人教A版高中数学选择性必修一培优课　与圆有关的最值问题

培优课与圆有关的最值问题学习目标1.能用直线与圆的方程解决一些简单的最值问题.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.一、与距离有关的最值问题例1(1)点M在圆(x-5)2+(y-3)2=9上,则点M到直线3x+4y-2=0的最短距离为()A.9 B.8 C.5 D.2(2)直线(2m+1)x+(3m-2)y+1-5m=0被圆O:x2+y2=16所截得的弦长的最小值为.

答案(1)D(2)214解析(1)圆心(5,3)到直线3x+4y-2=0的距离为d=|3×5+4×3-2则M到直线的最短距离为5-3=2.(2)直线(2m+1)x+(3m-2)y+1-5m=0可化为x-2y+1+m(2x+3y-5)=0,由x-2y即直线(2m+1)x+(3m-2)y+1-5m=0过定点P(1,1).而圆x2+y2=16的圆心为O(0,0),半径r=4,所以根据圆的几何性质,可知当直线(2m+1)x+(3m-2)y+1-5m=0与OP垂直时,直线被圆所截得的弦长最小,即2r2-|OP|2思维升华与距离有关的最值问题(1)圆外一点到圆上任意一点的距离的最小值为d-r,最大值为d+r.(2)直线与圆相离,圆上任意一点到直线距离的最小值为d-r,最大值为d+r.(3)过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最小值为2r2-d2,(4)直线与圆相离,过直线上一点作圆的切线,切线长的最小值为d2训练1(1)从点P(1,-2)向圆C:x2+y2-2mx-2y+m2=0作切线,当切线长最短时,m的值为()A.-1 B.1 C.2 D.0(2)点P在圆C1:x2+y2-8x-4y+11=0上,点Q在圆C2:x2+y2+4x+2y+1=0上,则|PQ|的最小值是()A.5 B.1C.35-5 D.35+5答案(1)B(2)C解析(1)x2+y2-2mx-2y+m2=0可化为(x-m)2+(y-1)2=1,圆心C(m,1),半径为1,切线长最短时,|CP|最小,|CP|=(m即当m=1时,|CP|最小,切线长最短.(2)圆C1:x2+y2-8x-4y+11=0化为标准方程为(x-4)2+(y-2)2=9,圆心为C1(4,2),半径为3;圆C2:x2+y2+4x+2y+1=0化为标准方程为(x+2)2+(y+1)2=4,圆心为C2(-2,-1),半径为2,∴两圆的圆心距为|C1C2|=(-2-4)2+(-1-2)2=36+9=45∴两圆外离,∴|PQ|的最小值是两圆的圆心距减去两圆半径的和,即35-5.二、与圆相关的面积的最值问题例2(1)已知圆C1:x2+y2+4x-4y-3=0,动点P在圆C2:x2+y2-4x-12=0上,则△PC1C2的面积的最大值为()A.25 B.45 C.85 D.20(2)已知点P是直线l:3x-4y+11=0上的动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,则四边形PACB的面积的最小值是()A.2 B.22 C.3 D.23答案(1)B(2)C解析(1)圆C1:(x+2)2+(y-2)2=11,圆心C1(-2,2);圆C2:(x-2)2+y2=16,圆心C2(2,0),半径4,则|C1C2|=16+4=25,故△PC1C2的面积最大值为12×25×4=45.故选(2)圆C的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,圆心C(1,1),半径r=1,根据对称性,可知四边形PACB的面积为2S△APC=2×12×|PA|×r=|PA|=|PC要使四边形PACB的面积最小,则只需|PC|最小,此时PC⊥l.又圆心C到直线l:3x-4y+11=0的距离d=|3-4+11|32+(-4)2=105所以四边形PACB面积的最小值为d2-r2=思维升华求与圆相关的面积的最值问题,一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何关系,然后借助函数求最值的方法,如配方法、基本不等式法等求解,或者通过转化与化归思想、数形结合思想求解.训练2已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B是切点,若四边形PACB的最小面积是2,求k的值.解圆C:x2+y2-2y=0的圆心为C(0,1),半径r=1,由圆的性质可知,四边形PACB的面积S=2S△PBC,又四边形PACB的最小面积是2,则S△PBC的最小值为S'=1=12r|PB|min=12×1×|PB|min则|PB|min=2,因为|PB|=|PC|2-所以当|PC|取最小值时,|PB|最小.又点P(x,y)是直线kx+y+4=0上的动点,当CP垂直于直线kx+y+4=0时,|PC|最小,即为圆心C(0,1)到直线的距离,所以|1+4|k2+1解得k=±2,因为k>0,所以k=2.三、与代数式的几何意义有关的最值问题例3已知点P(x,y)在圆C:x2+y2-6x-6y+14=0上.(1)求yx的最大值和最小值(2)求x2+y2+2x+3的最大与最小值;(3)求x+y的最大值与最小值.解方程x2+y2-6x-6y+14=0可化为(x-3)2+(y-3)2=4.(1)yx表示圆上的点P与原点连线所在直线的斜率,如图(1)所示,显然PO(O为坐标原点)与圆相切时,斜率最大或最小设切线方程为y=kx(由题意知,斜率一定存在),即kx-y=0,由圆心C(3,3)到切线的距离等于半径2,可得|3k-3|k2+1所以yx的最大值为9+2145,(2)由题意得x2+y2+2x+3=(x+1)2+y2+2,它表示圆上的点P到E(-1,0)的距离的平方再加2,所以当点P与点E的距离最大或最小时,所求式子取得最大值或最小值,如图(2)所示,显然点E在圆C的外部,所以点P与点E距离的最大值为|P1E|=|CE|+2,点P与点E距离的最小值为|P2E|=|CE|-2.又|CE|=(3+1)2+所以x2+y2+2x+3的最大值为(5+2)2+2=51,最小值为(5-2)2+2=11.(3)设x+y=b,则b表示动直线y=-x+b在y轴上的截距,如图(3)所示,显然当动直线y=-x+b与圆(x-3)2+(y-3)2=4相切时,b取得最大值或最小值,此时圆心C(3,3)到切线x+y-b=0的距离等于圆的半径2,则|3+3-b即|b-6|=22,解得b=6±22,所以x+y的最大值为6+22,最小值为6-22.思维升华1.(1)形如u=y-bx-a形式的最值问题,可转化为过点(x,y)和(a(2)形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线y=-abx+tb(3)形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点(x,y)到定点(a,b)的距离的平方的最值问题.2.求解策略一般是根据所求最值的几何意义找圆心和半径,将数与形结合起来,用平面几何的性质求解.训练3已知点P(x,y)满足方程x2+y2-6x-6y+16=0,求x+y解已知方程可以转化为(x-3)2+(y-3)2=2,是以(3,3)为圆心,2为半径的圆,x+y-3x-1=x-1+y-2x-1=1+y-2x-1,由于x≠1,故可设过点(1,2)的直线的方程为y-2=k(x-1),则有kx-y+2-k=0.利用圆心(3,3)到直线的距离d=|3k-3+2-k1+k2≤即x+y-3x-1课时精练一、基础巩固1.设P是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,Q是直线x=-3上的动点,则|PQ|的最小值为()A.6 B.4 C.3 D.2答案B解析如图,圆心M(3,-1)与定直线x=-3的最短距离为|MQ|=3-(-3)=6.又因为圆的半径为2,故所求最短距离为6-2=4.2.已知点P是直线l:3x+4y-15=0上的动点,由点P向圆O:x2+y2=1作切线,则切线长的最小值是()A.1 B.2 C.2 D.22答案D解析圆O:x2+y2=1的圆心O(0,0),半径r=1,切线长l=|OP|2-当|OP|最小时l最小,因为OP⊥l时,|OP|min=|0+0-15|所以lmin=22,选D.3.已知实数x,y满足方程x2+y2-4x-1=0,则y-2x的最小值和最大值分别为()A.-9,1 B.-10,1C.-9,2 D.-10,2答案A解析y-2x可看作是直线y=2x+b在y轴上的截距,如图所示,当直线y=2x+b与圆x2+y2-4x-1=0相切时,b取得最大值或最小值,此时|2×2+解得b=-9或b=1,所以y-2x的最大值为1,最小值为-9.4.(多选)点P在圆C1:x2+y2=1上,点Q在圆C2:x2+y2-8x-6y+21=0上,则()A.|PQ|的最小值为1B.|PQ|的最小值为2C.两个圆的圆心所在的直线斜率为3D.两个圆的圆心所在的直线斜率为4答案BC解析圆C1:x2+y2=1的圆心(0,0),半径1;圆C2:(x-4)2+(y-3)2=4,圆心(4,3),半径2.当C1,P,Q和C2按顺序四点共线时,|PQ|取得最小值,为|C1C2|-2-1=5-3=2,故B正确;两个圆的圆心所在直线斜率为3-04-0=34,故C5.直线y=kx+3与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,则△OAB面积的最大值为()A.1 B.12 C.24答案B解析设圆心到直线的距离为d(0<d<1),则所截得的弦长l=21-d所以S△ABO=12·21-d2·d由基本不等式,可得S△ABO=(1-d2)·d当且仅当d=22时,等号成立6.圆C:x2+y2-4y-4=0上恰有两点到直线x-y+a=0的距离为2,则实数a的取值范围为()A.(-4,0) B.(4,8)C.(-4,0)∪(4,8) D.(-4,8)答案C解析圆的标准方程为x2+(y-2)2=8,所以圆心为C(0,2),半径r=22,圆心C到已知直线的距离d=|0-2+a2由题意得a解得-4<a<0或4<a<8.7.动圆C经过点F(1,0),并且与直线x=-1相切,若动圆C与直线y=x+22+1总有公共点,则圆C的面积()A.有最大值8π B.有最小值2πC.有最小值3π D.有最小值4π答案D解析设圆心为(a,b),半径为r,r=|CF|=|a+1|,即(a-1)2+b2=(a+1)2,即a=14b2∴圆心为14b2,b,r=圆心到直线y=x+22+1的距离为d=b24-b∴b≤-2(22+3)(舍去)或b≥2,当b=2时,rmin=14×4+1=2,∴Smin=πr28.过点(3,1)作圆C:(x-2)2+(y-2)2=4的弦,其中最短弦长为.

答案22解析设点A(3,1),易知圆心C(2,2),半径r=2.当弦过点A(3,1)且与CA垂直时为最短弦,|CA|=(2-3)2+(2-1)∴半弦长=r2-|CA|2∴最短弦长为22.9.已知实数x,y满足x2+y2-4x+1=0,则x2+y2的最大值为.

答案7+43解析由题可知圆心(2,0)到原点的距离为2,半径r=3,x2+y2表示圆上的点到原点的距离的平方,故(2-3)2≤x2+y2≤(2+3)2,即7-43≤x2+y2≤7+43.故x2+y2的最大值为7+43.10.已知圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5,点B的坐标为(0,2),设P,Q分别是直线l:x+y+2=0和圆C上的动点,则|PB|+|PQ|的最小值为.

答案25解析由于点B(0,2)关于直线l:x+y+2=0的对称点为B'(-4,-2),则|PB|+|PQ|=|PB'|+|PQ|≥|B'Q|,又B'到圆C上点Q的最短距离为|B'C|-r=35-5=25,所以|PB|+|PQ|的最小值为25.11.已知圆C:x2+y2-4x-14y+45=0及点Q(-2,3).(1)若P(a,a+1)在圆上,求线段PQ的长及直线PQ的斜率;(2)若M为圆C上的任一点,求|MQ|的最大值和最小值.解(1)因为点P(a,a+1)在圆上,所以a2+(a+1)2-4a-14(a+1)+45=0,所以a=4,P(4,5),∴|PQ|=(4+2)2+(5-3)直线PQ的斜率kPQ=3-5-2-4=1(2)因为圆心C的坐标为(2,7),半径为22,所以|CQ|=42>22.∴Q在圆外,所以|MQ|max=42+22=62,|MQ|min=42-22=22.二、综合运用12.已知点P是直线l:3x+4y-7=0上的动点,过点P引圆C:(x+1)2+y2=r2(r>0)的两条切线PM,PN,M,N为切点,则当PM的最小值为3时,r的值为()A.2 B.3 C.2 D.1答案D解析如图,由题意得|PM|2=|PC|2-r2,当PC⊥l时,|PC|最小时,|PM|最小.由题意得|PC|min=d=|3×所以(3)2=22-r2,所以r=1.13.设点P是函数y=--x2+2x+3图象上任意一点,点Q的坐标为(2a,a-3)(a∈R),当|PQ|取得最小值时圆C:(x+a)2+(y-2)2=r2(r>0)上恰有2个点到直线4x-3y-10=0的距离为1,则实数答案(3,5)解析由题得如图所示.点Q的坐标为(2a,a-3)(a∈R),可得点Q在直线l:x-2y-6=0上.由y=--x两边平方可得:(x-1)2+y2=4(y≤0),可得轨迹为半圆,且圆心M(1,0),经过圆心M与直线l垂直的直线MQ的方程为2x+y-2=0,由2x+∴当|PQ|取得最小值时,Q点的坐标为(2,-2),∴2a=2,解得a=1.∴圆C的方程为(x+1)2+(y-2)2=r2(r>0),圆心C(-1,2)到直线4x-3y-10=0的距离d=|-4-3×又圆上恰有2个点到直线4x-3y-10=0的距离为1,则实数r的取值范围为(4-1,4+1),即(3,5).14.已知实数x和y满足(x+1)2+y2=14,试求下列各式的最值(1)yx(2)x2+y2;(3)x+y.解(1)设k=yx,变形为k=y此式表示圆(x+1)2+y2=14上一点(x,y)与点(0,0)连线的斜率由k=yx,可得y=kx(x≠0),此直线与圆有公共点,圆心到直线的距离d≤r即|-kk2+1≤12,解得-故yx的最大值是33,最小值为-(2)由题意知x2+y2表示圆(x+1)2+y2=14上的点到坐标原点的距离的平方,显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时,其平方也相应取得最大值和最小值原点(0,0)到圆心(-1,0)的距离d=1,故圆上的点到坐标原点的最大距离为1+12=32,最小距离为1-12因此x2+y2的最大值和最小值分别为94和1(3)令x+y=b并将其变形为y=-x+b,问题可转化为斜率为-1的直线在经过圆(x+1)2+y2=14上的点时在y轴上的截距的最值当直线和圆相切时在y轴上的截距取得最大值和最小值,此时有|-1-b2=12,解得b故x+y的最大值为22-1,最小值为-2三、拓展提高15.已知直线l:x-y=1与圆M:x2+y2-2x+2y-1=0相交于A,C两点,点B,D分别在圆M上运动,且位于直线AC两侧,则四边形ABCD面积的最大值为.

答案30解析把圆M:x2+y2-2x+2y-1=0化标准方程为(x-1)2+(y+1)2=3,圆心M(1,-1),半径r=3.直线l与圆相交,由点到直线的距离公式得弦心距d=|1-(-1)-1|1由勾股定理得半弦长=3-222所以弦长|AC|=2×102=10又B,D两点在圆上,并且位于直