人教A版高中数学选择性必修一习题课　圆锥曲线的离心率

习题课圆锥曲线的离心率学习目标1.理解离心率的几何意义.2.掌握离心率的求法.3.会求离心率的最值或范围问题.一、离心率大小的判断例1明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图1所示,清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图2所示,北宋的一个汝窑椭圆盘如图3所示,这三个椭圆盘的外轮廓均为椭圆.已知图1,图2,图3中椭圆的短轴长与长轴长的比值分别为14,13,12,设图1,图2,图3中椭圆的离心率分别为e1,e2,e3,则A.e1>e2>e3 B.e1>e3>e2C.e2>e1>e3 D.e2>e3>e1答案A解析椭圆的短轴长与长轴长的比值为2b2a=ba,且e=故e1=1-142=154,e2=1-132=223,e3=1-122=思维升华关于离心率的大小判断(1)计算判断:通过计算离心率来判断大小.(2)直观判断:椭圆的离心率越大,椭圆越“扁”,反之越接近于圆;双曲线的离心率越大,双曲线的开口越开阔,反之越狭小.训练1如图,椭圆①②与双曲线③④的离心率分别为e1,e2,e3,e4,则其大小关系为()A.e1<e2<e3<e4 B.e2<e1<e3<e4C.e1<e2<e4<e3 D.e2<e1<e4<e3答案C解析椭圆的离心率越小,椭圆越圆,故0<e1<e2<1,而双曲线的离心率越大,开口越大,故e3>e4>1,从而e1<e2<e4<e3.二、求离心率的值例2(1)已知椭圆C:x2a2+y23=1(a>3)的左、右焦点分别为F1,F2,经过点F1的直线与椭圆C相交于A,B两点,若△ABF2的周长为16,则椭圆A.134 B.114 C.1(2)设F1,F2为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过左焦点F1的直线l与C在第一象限相交于一点P,若|F1P|=|F1F2|,且直线l倾斜角的余弦值为78(3)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),左、右焦点分别为F1,F2,若过F1(-c,0)的直线与圆x2+y2=c22相切,与椭圆在第一象限交于点P,且PF2答案(1)A(2)2(3)3解析(1)由题可知4a=16,即a=4,c=a2-3=所以椭圆C的离心率e=ca=13(2)设直线l的倾斜角为α,则cosα=78由P在第一象限内,且|F1P|=|F1F2|,则|F1P|=|F1F2|=2c,∴|F2P|=2c-2a,由余弦定理可得cos∠PF1F2=cosα=4c2+4整理得3c2-8ac+4a2=0,则3e2-8e+4=0,解得e=2或e=23(舍去(3)如图,设过F1(-c,0)的直线与圆x2+y2=c22相切于点Q,则OQ⊥PF由于|OQ|=12|OF1|,所以∠PF1F2=30°因为PF2垂直于x轴,所以tan∠PF1F2=PF2|所以|PF2|=23c3,则|PF1因为|PF1|+|PF2|=2a,所以23c3+43c3=2a,所以离心率e=ca=13=思维升华关于离心率的求值(1)利用条件求出a,c的值后直接计算离心率;(2)椭圆利用e=ca=1-b2a2计算离心率;双曲线利用e=(3)根据题设条件,借助a,b,c之间的关系,构造出a,c的齐次式(一次或二次等式),进而得到关于e的方程,得出离心率e的值.训练2(1)设F1,F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|·|PF2|=9(2)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),A,B分别为椭圆的左顶点和上顶点,F为右焦点,且AB⊥(3)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一条弦所在直线的方程是x-y+5=0,弦的中点坐标是M(-4,答案(1)53(2)5-12解析(1)不妨设P为双曲线右支上一点,|PF1|=r1,|PF2|=r2,根据双曲线的定义,得r1-r2=2a,又r1+r2=3b,故r1=3b+2a2,r又r1·r2=94ab,所以3b+2a2·解得ba=43(负值舍去故e=ca=a2+b2a2(2)在△ABF中,|AB|=a2|BF|=a,|AF|=a+c.由AB⊥BF得|AB|2+|BF|2=|AF|2,即a2+b2+a2=(a+c)2,整理得a2+b2=c2+2ac,将b2=a2-c2代入,得a2-ac-c2=0,即e2+e-1=0,解得e=-1±5因为0<e<1,所以e=5-1(3)设直线与椭圆交点为A(x1,y1),B(x2,y2),分别代入椭圆方程,由点差法可知yM=-b2a2代入k=1,M(-4,1),解得b2a2=14,e=三、求离心率的取值范围例3(1)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点到其渐近线的距离不大于255A.[3,+∞) B.[5,+∞)C.(1,3] D.(1,5](2)已知F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆上一点,且PF1·P答案(1)D(2)3解析(1)依题意得,点(a,0)到渐近线bx+ay=0的距离不大于255∴|ba+0|b2+a2≤2又e>1,∴1<e≤5.(2)设P(x,y),则PF1·PF2=(-c-x,-y)·(c-x,-y)=x2-c2+y2将y2=b2-b2a2x解得x2=(2c2-又x2∈[0,a2],∴2c2≤a2≤3c2,∴e=ca∈3思维升华求离心率范围的常用思路(1)通过几何方法如圆锥曲线上点的坐标的范围、三角形中的不等关系等转化为求离心率的取值范围.(2)通过代数方法如基本不等式、函数最值求得离心率的取值范围.训练3已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c,P是椭圆C上一点(不在坐标轴上),Q是∠F1PF2的角平分线与x轴的交点,若|QF2|=2|OQ答案1解析∵|QF2|=2|OQ|,∴|QF2|=23c,|QF1|=43∵PQ是∠F1PF2的角平分线,∴QF1|QF2|=PF1|P∴|PF1|+|PF2|=3|PF2|=2a,解得|PF2|=2a由a-c<2a3<a+c,可得e=ca又0<e<1,∴椭圆离心率的取值范围是13课时精练一、基础巩固1.以下四个椭圆,最扁平的是()A.x24+y23=1 B.xC.x28+y24=1 D.答案D解析e=ca=1-b2a2越大,即b2a2越小,椭圆越扁平,对比一下,D2.设双曲线x2a2-y29=1(a>0)的两焦点之间的距离为10A.35 B.45 C.5答案C解析因为双曲线x2a2-y29=1(a>0)的两焦点之间的距离为10,所以2c所以a2=c2-9=16,所以a=4,所以离心率e=543.如果椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,那么双曲线xA.52 B.54 C.答案A解析由椭圆的离心率为32,得a2-∴a2=4b2,∴在双曲线中,e2=a2+b2a∴双曲线的离心率e=524.(多选)已知双曲线E的中心在原点,对称轴为坐标轴,渐近线方程为y=±2x,则双曲线E的离心率为()A.52 B.5 C.53答案AB解析若双曲线焦点在x轴上,由渐近线方程为y=±2x,得ba=2∴e=ca=1+ba若双曲线焦点在y轴上,由渐近线方程为y=±2x,得ab=2∴e=ca=1+ba5.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相交,A.0,6C.0,3答案B解析由题设,以线段A1A2为直径的圆为x2+y2=a2,与直线bx-ay+2ab=0相交,所以2aba2+b2<a,可得3b2=3(a2-即e2>23,又0<e<1,所以63<6.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点A是椭圆短轴的一个顶点,且cos∠F1AF2=34A.12 B.22 C.1答案D解析设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为则椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F1的坐标为(-c,0),右焦点F2依题意,不妨设点A的坐标为(0,b),在△F1AF2中,由余弦定理得,|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1|·|AF2|·cos∠F1AF2,∵cos∠F1AF2=34∴4c2=2a2-2a2×34=12a∴e2=c2a2=18,解得7.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于45A.(0,32］ B.C.［32,1) D.答案A解析设左焦点为F0,连接F0A,F0B,则四边形AFBF0为平行四边形.∵|AF|+|BF|=4,∴|AF|+|AF0|=4,∴a=2.设M(0,b),则4b5≥∴1≤b<2.离心率e=ca=c2a2=a2-b2a8.已知直线y=a与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线交于点P,双曲线C的左、右顶点分别为A1,A2,若|PA2|=52|A1A2|答案2或10解析若渐近线的方程为y=bax则点P的坐标为a2因为|PA2|=52|A1A2|所以a2b-a2+a则ab-12=4,所以从而e=1+b2a若渐近线的方程为y=-bax则点P的坐标为-a2b,a,9.已知F1,F2是椭圆与双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且|PF1|>|PF2|,线段PF1的垂直平分线过F2,若椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2,则2e1+e22答案6解析设椭圆对应的参数为a1,b1,c,双曲线对应的参数为a2,b2,c,由于线段PF1的垂直平分线过F2,所以有|F1F2|=|PF2|=2c.根据双曲线和椭圆的定义有P两式相减得到4c=2(a1-a2),即a1-a2=2c,所以2e1+e22=2a1c+c2a2=4+2a2c+c2a210.直线y=-3x与椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)交于A,B两点,以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点,答案3-1解析因为点A,B关于原点对称,故以线段AB为直径的圆的圆心为原点,又圆经过椭圆的右焦点,所以半径为半焦距c,设A(x0,y0),则结合|OA|=r=c及y=-3x,得y0=-3x0,x02+y02故A点坐标为12c,代入椭圆方程,得14c2a由b2=a2-c2化简,得c4-8a2c2+4a4=0,即e4-8e2+4=0,e2=8±82-4结合0<e<1,得e2=4-23,即e=3-1.11.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若双曲线上存在一点P,使解分析知P不是双曲线的顶点.在△PF1F2中,由正弦定理,得PF2|又sin∠PF1所以aPF2|=cPF1|,即|PF所以点P在双曲线的右支上,由双曲线的定义,知|PF1|-|PF2|=2a,即ca|PF2|-|PF2|=2a,得|PF2|=2由双曲线的几何性质,知|PF2|>c-a,则2a2c-a即c2-2ac-a2<0,所以e2-2e-1<0,解得-2+1<e<2+1.又e>1,所以双曲线离心率的取值范围为(1,2+1).二、综合运用12.已知双曲线x2a2-y2b2=1(b>a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交双曲线于A,B两点,A,B分别位于第一、二象限,△ABF2为等边三角形,A.5 B.5 C.7 D.7答案C解析由题意知|AF2|=|AB|=|BF2|,|AF1|-|AF2|=2a,即|AB|+|BF1|-|AF2|=2a,则|BF1|=2a,又|BF2|-|BF1|=2a,所以|BF2|=4a,取AB的中点D,连接DF2,由△ABF2为等边三角形,得DF2⊥AB,且|BD|=2a,所以|DF2|=23a,|DF1|=|BD|+|BF1|=2a+2a=4a,因为△F1DF2为直角三角形,所以|F1F2|2=|DF1|2+|DF2|2,则(2c)2=(4a)2+(23a)2,所以e=ca=713.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上一点,且PF2⊥x轴,直线PF1与C的另一个交点为Q,若|PF1|=4|F1Q|,答案21解析由题意,可将点P的坐标代入椭圆C的方程得c2a2+解得|PF2|=b2如图所示,过Q点作QE⊥x轴,垂足为点E,设Q(x0,y0),根据题意及图可知,Rt△PF2F1∽Rt△QEF1,∵PF1||F1Q=4∴|EF1|=|F1F2|∴x0=-c-c2=-3又∵y0=-|QE|=-PF2|∴点Q的坐标为-3将点Q的坐标代入椭圆方程,得9c24结合b2=a2-c2,解得e=ca=2114.如图,椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴上,A1,A2,B1,B2分别为椭圆的左、右、下、上顶点,F2为其右焦点,直线B1F2与A2B2交于点P,若∠B1PA2为钝角,求该椭圆的离心率的取值范围.解设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),由题意,得A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b),则B2A2=(a,-b),F2B1因为∠B1PA2为向量B2A2与F2B1的夹角,且∠所以B2A2·F2B1<0,又b2=a2-c2,所以a2-ac-c2<0,即1-e-e2<0,解得e<-1-52或e>因为e∈(0,1),所以-1+52<e即该椭圆的离心率的取值范围为-1+5三、拓展提高15.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为点B,F为其右焦点,若AF⊥BF,设