人教A版高中数学选择性必修一第二课时　双曲线及其标准方程的应用

第二课时双曲线及其标准方程的应用学习目标1.会解决与双曲线定义有关的轨迹问题.2.会利用双曲线的定义解决最值问题.3.会解决与双曲线的定义和标准方程有关的实际问题.【引入】上节我们研究了双曲线的定义、标准方程和焦点三角形.这节我们进一步研究利用双曲线的定义求轨迹方程、求最值及一些与双曲线有关的实际问题.一、与双曲线有关的轨迹问题例1如图所示,已知定圆F1:(x+5)2+y2=1,定圆F2:(x-5)2+y2=16,动圆M与定圆F1,F2都外切,求动圆圆心M的轨迹方程.解圆F1:(x+5)2+y2=1,圆心F1(-5,0),半径r1=1;圆F2:(x-5)2+y2=16,圆心F2(5,0),半径r2=4.设动圆M的半径为R,则有|MF1|=R+1,|MF2|=R+4,∴|MF2|-|MF1|=3<10=|F1F2|.∴点M的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线的左支,且a=32,c=5,于是b2=c2-a2=91∴动圆圆心M的轨迹方程为x294-y思维升华1.求解与双曲线有关的点的轨迹问题,常见的方法有两种:(1)列出等量关系,化简得到方程;(2)寻找几何关系,由双曲线的定义得出对应的方程.2.注意:(1)双曲线的焦点所在的坐标轴;(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.训练1(1)方程(x+10)2+y2-A.x236-y264=1 B.C.x236-y264=1(x>0) D.x2(2)设P为双曲线x24-y2=1上一动点,O为坐标原点,M为线段OP的中点,则点M的轨迹方程为答案(1)C(2)x2-4y2=1解析(1)设A(-10,0),B(10,0),P(x,y),由于动点P(x,y)的轨迹方程为(x+10)2+则|PA|-|PB|=12<|AB|=20,则动点P(x,y)的轨迹是以(±10,0)为焦点,以12为实轴长的双曲线的右支,由于2a=12,c=10,则b2=c2-a2=100-36=64,故P的轨迹的标准方程为x236-y2(2)设M(x,y),P(x0,y0),则x=x又x024-y02=1,则(2x整理得x2-4y2=1,即点M的轨迹方程为x2-4y2=1.二、利用双曲线的定义解决最值问题例2(1)已知定点A(3,1),F是双曲线x24-y212=1的右焦点,P是双曲线右支上的动点,则|PA|+|PF|A.2 B.52+4C.52-4 D.2+4(2)P为双曲线x2-y215=1右支上一点,M,N分别是圆(x+4)2+y2=4和(x-4)2+y2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值是答案(1)C(2)5解析(1)设F1是双曲线的左焦点,根据双曲线的定义及P是双曲线右支上的动点可得|PF1|-|PF|=2a,所以|PF|=|PF1|-2a,所以|PA|+|PF|=|PA|+|PF1|-2a=|PA|+|PF1|-4,结合图形可得|PA|+|PF1|≥|AF1|=[3-(-4)]2+当且仅当P,A,F1三点共线时取得等号,即点P在P'处时取得最小值,所以|PA|+|PF1|-4≥52-4,所以|PA|+|PF|的最小值为52-4.(2)如图,双曲线的两个焦点F1(-4,0),F2(4,0)为两个圆的圆心,半径分别为r1=2,r2=1,|PM|max=|PF1|+2,|PN|min=|PF2|-1,故|PM|-|PN|的最大值为|PF1|+2-|PF2|+1=|PF1|-|PF2|+3=5.思维升华在求解与双曲线有关的长度问题时,注意定义的应用,在求距离的和时往往需要利用定义进行转化,注意最值获得的条件,往往在三点共线时取到.训练2已知A(-4,0),B是圆(x-1)2+(y-4)2=1上的点,点P在双曲线x29-y27=1的右支上,则|PA|+|PB|A.9 B.25+6C.10 D.12答案C解析设点C(1,4),点B在圆上,则|PB|≥|PC|-r=|PC|-1,由点P在双曲线右支上,点A为双曲线左焦点,设A'为双曲线右焦点,所以由双曲线定义知|PA|=|PA'|+2a=|PA'|+6,所以|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|+6≥|PA'|+|PC|+6-1≥|A'C|+5=5+5=10.三、双曲线方程的实际应用例32021年9月17日神舟十二号返回舱顺利到达地球后,为了及时将航天员安全救出,地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记A,B,C),A在B的正东方向,相距6千米,C在B的北偏西30°方向,相距4千米,P为航天员着陆点.某一时刻,A接收到P的求救信号,由于B,C两地比A距P远,在此4秒后,B,C两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为1千米/秒,求在A处发现P的方位角.解如图所示,以直线AB为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,则A(3,0),B(-3,0),C(-5,23).∵|PB|=|PC|,∴点P在线段BC的垂直平分线上,又易知kBC=-3,线段BC的中点D(-4,3),∴直线PD的方程为y-3=13(x+4),又|PB|-|PA|=4<6=|AB|,∴点P在以A,B为焦点的双曲线的右支上,设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(则a=2,c=3,∴点P的轨迹方程为x24-y25=1(x联立①②,得点P的坐标为(8,53),∴kPA=538-3=因此在A处发现P的方位角为北偏东30°.思维升华利用双曲线解决实际问题的基本步骤(1)建立适当的坐标系.(2)求出双曲线的标准方程.(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义).训练3(链接教材P120例2)(多选)已知A,B两监测点间距离为800米,且A监测点听到爆炸声的时间比B监测点迟2秒,若声速为340米/秒,则下列说法正确的是()A.爆炸点在以A,B为焦点的椭圆上B.爆炸点在以A,B为焦点的双曲线的一支上C.若B监测点的声强是A监测点的4倍(声强与距离的平方成反比),则爆炸点到B监测点的距离为6803D.若B监测点的声强是A监测点的4倍(声强与距离的平方成反比),则爆炸点到B监测点的距离为680米答案BD解析依题意,A,B两监测点间距离为800米,且A监测点听到爆炸声的时间比B监测点迟2秒,设爆炸点为C,则|CA|-|CB|=340×2=680<800,所以爆炸点在以A,B为焦点的双曲线的一支上,所以选项A错误,选项B正确;若B监测点的声强是A监测点的4倍(声强与距离的平方成反比),所以|CA|2即|CA|=2|CB|,结合|CA|-|CB|=680,可得|CB|=680.所以选项C错误,选项D正确.故选BD.【课堂达标】1.已知点P(x,y)的坐标满足(x-1)2+y2-(x+1)2A.椭圆 B.双曲线C.两条射线 D.双曲线的一支答案B解析设A(1,0),B(-1,0),则由已知得||PA|-|PB||=2,即动点P到两个定点A,B的距离之差的绝对值等于常数2,又|AB|=2,且2<2,所以根据双曲线的定义知,动点P的轨迹是双曲线.2.如图,双曲线C:x29-y210=1的左焦点为F1,双曲线上的点P1与P2关于y轴对称,则|P2F1|-|P1F1|A.3 B.4 C.6 D.8答案C解析如图所示,设双曲线的右焦点为F2,连接P2F2,因为双曲线上的点P1与P2关于y轴对称,根据双曲线的对称性,可得|P1F1|=|P2F2|,所以|P2F1|-|P1F1|=|P2F1|-|P2F2|=2×3=6.3.一动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹为()A.直线 B.圆C.双曲线的一支 D.椭圆答案C解析由题意得两定圆的圆心坐标为O1(0,0),O2(4,0),设动圆圆心为C,动圆半径为r,则|CO1|=r+1,|CO2|=r+2,∴|CO2|-|CO1|=1<|O1O2|=4,故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支.4.已知F是双曲线C:x29-y216=1的左焦点,点H的坐标为(4,6).若点P为C右支上的动点,则|PH|+|PF|答案6+37解析设右焦点为F',则F'(5,0),依题意,由双曲线的定义有|PF|=|PF'|+6,∴|PF|+|PH|=|PF'|+|PH|+6≥|HF'|+6=1+36+6=6+37,(当P在线段HF'上时,取等号).故|PH|+|PF|的最小值为6+37.课时精练一、基础巩固1.相距4k千米的A,B两地,听到炮弹爆炸的时间相差2秒,若声速每秒k千米,则炮弹爆炸点P的轨迹可能是()A.双曲线的一支 B.双曲线C.椭圆 D.圆答案B解析由已知可得||PA|-|PB||=2k<4k=|AB|,根据双曲线的定义可知,点P在以A,B为焦点的双曲线上,则炮弹爆炸点P的轨迹可能是双曲线.2.已知双曲线的两个焦点为F1(-10,0),F2(10,0),M是此双曲线上的一点,且满足MF1·MF2=0,|MF1|·|MF2A.x29-y2=1 B.x2-C.x23-y27=1 D.答案A解析∵MF1·M∴MF1⊥MF2,即MF1∴|MF1|2+|MF2|2=40,则(|MF1|-|MF2|)2=|MF1|2-2|MF1|·|MF2|+|MF2|2=40-2×2=36,∴||MF1|-|MF2||=6=2a,即a=3.∵c=10,∴b2=c2-a2=1,则该双曲线的方程是x29-y3.动圆M与圆C1:(x+5)2+y2=25和圆C2:(x-5)2+y2=1均外切,则动圆圆心M的轨迹方程为()A.x24-y221=1(x≥2) B.x24C.x29-y216=1(x≥3) D.x29答案A解析设动圆M的半径为r,圆C1的圆心为C1(-5,0),半径r1=5,圆C2的圆心为C2(5,0),半径r2=1,因为动圆M与圆C1和圆C2均外切,所以|MC1|=r+5,|MC2|=r+1,所以|MC1|-|MC2|=4<|C1C2|,所以点M的轨迹是以点C1,C2为焦点的双曲线的右支.2a=4,a2=4,c=5,所以b2=c2-a2=25-4=21.所以动圆圆心M的轨迹方程为x24-y2214.已知双曲线x24-y22=1的右焦点为F,P为双曲线左支上一点,点A(0,2),则△APFA.4+2 B.4(1+2)C.2(2+6) D.6+32答案B解析设双曲线的左焦点为F',则|PF|-|PF'|=2a=4,所以|PF|=4+|PF'|,所以△APF的周长为|PF|+|PA|+|AF|=4+|PF'|+|PA|+22≥4+22+|AF'|=4+42,当且仅当P在线段AF'与双曲线左支的交点处时取等号,所以△APF周长的最小值为4+42.5.(多选)在平面直角坐标系Oxy中,动点P到两个定点F1(-1,0)和F2(1,0)的斜率之积等于8,记点P的轨迹为曲线E,则()A.曲线E经过坐标原点B.曲线E关于x轴对称C.曲线E关于y轴对称D.若点(x,y)在曲线E上,则-1≤x≤1答案BC解析设P(x,y),则kPF1·kPF2=y则x2-y28=1(y故轨迹为焦点在x轴上的双曲线去除顶点.故曲线E不经过原点,A错误;曲线E关于x轴对称,关于y轴对称,BC正确;若点(x,y)在曲线E上,则x>1或x<-1,D错误.6.地震预警是指在破坏性地震发生以后,在某些区域可以利用“电磁波”抢在“地震波”之前发出避险警报信息,以减小相关预警区域的灾害损失.根据Rydelek和Pujol提出的双台子台阵方法,在一次地震发生后,通过两个地震台站的位置和其接收到的信息,可以把震中的位置限制在双曲线的一支上,这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.在一次地震预警中,两地震台A站和B站相距10km.根据它们收到的信息,可知震中到B站与震中到A站的距离之差为6km.据此可以判断,震中到地震台B站的距离至少为()A.8km B.6km C.4km D.2km答案A解析设震中为P,依题意有|PB|-|PA|=6<|AB|=10,所以点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线靠近A的一支,因为|PA|+|PB|≥|AB|=10,当且仅当A,P,B三点共线时取等号,所以|PB|-6+|PB|≥10,所以|PB|≥8,所以震中到地震台B站的距离至少为8km.7.已知点P在曲线C1:x216-y29=1的右支上,点Q在曲线C2:(x+5)2+y2=1上,点R在曲线C3:(x-5)2+y2=1上,则|PQ|-|PR|A.6 B.8 C.10 D.12答案C解析双曲线x216-yF1(-5,0)与F2(5,0),且|PF1|-|PF2|=8,而这两个焦点恰好是两圆(x+5)2+y2=1和(x-5)2+y2=1的圆心,且两圆的半径分别是r2=1,r3=1,所以|PQ|max=|PF1|+1,|PR|min=|PF2|-1,所以|PQ|-|PR|的最大值为(|PF1|+1)-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+2=8+2=10.8.已知动点P到点F(2,0)的距离与到直线l:x=12的距离之比为2,则点P的轨迹方程为.答案x2-y2解析设点P的坐标为(x,y),则由题意得(x-2)化简得x2-y23=1,即为点P9.已知双曲线C:x2a2-y23=1上的点到焦点的最小距离为1,则双曲线答案x2-y2解析双曲线C:x2a2-y23=1的半焦距为a2则双曲线上的点到焦点的最小距离为a2+3-|a|=1,解得所以双曲线的方程为x2-y210.已知双曲线x2-y23=1的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则PA1·P答案-2解析由题意得A1(-1,0),F2(2,0),设P(x,y)(x≥1),PA1·PF2=(-1-x,-y)·(2-x=x2-x-2+y2,又x2-y23=1,故y2=3(x2于是PA1·PF2=4x=4x-18当x=1时,PA1·P11.在周长为48的Rt△MPN中,∠MPN=90°,tan∠PMN=34,求以M,N为焦点,且过点P的双曲线方程解因为△MPN的周长为48,且tan∠PMN=34,所以设|PN|=3k,|PM|=4k,则|MN|=5k由3k+4k+5k=48,得k=4.所以|PN|=12,|PM|=16,|MN|=20.以MN所在直线为x轴,以MN的中点为原点建立平面直角坐标系,如图所示.设所求双曲线方程为x2a2-y2b2由|PM|-|PN|=4,得2a=4,a=2,a2=4.由|MN|=20,得2c=20,c=10,c2=100,所以b2=c2-a2=100-4=96,故所求方程为x24-y2二、综合运用12.过椭圆x2m+y2m-9=1(m>9)右焦点F的圆与圆O:x2+y2=4外切,该圆直径FQ的端点Q的轨迹记为曲线C,若P为曲线C上的一动点,则|FPA.0 B.12 C.1答案C解析椭圆x2m+y2m-9=1(m>9),所以F(3,0).设以FQ为直径的圆圆心为O1,如图所示,因为圆O与圆O1外切,所以|OO1|-|O1F|=2,因为|QF1|=2|OO1|,|QF|=2|O1F|,所以|QF1|-|QF|=2(|OO1|-|O1F|)=4<|F1F|,所以Q的轨迹为以F1,F为焦点,2a=4的双曲线的右支.即a=2,c=3,b=9-4=5,曲线C:x24-y25因为P为曲线C上的一动点,则|FP|长度的最小值为c-a=1.13.如图,B地在A地的正东方向4km处,C地在B地的北偏东30°方向2km处,河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点D到A的距离比到B的距离远2km,则曲线PQ的轨迹方程是;现要在曲线PQ上选一处M建一座码头向B,C两地转运货物,那么这两条公路MB,MC的路程之和最短是km.

答案x2-y23=1(x≥1)2解析如图所示,以AB所在的直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,则A(-2,0),B(2,0),|DA|-|DB|=2,根据双曲线定义知轨迹为双曲线的右支.故2c=4,c=2,2a=2,a=1,b2=c2-a2=4-1=3,故轨迹方程为x2-y23=1(x根据题意知C(3,3),|MB|+|MC|=|MA|+|MC|-2≥|AC|-2=27-2.当且仅当A,M,C三点共线时等号成立.14.如图,在以点O为圆心,|AB|=4为直径的半圆ADB中,OD⊥AB,P是半圆弧上一点,∠POB=30°,曲线C是满足||MA|-|MB||为定值的动点M的轨迹,且曲线C过点P.建立适当的平面直角坐标系,求曲线C的方程.解以O为原点,AB,OD所在直线分别为x轴、y轴,建立平面直角坐标系,如图,则A(-2,0),B(2,0),D(0,2),P(3,1),依题意得||MA|-|MB||=|PA|-|PB|=(2+3)=(6+=22<|AB|=4.∴曲线C是以A,B