人教A版高中数学选择性必修一第二课时　共线向量与共面向量

第二课时共线向量与共面向量学习目标1.理解共线向量、共面向量的定义.2.掌握向量共线的充要条件和向量共面的充要条件,会证明空间三点共线、四点共面.【引入】我们知道向量是有大小、有方向的量,它可以平行移动,平面内两个向量若方向相同或相反,就说它们是共线的,那么在空间内向量共线又是怎样的呢?今天我们就来探究一下.一、空间向量共线的充要条件探究1平面向量共线的充要条件是什么?该充要条件是否适用于空间向量?提示已知两个平面向量a,b(b≠0),则a∥b⇔存在实数λ,使a=λb.由于空间向量共线与平面向量共线的定义相同,因此该充要条件也适用于空间向量.1.空间向量共线的充要条件:对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb.2.直线的方向向量如图,O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,则对于直线l上任意一点P,由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知,存在实数λ,使得OP=λa,把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.直线可以由其上一点和它的方向向量确定.温馨提示(1)向量a,b共线时,表示向量a,b的有向线段不一定在同一条直线上.(2)因为零向量0=0·a,所以零向量和空间任一向量a是共线(平行)向量,这一性质使共线向量不具有传递性,即若a∥b,b∥c,则a∥c不一定成立.因为当b=0时,a∥0,0∥c,但a与c不一定共线.例1(1)如图,四边形ABCD和ABEF都是平行四边形,且不共面,M,N分别是AC,BF的中点,则CE与MN是否共线?(填“是”或“否”);

(2)已知A,B,C三点共线,O为直线外空间任意一点,若OC=mOA+nOB,则m+n=.

答案(1)是(2)1解析(1)法一∵M,N分别是AC,BF的中点,且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形,∴MN=MA+AF+FN=12CA+AF+1又∵MN=MC+CE+EB+BN=-12CA+CE-AF-1①+②得2MN=CE,∴CE∥MN,即CE与MN共线.法二∵M,N分别是AC,BF的中点,且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形,∴MN=AN-AM=12(AB+AF)-=12(AB+AF)-12(AB+=12(AF-AD)=12(BE-BC)=∴MN∥CE,即MN与CE共线.(2)由于A,B,C三点共线,所以存在实数λ,使得AC=λAB,即OC-OA=λ(OB-OA),所以OC=(1-λ)OA+λOB,所以m=1-λ,n=λ,所以m+n=1.思维升华1.判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ,使a=λb(b≠0)成立.2.证明三点共线的方法(1)若PA=λPB,则P,A,B三点共线.(2)对空间任意一点,若OP=xOA+yOB且x+y=1,则P,A,B三点共线.训练1(1)满足下列条件,能说明空间不重合的A,B,C三点共线的是()A.AB+BC=AC B.AB-BC=ACC.AB=BC D.|AB|=|BC|答案C解析对于空间中的任意向量,根据向量加法运算法则,都有AB+BC=AC,选项A错误;若AB-BC=AC,则AC+BC=AB,而AC+CB=AB,据此可和BC=CB,即B,C两点重合,这与已知条件矛盾,选项B错误;若AB=BC,则A,B,C三点共线,选项C正确;若|AB|=|BC|,则线段AB的长度与线段BC的长度相等,不一定有A,B,C三点共线,选项D错误.(2)如图所示,已知四边形ABCD是空间四边形,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边CB,CD上的点,且CF=23CB,CG=23CD.求证:证明∵E,H分别是AB,AD的中点,∴AE=12AB,AH=则EH=AH-AE=12AD-1=12(CD-CB)==34(CG-CF)=3∴EH∥FG且|EH|=34|FG|≠|FG|又F不在直线EH上,∴四边形EFGH是梯形.二、空间向量共面的充要条件探究2由于向量可以平移,所以任意两个向量共面,探究任意三个向量是否共面.提示不一定,如图所示,PA,PB,PC三个向量不共面,但AB,AC,BC三个向量共面.探究3对两个不共线的空间向量a,b,如果p=xa+yb,那么向量p与向量a,b有什么位置关系?反过来,向量p与向量a,b有什么位置关系时,p=xa+yb?提示向量p与不共线向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.1.向量与平面平行:如果表示向量a的有向线段OA所在的直线OA平行于平面α或在平面α内,那么称向量a平行于平面α.2.共面向量定义平行于同一个平面的向量三个向量共面的充要条件向量p与不共线向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb温馨提示向量p与a,b共面的充要条件是在向量a与b不共线的前提下才成立的,若a与b共线,则不成立.例2如图所示,已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直,点M,N分别在对角线BD,AE上,且BM=13BD,AN=13求证:向量MN,CD,DE共面.证明因为M在BD上,且BM=13BD所以MB=13DB=13同理AN=13AD+所以MN=MB+BA+AN=13DA+1=23BA+13DE=又CD与DE不共线,根据向量共面的充要条件可知MN,CD,DE共面.思维升华证明空间三向量或四点共面的方法(向量法):设法证明其中一个向量可以表示成另两个不共线向量的线性组合,即若p=xa+yb,则向量p,a,b共面.训练2(链接教材P5例1)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M为DD1的中点,N∈AC,且AN∶NC=2∶1,求证:A1,B,N,M四点共面.证明设AA1=a,AB=b,AD=则A1B=b-∵M为线段DD1的中点,∴A1M=c-1又∵AN∶NC=2∶1,∴AN=23AC=23(b+∴A1N=AN-AA1=23(=23(b-a)+=23A1∴A1N,A1B又∵三向量有相同的起点A1,∴A1,B,N,M四点共面.三、空间向量共面的充要条件的变形应用探究4对于不共线的三点A,B,C和平面ABC外的一点O,空间一点P满足关系式OP=xOA+yOB+zOC,则点P在平面ABC内的充要条件是什么?提示x+y+z=1.证明如下:(1)充分性∵OP=xOA+yOB+zOC可变形为OP=(1-y-z)OA+yOB+zOC,∴OP-OA=y(OB-OA)+z(OC-OA),∴AP=yAB+zAC,∴点P与A,B,C共面,即点P在平面ABC内.(2)必要性∵点P在平面ABC内,不共线的三点A,B,C,∴存在有序实数对(m,n)使AP=mAB+nAC,OP-OA=m(OB-OA)+n(OC-OA),∴OP=(1-m-n)OA+mOB+nOC,∵点O在平面ABC外,∴OA,OB,OC不共面,又∵OP=xOA+yOB+zOC,∴x=1-m-n,y=m,z=n,∴x+y+z=1.例3(多选)对空间任一点O和不共线三点A,B,C,能得到P,A,B,C四点共面的是()A.OP=OA+OB+OCB.OP=13OA+1C.OP=34OA+1D.OP=2OA-OB-OC答案BC解析法一A中,OP=OA+OB+OC,不能转化成AP=xPB+yPC的形式,所以A项不正确.B中,∵OP=13OA+13∴3OP=OA+OB+OC,∴OP-OA=(OB-OP)+(OC-OP),∴AP=PB+PC,∴PA=-PB-PC,∴P,A,B,C四点共面.故B项正确.C中,OP=34OA+1=34OA+18(OA+AB)+18(=OA+18AB+∴OP-OA=18AB+∴AP=18AB+由共面的充要条件知P,A,B,C四点共面,故C正确.D中,OP=2OA-OB-OC,无法转化成AP=xPB+yPC的形式,∴D项不正确.故选BC.法二点P与点A,B,C共面时,对空间任意一点O,都有OP=xOA+yOB+zOC,且x+y+z=1,可判断出只有选项B,C符合要求,故选BC.思维升华向量共面的判定及应用(1)证明三个向量共面(或四点共面)时,可以通过以下几个条件进行证明.①MP=xMA+yMB;②对于空间任意一点O,OP=OM+xMA+yMB;③对于空间任意一点O,OP=xOM+yOA+zOB(x+y+z=1);④PM∥AB(或PA∥MB或PB∥AM).(2)若已知点P在平面ABC内,则有AP=xAB+yAC或OP=xOA+yOB+zOC(x+y+z=1),然后利用指定向量表示出已知向量,用待定系数法求出参数.训练3在四面体OABC中,空间中的一点M满足OM=14OA+16OB+λOC,若M,A,B,C四点共面,则A.712 B.13 C.512答案A解析因为M,A,B,C四点共面,所以14+16+λ得λ=712,故选A【课堂达标】1.对于空间的任意三个向量a,b,2a-b,它们一定是()A.共面向量 B.共线向量C.不共面向量 D.既不共线也不共面的向量答案A解析由向量共面定理可知,三个向量a,b,2a-b为共面向量.2.设e1,e2是两个不共线的向量,且a=e1+λe2与b=-13e2-e1共线,则实数λ=(A.-1 B.3 C.-13 D.答案D解析由a与b共线,知存在实数k,使a=kb,∴e1+λe2=-k3e2-ke1,即k=-1,λ=13.设a,b是空间中两个不共线的向量,已知AB=9a+mb,BC=-2a-b,DC=a-2b,且A,B,D三点共线,则实数m=.

答案-3解析因为BC=-2a-b,DC=a-2b.所以BD=BC+CD=BC-DC=-2a-b-(a-2b)=-3a+b,因为A,B,D三点共线,所以存在实数λ,使得AB=λBD,即9a+mb=λ(-3a+b).因为a与b不共线,所以9=-3解得m=λ=-3.4.已知A,B,C三点不共线,O是平面ABC外任一点,若由OP=15OA+23OB+λOC确定的一点P与A,B,C三点共面,则λ答案2解析因为点P与A,B,C三点共面,所以15+23+λ=1,解得λ=课时精练一、基础巩固1.已知非零向量a,b,且AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,则一定共线的三点是()A.A,B,D B.A,B,CC.B,C,D D.A,C,D答案A解析∵BD=BC+CD=2a+4b=2AB,∴A,B,D三点共线.2.下列命题中正确的是()A.若a与b共线,b与c共线,则a与c共线B.向量a,b,c共面,即它们所在的直线共面C.若两个非零空间向量AB与CD满足AB+CD=0,则AB∥CDD.若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb答案C解析A中,若b=0,则a与c不一定共线,故A错误;B中,共面向量的定义是平行于同一平面的向量,表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面,故B错误;C中,∵AB+CD=0,∴AB=-CD,∴AB与CD共线,故AB∥CD,故C正确;D中,若b=0,a≠0,则不存在λ,使a=λb,故D错误.3.已知O是平面内任意一点,α是任意角,则下列等式一定可以判定A,B,C三点共线的是()A.OC=sinαOA+cosαOBB.OC=sin2αOA+cos2αOBC.OC=sinαOA-cosαOBD.OC=sin2αOA-cos2αOB答案B解析在OC=xOA+yOB中,当x+y=1时,A,B,C三点共线.因为sin2α+cos2α=1,所以选项B可以判定A,B,C三点共线.4.在下列条件中,使点M与点A,B,C一定共面的是()A.OM=3OA-2OB-OCB.OM+OA+OB+OC=0C.MA+MB+MC=0D.OM=14OB-OA答案C解析∵MA+MB+MC=0,∴MA=-MB-MC,∴点M与点A,B,C必共面.5.若向量a,b,c不共面,则下列选项中的三个向量不共面的是()A.b-c,b,b+c B.a+b,c,a+b+cC.a+b,a-c,c D.a-b,a+b,a答案C解析向量a,b,c不共面,A项,b-c=2b-(b+c),因此三个向量共面;B项,a+b+c=(a+b)+c,因此三个向量共面;C项,若a+b,a-c,c共面,则存在实数s,t,使得a+b=s(a-c)+tc,故b=(s-1)a+(t-s)c,这与a,b,c不共面矛盾,故三个向量不共面;D项,a-b=2a-(a+b),因此三个向量共面,故选C.6.(多选)在以下命题中,不正确的命题是()A.已知A,B,C,D是空间任意四点,则AB+BC+CD+DA=0B.|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件C.若AB与CD共线,则AB与CD所在直线平行D.对空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若OP=xOA+yOB+zOC(其中x,y,z∈R),则P,A,B,C四点共面答案BCD解析AB+BC+CD+DA=AC+CD+DA=AD+DA=0,A正确;若a,b同向共线,则|a|-|b|<|a+b|,故B不正确;由向量平行知C不正确;D中只有x+y+z=1时,才有P,A,B,C四点共面,故D不正确.故选BCD.7.已知P为空间中任意一点,A,B,C,D四点满足任意三点均不共线,但四点共面,且PA=43PB-xPC+16DB,则实数xA.13 B.-13 C.12 D答案A解析PA=43PB-xPC+16DB=43PB-xPC+16PB又∵P是空间任意一点,A,B,C,D四点满足任意三点均不共线,但四点共面,∴32-x-16=1,解得x=8.设e1,e2是不共线的向量,已知AB=2e1+ke2,CB=e1+3e2,CD=2e1-e2,若A,B,D三点共线,则实数k为.

答案-8解析因为BD=CD-CB=e1-4e2,AB=2e1+ke2,又A,B,D三点共线,由向量共线的充要条件得12=-4所以k=-8.9.在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点,则EF和AD+BC的关系是(填“平行”“相等”或“相反”).

答案平行解析设G是AC的中点,连接EG,FG(图略),则EF=EG+GF=12BC+12所以2EF=AD+BC,从而EF∥(AD+BC).10.有下列命题:①若AB∥CD,则A,B,C,D四点共线;②若AB∥AC,则A,B,C三点共线;③若e1,e2为不共线的非零向量,a=4e1-25e2,b=-e1+110e2,则a∥④若向量e1,e2,e3是三个不共面的向量,且满足等式k1e1+k2e2+k3e3=0,则k1=k2=k3=0.其中是真命题的序号是(把所有真命题的序号都填上).

答案②③④解析根据共线向量的定义,若AB∥CD,则AB∥CD或A,B,C,D四点共线,故①错;因为AB∥AC且AB,AC有公共点A,所以②正确;由于a=4e1-25e2=-4b,所以a∥b故③正确;易知④也正确.11.如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M是AD1的中点,N是BD的中点,判断MN与D1C解连接AC,如图.∵N是BD的中点,四边形ABCD为平行四边形,∴N为AC的中点.又M是AD1的中点,∴MN=AN-AM=12AC=12(AC-AD1∴MN与D1C二、综合运用12.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,P,M为空间任意两点,如果有PM=PB1+7BA+6AA1-4A1D1A.在平面BAD1内 B.在平面BA1D内C.在平面BA1D1内 D.在平面AB1C1内答案C解析PM=PB1+7BA+6A=PB1+BA+6B=PB1+B1A=PA1+6P=11PA1-6PB-4因为11+(-6)+(-4)=1,于是M,B,A1,D1四点共面.13.已知i,j,k是不共面向量,a=2i-j+3k,b=-i+4j-2k,c=7i+5j+λk,若a,b,c三个向量共面,则实数λ=.

答案65解析∵a,b,c三个向量共面,∴存在实数m,n,使得c=ma+nb,即7i+5j+λk=m(2i-j+3k)+n(-i+4j-2k)=(2m-n)i+(-m+4n)j+(3m-2n)k.因为i,j,k是不共面向量,∴7=2m-n,5=-14.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P,Q分别为A1D1,D1C1,AA1,CC1的中点,求证:M,N,P,Q四点共面.证明令D1A1=a,D1C1=因为M,N,P,Q均为所在棱的中点,所以MN=D1N-D1M=12MP=MA1+A1P=12MQ=MD1+D1C1+C1Q设MQ=λMN+μMP,则-12a+b+12c=λ12=12(μ-λ)a+12λb+12所以12(所以MQ=2