人教A版高中数学选择性必修一2.1.2　两条直线平行和垂直的判定

2.1.2两条直线平行和垂直的判定学习目标1.理解并掌握两条直线平行、垂直的条件.2.会运用两直线平行或垂直时的斜率关系解决几何问题.【引入】过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.实际上,过山车的运动包含了许多数学和物理学原理.过山车的两条铁轨是相互平行的轨道,它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着,为了使设备安全,柱子之间还有一些小的钢筋连接,这些钢筋有的互相平行,有的互相垂直,你能感受到过山车中的平行和垂直吗?两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢?一、两条直线平行的判定探究1平面中两条平行直线它们的倾斜角有什么关系?如果倾斜角相同,两条直线有什么关系?提示两条平行直线被x轴所截,它们的倾斜角是一对同位角,则倾斜角相等,反之也成立.探究2由正切函数的单调性,我们知道当k1=k2时有α1=α2,那么是否意味着k1=k2时,一定有l1∥l2?反过来呢?提示当k1=k2时,倾斜角α1=α2,两直线平行;而当两直线平行时,不一定有k1=k2,因为α1=α2=90°时,斜率不存在.1.两条直线的斜率都存在时,两条直线平行的判定对于斜率分别为k1,k2的两条不重合直线l1,l2,有l1∥l2⇔k1=k2.2.特殊情况下的两条直线平行的判定若两条直线中有一条直线没有斜率,则当另一条直线也没有斜率时,即两条直线的倾斜角都为90°时,它们互相平行.温馨提示(1)l1∥l2⇔k1=k2成立的前提条件是:①两条直线的斜率都存在;②l1与l2不重合.(2)若直线l1,l2重合,此时仍有k1=k2或斜率不存在.用斜率证明三点共线时,常常用到这个结论.例1(链接教材P58T5)根据下列给定的条件,判断直线l1与直线l2是否平行.(1)l1经过点A(2,3),B(-4,0);l2经过点M(-3,1),N(-2,2);(2)l1平行于y轴;l2经过点P(0,-2),Q(0,5);(3)l1经过点E(0,1),F(-2,-1);l2经过点G(3,4),H(2,3).解(1)∵kAB=3-02-(-4)=1kMN=2-1-2-(-3)=1,kAB≠kMN∴l1与l2不平行.(2)由题意知,l1的斜率不存在,且不是y轴,l2的斜率也不存在,恰好是y轴,∴l1∥l2.(3)由题意知,k1=-1-1-2-0=1,k2=3-42-3∴k1=k2,∴l1与l2平行或重合,又kFG=4-(-1)3-(-2)=1∴E,F,G,H四点共线,∴l1与l2重合.思维升华判断两条不重合直线是否平行时,先看两直线斜率是否存在,若都不存在,则两直线平行;若存在,再看两斜率是否相等,若相等,则平行;若不相等,则不平行.训练1(1)经过点P(-2,m)和Q(m,4)的直线平行于斜率等于1的直线,则m的值是()A.4 B.1 C.1或3 D.1或4(2)在△ABC中,A(0,3),B(2,-1),E,F分别为边AC,BC的中点,则直线EF的斜率为.

答案(1)B(2)-2解析(1)由题意,知4-mm-(-2)=1,(2)∵E,F分别为边AC,BC的中点,∴EF∥AB.∴kEF=kAB=-1-32-0二、两条直线垂直的判定探究3平面中,两条直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,则两条直线的方向向量分别为a=(1,k1),b=(1,k2),当两条直线互相垂直时,可以得出什么结论?提示l1⊥l2⇒a·b=0⇒k1·k2=-1.两条直线垂直,有以下结论(1)若直线l1与l2的斜率都存在,分别为k1,k2,则l1⊥l2⇔k1k2=-1.(2)若直线l1与l2中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0,则l1⊥l2.温馨提示(1)若k1=0且k2不存在,则一定有l1⊥l2;若k1k2=-1,则一定有l1⊥l2;若k1k2≠-1,则l1,l2不垂直.(2)若两条直线是垂直关系,那么在斜率都存在的情况下,可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率.例2(链接教材P58T6)判断下列各小题中l1与l2是否垂直.(1)l1经过点A(-1,-2),B(1,2);l2经过点M(-2,-1),N(2,1);(2)l1的斜率为-10;l2经过点A(10,2),B(20,3);(3)l1经过点A(3,4),B(3,10);l2经过点M(-10,40),N(10,40).解(1)∵k1=2-(-2)1-(-1)=2k2=1-(-1)2-(-2)=1k1k2=1,∴l1与l2不垂直.(2)∵k1=-10,k2=3-220-10=1k1k2=-1,∴l1⊥l2.(3)由A,B的横坐标相等得l1的倾斜角为90°,则l1⊥x轴.k2=40-4010-(-10)=0则l2∥x轴,∴l1⊥l2.思维升华判断两条直线是否垂直的方法在这两条直线都有斜率的前提下,只需看它们的斜率之积是否等于-1即可;若有一条直线与x轴垂直,另一条直线与x轴平行或重合时,这两条直线也垂直.训练2(1)已知直线l1的倾斜角α1为30°,l1⊥l2,则直线l2的斜率k2=,l2的倾斜角α2=.

(2)已知点A(-m-3,2),B(-2m-4,4),C(-m,m),D(3,3m+2),若直线AB⊥CD,则m的值为.

答案(1)-3120°(2)±1解析(1)由α1=30°得k1=tan30°=33∵l1⊥l2,∴k1·k2=-1,即k2=-3,又0°≤α2<180°,∴α2=120°.(2)∵A,B两点纵坐标不相等,∴AB与x轴不平行.∵AB⊥CD,∴CD与x轴不垂直,∴-m≠3,即m≠-3.当AB与x轴垂直时,-m-3=-2m-4,解得m=-1,而当m=-1时,点C,D的纵坐标均为-1,则CD∥x轴,此时AB⊥CD,满足题意.当AB与x轴不垂直时,即m≠-1,由斜率公式知,kAB=4-2-2m-4-(-kCD=3m+2-m∵AB⊥CD,∴kAB·kCD=-1,即2-(m+1)·解得m=1或m=-1(舍去).综上,m的值为1或-1.三、直线的平行与垂直的综合应用例3(链接教材P56例3、P57例5)已知A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点,若顺次连接A,B,C,D四点,试判断四边形ABCD的形状.解A,B,C,D四点在坐标平面内的位置如图.由斜率公式可得kAB=5-32-(-4)=1kCD=0-3-3-6=13,kAD=0-3kBC=3-56-2=-12,∴kAB=k由图可知AB与CD不重合,∴AB∥CD.由kAD≠kBC,∴AD与BC不平行.又kAB·kAD=13×(-3)=-1,∴AB⊥AD故四边形ABCD为直角梯形.思维升华利用两条直线平行或垂直判定平面几何图形形状的步骤训练3已知点A(0,3),B(-1,0),C(3,0),求点D的坐标,使四边形ABCD为直角梯形(A,B,C,D按逆时针方向排列).解设所求点D的坐标为(x,y),如图所示,由于kAB=3,kBC=0,∴kAB·kBC=0≠-1,即AB与BC不垂直,故AB,BC都不可作为直角梯形的直角边.(1)若CD是直角梯形的直角腰,则BC⊥CD,AD⊥CD,∵kBC=0,∴CD的斜率不存在,从而有x=3.又kAD=kBC,∴y-3x=0,即y此时AB与CD不平行,故所求点D的坐标为(3,3).(2)若AD是直角梯形的直角腰,则AD⊥AB,AD⊥CD,∵kAD=y-3x,kCD=∴y解得x=185,y=9∴点D的坐标为185综上,点D的坐标为(3,3)或185【课堂达标】1.若过点P(3,2m)和点Q(-m,2)的直线与过点M(2,-1)和点N(-3,4)的直线平行,则m的值是()A.13 B.-13答案B解析由题意知,PQ的斜率存在,由kPQ=kMN,即2m-23-(-得m=-13经检验知,m=-13符合题意2.(多选)已知直线l1的斜率为a,l1⊥l2,则l2的斜率可以为()A.1a B.-C.a D.不存在答案BD解析当a≠0时,由k1·k2=-1知,k2=-1a当a=0时,l2的斜率不存在.3.已知两点M(2,2)和N(5,-2),点P在x轴上,且∠MPN为直角,则点P的坐标为.

答案(1,0)或(6,0)解析设点P的坐标为(x0,0),则kPM=22-kPN=-25-x0,由于∠故kPM·kPN=-1,即22-x0·解得x0=1或x0=6,故点P的坐标为(1,0)或(6,0).4.在平面直角坐标系Oxy中,四边形ABCD的边AB∥DC,AD∥BC.已知点A(-2,0),B(6,8),C(8,6),则点D的坐标为.

答案(0,-2)解析设点D(x,y),则由AB∥DC,AD∥BC可得kAB=kDC,kAD=kBC,即86-(-2)=y-6x-8,解得x=0,y=-2.课时精练一、基础巩固1.下列说法正确的是()A.平行的两条直线的斜率一定存在且相等B.平行的两条直线的倾斜角一定相等C.垂直的两条直线的斜率之积为-1D.只有斜率相等的两条直线才能平行答案B解析因为当两条直线的倾斜角为90°时,两条直线平行,但是没有斜率,故A不正确;平行的两条直线的倾斜角一定相等,故B正确;垂直的两条直线的斜率存在时,斜率之积为-1,当一条直线斜率不存在,另一条直线斜率为0时,两直线也垂直,故C不正确;斜率不存在的两条直线也能够平行,故D不正确.2.直线l1,l2的斜率是方程x2-3x-1=0的两根,则l1与l2的位置关系是()A.平行 B.重合C.相交但不垂直 D.垂直答案D解析方程x2-3x-1=0有两个不同实根,且两根之积为-1,即直线l1,l2的斜率之积为-1,所以l1与l2垂直.3.直线l1的倾斜角α1=30°,若直线l1∥l2,则直线l2的斜率为()A.-33 B.C.-3 D.3答案B解析直线l1的倾斜角α1=30°,直线l1∥l2,则l2的倾斜角也等于30°,∴l2的斜率为tan30°=334.已知A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0),则直线AB与直线CD()A.平行 B.垂直C.重合 D.以上都不正确答案A解析由题意知kAB=5-32-(-4)=1kCD=-3-3-6=13,∴kAB=k同理可知kAC≠kBD,故A,B,C,D不共线,∴两直线平行.5.若点P(a,b)与Q(b-1,a+1)关于直线l对称,则l的倾斜角为()A.135° B.45° C.30° D.60°答案B解析∵kPQ=a+1-bb-1-a=-1,k∴l的斜率为1,倾斜角为45°.6.以A(-1,1),B(2,-1),C(1,4)为顶点的三角形是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.以点A为直角顶点的直角三角形D.以点B为直角顶点的直角三角形答案C解析∵kAB=1-(-1)-1-2=-2kAC=4-11-(-1)=3∴kAB·kAC=-1,∴AB⊥AC,∴△ABC是以点A为直角顶点的直角三角形.7.(多选)满足下列条件的直线l1与l2,其中l1⊥l2的是()A.l1的倾斜角为45°,l2的斜率为1B.l1的斜率为-33,l2经过点A(2,0),B(3,3C.l1经过点P(2,1),Q(-4,-5),l2经过点M(-1,2),N(1,0)D.l1的一个方向向量为(1,m),l2的一个方向向量为1答案BCD解析l1的倾斜角为45°,则其斜率为tan45°=1,所以l1∥l2或l1与l2重合,所以A不符合题意;l2经过点A(2,0),B(3,3),则其斜率为kl2=3-0因为-33×3所以l1⊥l2,所以B符合题意;l1经过点P(2,1),Q(-4,-5),则有kPQ=-5-1-4-2=1l2经过点M(-1,2),N(1,0),则有kMN=0-21+1=-1因为kPQ·kMN=-1,所以l1⊥l2,所以C符合题意;l1的一个方向向量为(1,m),则kl1=m,l2的一个方向向量为则kl2=-1m,kl所以l1⊥l2,所以D符合题意.故选BCD.8.已知直线l1的斜率为3,直线l2经过点A(1,2),B(2,a),若直线l1∥l2,则a=;若直线l1⊥l2,则a=.

答案55解析若l1∥l2,则a-22-1=3,解得若l1⊥l2,则a-22-1·3=-1,解得a=9.已知l1的斜率是2,l2过点A(-1,-2),B(x,6),且l1∥l2,则log19x=答案-1解析因为l1∥l2,所以6+2x+1=2,解得所以log193=-10.已知点A(-2,2),B(6,4),H(5,2),H是△ABC的垂心,则点C的坐标为.

答案(6,-2)解析设点C的坐标为(x,y),直线AH的斜率kAH=2-25+2=0∵BC⊥AH,而点B的横坐标为6,则x=6,直线BH的斜率kBH=4-26-5=2∴直线AC的斜率kAC=y-26+2=-∴y=-2,∴点C的坐标为(6,-2).11.已知直线l1经过点A(3,a),B(a-1,2),直线l2经过点C(1,2),D(-2,a+2).若l1⊥l2,求a的值.解设直线l2的斜率为k2,则k2=2-(a+2)1-(-2)①当a=4时,l1的斜率不存在,k2=-43,不符合题意②当a≠4时,l1的斜率存在,此时k1=2-a由k1·k2=-1,得-a3·2-a解得a=3或a=-4.∴当a=3或a=-4时,l1⊥l2.二、综合运用12.(多选)已知四边形ABCD的顶点B(6,-1),C(5,2),D(1,2).若四边形ABCD为直角梯形,则点A的坐标可以为()A.(1,-1) B.1C.125,答案AC解析若∠A=∠D=90°,如图①,由题可知AB∥DC,AD⊥CD,又kCD=0,所以A(1,-1).若∠A=∠B=90°,如图②.设A(a,b),则kBC=-3,kAD=b-2kAB=b+1由AD∥BC,得kAD=kBC,即b-2由AB⊥BC,得kAB·kBC=-1,即b+1a-6解得a=125,综上所述,点A的坐标为(1,-1)或125,-13.如图所示,一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路,已知矩形花园长|AD|=5m,宽|AB|=3m,其中一条小路为AC,另一条小路过点D.在BC上有一点M,使得两条小路AC与DM互相垂直,此时BM的长为m.

答案16解析以B为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,3),D(5,3),C(5,0),设M(x,0),0<x<5.由题意可知直线AC和直线DM的斜率都存在,由于AC与DM互相垂直,所以kAC·kDM=-1,即0-35-0·0-3x-5=-1,解得x所以BM的长为16514.已知在▱ABCD中,A(1,2),B(5,0),C(3,4).(1)求点D的坐标;(2)试判定▱ABCD是否为