人教A版高中数学选择性必修一章末复习提升

章末复习提升一、空间向量的概念及运算空间向量可以看作是平面向量的推广,有许多概念和运算与平面向量是相同的,如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念,向量加减法的三角形法则和平行四边形法则,数乘运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公式、求模公式等.例1(1)如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=a,AD=b,AA1=c.M是C1D1的中点,点N是CA1上的点,且CN∶NA1=4∶1.用a,b,c①AM;②AN.解①AM=12(AC1=12[(AB+AD+AA1)+(AD=12(AB+2AD+2A=12a+b+c②AN=AC+CN=AC+45(AA1=15AB+1=15a+15b+4(2)如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60°.①求AC1②求BD1与AC解记AB=a,AD=b,AA1=则|a|=|b|=|c|=1,<a,b>=<b,c>=<c,a>=60°,∴a·b=b·c=c·a=12①|AC1|2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=1+1+1+2×1∴|AC1|=②BD1=b+c-a,AC=∴|BD1|=2,|AC|=BD1·AC=(b+c-a)·(=b2-a2+a·c+b·c=1,∴cos<BD1,AC>=BD训练1(多选)如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,S到A,B,C,D的距离都等于2.以下结论正确的是()A.SA+SB+SC+SD=0B.(SA-SC)·(SB-SD)=0C.SA-SB+SC-SD=0D.SA·SB=SC·SD答案BCD解析可以推出:(SA-SC)·(SB-SD)=CA·DB=0,所以B正确;SA-SB+SC-SD=BA+DC=0,所以C正确;又因为底面ABCD是边长为1的正方形,SA=SB=SC=SD=2,所以SA·SB=2×2×cos∠ASB,SC·SD=2×2×cos∠CSD,而∠ASB=∠CSD,于是SA·SB=SC·SD,因此D正确.二、利用空间向量证明线面位置关系用空间向量判断空间中线、面位置关系的类型与方法总结:(1)线线平行:证明两条直线平行,只需证明两条直线的方向向量是共线向量.(2)线线垂直:证明两条直线垂直,只需证明两条直线的方向向量垂直.(3)线面平行:用向量证明线面平行的方法主要有:①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量.(4)线面垂直:用向量证明线面垂直的方法主要有:①证明直线的方向向量与平面的法向量平行;②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题.(5)面面平行:①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量);②转化为线面平行、线线平行问题.(6)面面垂直:①证明两个平面的法向量互相垂直;②转化为线面垂直、线线垂直问题.例2在四棱锥P-ABCD中,AB⊥AD,CD⊥AD,PA⊥底面ABCD,PA=AD=CD=2AB=2,M为PC的中点.(1)求证:BM∥平面PAD;(2)平面PAD内是否存在一点N,使MN⊥平面PBD?若存在,确定N的位置;若不存在,说明理由.解如图,以A为原点,以AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),C(2,2,0),M(1,1,1).(1)证明∵BM=(0,1,1),平面PAD的一个法向量为n=(1,0,0),∴BM·n=0,即BM⊥n,又BM⊄平面PAD,∴BM∥平面PAD.(2)BD=(-1,2,0),PB=(1,0,-2).假设平面PAD内存在一点N,使MN⊥平面PBD.设N(0,y,z),则MN=(-1,y-1,z-1),从而MN⊥BD,MN⊥PB,∴MN即1+2(∴y=12,∴在平面PAD内存在一点N0,使MN⊥平面PBD.训练2如图所示,已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,侧面PBC⊥底面ABCD.证明:(1)PA⊥BD;(2)平面PAD⊥平面PAB.证明(1)取BC的中点O,连接PO,∵平面PBC⊥底面ABCD,△PBC为等边三角形,平面PBC∩底面ABCD=BC,PO⊂平面PBC,∴PO⊥底面ABCD.以BC的中点O为坐标原点,以BC所在直线为x轴,过点O与AB平行的直线为y轴,OP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.不妨设CD=1,则AB=BC=2,PO=3,∴A(1,-2,0),B(1,0,0),D(-1,-1,0),P(0,0,3),∴BD=(-2,-1,0),PA=(1,-2,-3).∵BD·PA=(-2)×1+(-1)×(-2)+0×(-3)=0,∴PA⊥BD,∴PA⊥BD.(2)取PA的中点M,连接DM,则M12∵DM=32,0,32,PB=(1,∴DM·PB=32×1+0×0+32×(-3∴DM⊥PB,即DM⊥PB.∵DM·PA=32×1+0×(-2)+32×(-3∴DM⊥PA,即DM⊥PA.又∵PA∩PB=P,PA,PB⊂平面PAB,∴DM⊥平面PAB.∵DM⊂平面PAD,∴平面PAD⊥平面PAB.三、利用空间向量求距离空间中两种距离的计算公式(1)点P到直线l的距离:已知直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的定点,P是直线l外一点,设AP=a,向量AP在直线l上的投影向量为AQ=(a·u)u,则点P到直线l的距离为a2-(图1图2(2)点P到平面α的距离:设平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点,则点P到平面α的距离为|AP·n|例3已知四边形ABCD是边长为4的正方形,E,F分别是AB,AD的中点,CG垂直于正方形ABCD所在的平面,且CG=2,求点B到平面EFG的距离.解以C为坐标原点,CB,CD,CG所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.由题意可知G(0,0,2),E(4,-2,0),F(2,-4,0),B(4,0,0),∴GE=(4,-2,-2),GF=(2,-4,-2),BE=(0,-2,0).设平面EFG的法向量为n=(x,y,z).由GE·n∴x=-y,z=-3y,令y=1,则故点B到平面EFG的距离为d=|BE·n|n训练3(多选)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,O分别是A1B1,A1C1的中点,点P在正方体内部且满足AP=34AB+12AD+23A.点A到直线BE的距离是5B.点O到平面ABC1D1的距离为2C.平面A1BD与平面B1CD1间的距离为3D.点P到直线AB的距离为25答案BC解析如图,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),E12,0,所以BA=(-1,0,0),BE=-1设∠ABE=θ,则cosθ=|BA·BE所以sinθ=1-cos2θ故点A到直线BE的距离d1=|BA|sinθ=255,故A易知C1O=-12,-12,0,平面ABC1则点O到平面ABC1D1的距离d2=|DA1·C1O||A1B=(1,0,-1),A1D=(0,1,-1),A1设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则n·A令z=1,得y=1,x=1,所以n=(1,1,1),所以点D1到平面A1BD的距离d3=|A1D1·因为平面A1BD∥平面B1CD1,所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离,所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离为33,故C正确因为AP=34AB+12所以AP=34又AB=(1,0,0),所以AP·AB|所以点P到直线AB的距离d4=|AP|2-AP·AB|AB|2=181四、利用空间向量求空间角空间中三种角的计算公式(1)两条异面直线所成的角θ:cosθ=|cos<u,ν>|=u·ν|u||ν|=|u·ν||u||ν|(其中u,v(2)直线和平面所成的角θ:sinθ=|cos<u,n>|=u·n|u||n|=|u·n||u||n|(其中u是直线的方向向量,n(3)两个平面的夹角θ:cosθ=|cos<n1,n2>|=n1·n2|n1||n2|例4如图,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AD∥BC,AD⊥AB,AB=AD=1,AE=BC=2.(1)求证:BF∥平面ADE;(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值;(3)若平面EBD与平面FBD夹角的余弦值为13,求线段CF的长解依题意,建立以A为原点,分别以AB,AD,AE所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图),可得A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0),E(0,0,2).设CF=h(h>0),则F(1,2,h).(1)证明依题意,AB=(1,0,0)是平面ADE的法向量,又BF=(0,2,h),可得BF·AB=0,又因为直线BF⊄平面ADE,所以BF∥平面ADE.(2)依题意,BD=(-1,1,0),BE=(-1,0,2),CE=(-1,-2,2).设n=(x,y,z)为平面BDE的法向量,则n·BD不妨令z=1,可得n=(2,2,1).因此有cos<CE,n>=CE·n|所以直线CE与平面BDE所成角的正弦值为49(3)设m=(x1,y1,z1)为平面BDF的法向量,则m即-不妨令y1=1,可得m=1,由题意,有|cos<m,n>|=|m·n|=4-2h3解得h=87.经检验,符合题意所以,线段CF的长为87训练4如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=2,点E,F分别是平面A1B1C1D1,平面BCC1B1的中心.以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.试用向量方法解决下列问题:(1)求异面直线AF和BE所成角的大小;(2)求直线AF和平面BEC所成角的正弦值.解(1)由题意得A(2,0,0),F1,B(2,2,0),E(1,1,2),C(0,2,0),∴AF=-1,2,