=m与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则y1+y2=.

答案0解析因为抛物线y2=2px(p>0)关于x轴对称,x=m与x轴垂直,故y1=-y2,即y1+y2=0.4.已知O为坐标原点,F为抛物线C:y2=42x的焦点,P为抛物线C上一点,若|PF|=42,则△POF的面积为.

答案23解析由y2=42x知,焦点F(2,0),准线x=-2.设P点坐标为(x0,y0),则x0+2=42,∴x0=32,∴y02=42×32=24,∴|y0|=2∴S△POF=12×2×26=23课时精练一、基础巩固1.抛物线x=8y2的通径长为()A.8 B.4 C.18 D.答案C解析抛物线x=8y2,即y2=18x,可得2p=18,因此通径长为2.若抛物线y2=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P的坐标为()A.14,C.14,答案B解析设抛物线的焦点为F,原点为O,P(x0,y0),由条件及抛物线的定义,知|PF|=|PO|,又F14,0,所以x0=18,所以所以y0=±243.过抛物线x2=4y的焦点F作直线l交抛物线于P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点,若y1+y2=6,则|P1P2|=()A.5 B.6 C.8 D.10答案C解析抛物线x2=4y的准线为y=-1,因为P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点是过抛物线焦点的直线l与抛物线的交点,所以P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点到准线的距离分别是y1+1,y2+1.所以|P1P2|=y1+y2+2=8.4.(多选)点M(1,1)到抛物线y=ax2(a≠0)的准线的距离为2,则a的值可以为()A.14 B.-112 C.1答案AB解析抛物线y=ax2(a≠0)的准线方程为y=-14a,因为点M(1,1)到抛物线y=ax2的准线的距离为所以1+14解得a=14或a=-15.已知点F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,点P在抛物线上且横坐标为8,O为坐标原点,若△OFP的面积为22,则该抛物线的准线方程为()A.x=-12 B.xC.x=-2 D.x=-4答案B解析抛物线y2=2px(p>0)的焦点Fp2将点P的横坐标代入抛物线得y2=16p,可得y=±4p,不妨令P(8,4p),则S△OFP=12×p2×4p=pp=2解得p=2,则抛物线方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.6.已知圆x2+y2=1与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,与抛物线的准线交于C,D两点,若四边形ABCD是矩形,则p等于()A.52 B.25 C.5答案D解析设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,因为四边形ABCD是矩形,所以由抛物线与圆的对称性知|AF|=|AD|=p,则p22+p2=1,解得p=7.设O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,A是抛物线上一点,若OA·AF=-4,则点A的坐标是()A.(2,±22) B.(1,±2)C.(1,2) D.(2,22)答案B解析由题意知F(1,0),设Ay0则OA=y024,y由OA·AF=-4得y0=±2,∴点A的坐标为(1,±2).8.顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且经过点M(3,-23)的抛物线的方程为.

答案y2=43x或x2=-32解析M在第四象限,分别设y2=2px和x2=-2py(p>0),将(3,-23)代入得12=2p·3或3=-2p·(-23),解得p=23或34∴抛物线方程为y2=43x或x2=-32y9.已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M是FN的中点,则|FN|=.

答案6解析如图,过点M作MM'⊥y轴,垂足为M',|OF|=2,∵M为FN的中点,∴|MM'|=1,∴M到准线的距离d=|MM'|+p2=3∴|MF|=3,∴|FN|=6.10.抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线x23-y23=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p答案6解析抛物线的焦点坐标为F0,p2,准线方程为y将y=-p2代入x23-y23=1得要使△ABF为等边三角形,则tanπ6=xp=3+p解得p2=36,p=6.11.若抛物线的顶点在原点,开口向上,F为焦点,M为准线与y轴的交点,A为抛物线上一点,且|AM|=17,|AF|=3,求此抛物线的标准方程.解设所求抛物线的标准方程为x2=2py(p>0),设A(x0,y0),由题意知M0,因为|AF|=3,所以y0+p2=3因为|AM|=17,所以x02+y所以x02=8,代入方程x02=28=2p3-p2,解得p=2或所以所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y.二、综合运用12.在同一平面直角坐标系中,方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0(a>b>0)的曲线大致为()答案D解析将方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0转化为x21a2+y21b2因为a>b>0,所以1b2>1所以椭圆的焦点在y轴上,抛物线的焦点在x轴负半轴上,且开口向左,故选D.13.已知F是抛物线y2=16x的焦点,M是抛物线上一点,FM的延长线交y轴于点N,若3FM=2MN,则|FN|=.

答案16解析易知焦点F的坐标为(4,0),准线l的方程为x=-4,如图,抛物线准线与x轴的交点为A,作MB⊥l于点B,NC⊥l于点C,AF∥MB∥NC,则|MN||NF|=|BM|由3FM=2MN,得|MN||NF|=3又|CN|=4,|OF|=4,所以|BM|-44=35,|BM|MF|=|BM|=325,|MF||NF|=所以|FN|=16.14.已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点,O为原点,若|OA|=|OB|,△AOB的垂心恰为抛物线的焦点F,求直线AB的方程.解由抛物线的对称性可知,A,B两点关于x轴对称.设点A的坐标为(x1,y1),则点B的坐标为(x1,-y1).抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为Fp2由F是△AOB的垂心可知,可知AF⊥OB,因此kAF·kOB=-1,即y1x1-由点A在抛物线上得y12=2px1将②代入①得x1=5p故直线AB的方程为x=52p三、拓展提高15.(多选)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,AB是经过抛物线焦点F的弦,M是线段AB的中点,过A,B,M作抛物线的准线l的垂线AC,BD,MN,垂足分别是C,D,N,其中MN交抛物线于点Q,连接QF,NF,NB,NA