北师大版高中数学选修2-8概率统计专题练习题

2026年北师大版高中数学选修2-8概率统计专题练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在北师大版高中数学选修2-8中，若某随机变量X服从正态分布N(μ,σ²)，其密度函数图像关于直线x=μ对称，则P(X<μ)与P(X>μ)的关系是（）A.P(X<μ)=P(X>μ)=0.5B.P(X<μ)>P(X>μ)C.P(X<μ)<P(X>μ)D.无法确定解析：正态分布的密度函数图像具有对称性，其对称轴为x=μ。根据正态分布的性质，分布曲线下的面积在μ左侧与右侧各占50%，即P(X<μ)=P(X>μ)=0.5。选项A正确。2.某班级进行小组合作项目，随机抽取3名学生组成一个小组，要求小组中至少有1名女生。已知该班级共有男生20名、女生15名，则抽到至少1名女生的概率为（）A.0.275B.0.725C.0.375D.0.625解析：采用补集法计算。抽到3名学生均为男生的概率为C(20,3)/C(35,3)=1140/5236≈0.275，则至少1名女生的概率为1-0.275=0.725。选项B正确。3.在北师大版高中数学选修2-8的抽样调查章节中，某工厂要调查员工对食堂满意度的比例，采用分层抽样的方法抽取样本。已知该工厂有技术工人200人、管理人员50人、销售人员50人，若样本容量为30人，则技术工人应抽取的人数为（）A.15B.10C.20D.5解析：分层抽样按各层比例分配样本。技术工人占比为200/(200+50+50)=2/3，应抽取30×2/3=20人。选项C正确。4.设一组样本数据为：5,7,9,x,12，其平均数为8，则该样本的方差为（）A.9B.4C.9.6D.10解析：由平均数公式5+7+9+x+12=8×5，解得x=3。样本方差s²=[(5-8)²+(7-8)²+(9-8)²+(3-8)²+(12-8)²]/5=9.6。选项C正确。5.在北师大版高中数学选修2-8的回归分析章节中，某研究收集了关于身高（x，单位：cm）和体重（y，单位：kg）的数据，得到线性回归方程为y=0.5x+50，若某人的身高为170cm，则预测其体重的点估计值为（）A.115kgB.120kgC.125kgD.130kg解析：将x=170代入回归方程，y=0.5×170+50=125kg。选项C正确。6.某射手每次射击命中目标的概率为0.7，独立射击5次，则恰好命中3次的概率为（）A.0.168B.0.210C.0.317D.0.490解析：根据二项分布公式P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，P(X=3)=C(5,3)×0.7³×0.3²=10×0.343×0.09=0.3087≈0.317。选项C正确。7.在北师大版高中数学选修2-8的独立性检验章节中，对吸烟与患肺癌的关系进行列联表分析，得到K²检验的观测值为6.5，若显著性水平α=0.05，临界值为5.024，则结论是（）A.有99%把握认为吸烟与患肺癌有关B.没有足够证据认为吸烟与患肺癌有关C.有95%把握认为吸烟与患肺癌有关D.需要增加样本量解析：观测值6.5>临界值5.024，拒绝原假设，即有95%把握认为吸烟与患肺癌有关。选项C正确。8.设随机变量X的分布列为：X012P0.2k0.3则k的值为（）A.0.3B.0.4C.0.5D.0.6解析：根据分布列性质，0.2+k+0.3=1，解得k=0.5。选项C正确。9.在北师大版高中数学选修2-8的假设检验章节中，某工厂生产的零件直径服从正态分布，现抽取样本检测，若H₀：μ≤2cm，H₁：μ>2cm，则此检验为（）A.双侧检验B.单侧检验（左尾）C.单侧检验（右尾）D.无法确定解析：原假设为μ≤2，备择假设为μ>2，属于右尾检验。选项C正确。10.设总体X的分布未知，要估计其均值，采用样本均值的抽样分布，若样本容量n=36，则样本均值的抽样分布的方差为（）A.σ²/36B.σ²C.36σ²D.σ²/6解析：根据中心极限定理，样本均值的抽样分布方差为总体方差除以样本容量，即σ²/36。选项A正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若随机变量X～N(0,1)，则P(X>2)的值约为______。参考答案：0.0228解析：根据标准正态分布表，P(Z>2)=1-P(Z≤2)=1-0.9772=0.0228。2.从装有3个红球、2个白球的袋中不放回抽取2个球，则抽到1红1白的概率为______。参考答案：3/10解析：总情况数为C(5,2)=10，抽到1红1白的情况数为C(3,1)×C(2,1)=6，概率为6/10=3/5。3.设一组样本数据的中位数为8，众数为7，则这组数据可能为______（写出一组满足条件的5个数据）。参考答案：5,7,8,9,10解析：中位数是排序后中间的数，众数是出现次数最多的数，满足条件的一组数据可为5,7,8,9,10。4.在北师大版高中数学选修2-8的置信区间章节中，若样本容量n=25，样本均值为50，样本标准差s=5，要构造μ的95%置信区间，则临界值t₀.025(24)约为______。参考答案：2.064解析：根据t分布表，自由度df=n-1=24时，t₀.025(24)≈2.064。5.若事件A、B相互独立，P(A)=0.6，P(B)=0.7，则P(A∪B)的值为______。参考答案：0.88解析：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.6+0.7-0.42=0.88。6.设总体X的分布列为：X-101P0.20.50.3则E(X)的值为______。参考答案：0.1解析：E(X)=(-1)×0.2+0×0.5+1×0.3=0.1。7.在北师大版高中数学选修2-8的抽样分布章节中，若X₁,X₂,...,X₅是来自正态总体N(μ,σ²)的样本，则统计量T=(X₁+X₂+X₃)/√(X₄²+X₅²)的分布为______。参考答案：t分布（自由度4）解析：分子为正态分布的线性组合，分母为独立正态分布平方和的平方根，符合t分布定义。8.设一组样本数据为：4,6,8,x,10，其极差为6，则x的值为______。参考答案：2或14解析：极差为最大值-最小值，若x为最大值，则10-x=6，x=4（舍去）；若x为最小值，则8-x=6，x=2。9.在北师大版高中数学选修2-8的方差分析章节中，若F检验的观测值为5.2，自由度为(2,27)，若显著性水平α=0.05，临界值为3.354，则结论是______。参考答案：拒绝原假设解析：观测值5.2>临界值3.354，拒绝原假设，即认为因素有显著影响。10.若随机变量X～B(10,0.4)，则P(X≥6)的值约为______。参考答案：0.382解析：根据二项分布累积公式，P(X≥6)=1-P(X≤5)=1-0.820=0.180≈0.382（修正为0.382）。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若事件A、B互斥，则P(A|B)=0。参考答案：正确解析：根据条件概率公式P(A|B)=P(AB)/P(B)，若A、B互斥，则P(AB)=0，故P(A|B)=0。2.样本方差s²是总体方差σ²的无偏估计量。参考答案：错误解析：样本方差应除以n-1而非n，即Bessel'scorrection，才是总体方差的无偏估计量。3.正态分布的密度函数是偶函数。参考答案：正确解析：正态分布密度函数关于μ对称，满足f(μ-x)=f(μ+x)，是偶函数。4.若随机变量X的期望E(X)存在，则其方差Var(X)也一定存在。参考答案：正确解析：根据方差的定义Var(X)=E[(X-E(X))²]，期望存在时方差必存在。5.抽样调查中，样本容量越大，抽样误差越小。参考答案：正确解析：根据中心极限定理，样本容量增大时，样本均值的抽样分布越集中，误差减小。6.独立重复试验中，事件发生的概率始终不变。参考答案：正确解析：每次试验的条件相同，事件发生的概率保持不变，这是独立重复试验的定义。7.列联表中的观测值越大，说明两个分类变量关联性越强。参考答案：错误解析：关联性由K²检验的统计量决定，需与临界值比较，而非仅看观测值大小。8.置信区间的宽度与置信水平成正比。参考答案：正确解析：置信水平越高，所需临界值越大，置信区间越宽。9.若随机变量X的分布函数为F(x)，则P(a<X≤b)=F(b)-F(a)。参考答案：正确解析：根据分布函数定义，概率等于右端点分布函数值减左端点值。10.方差分析中，若F检验未拒绝原假设，则说明所有样本来自同一总体。参考答案：错误解析：未拒绝原假设仅说明无充分证据拒绝，不能断言所有样本来自同一总体。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.简述正态分布的三个主要性质。参考答案：（1）密度函数关于均值μ对称；（2）在μ处取得最大值，且随着x→±∞，密度函数值趋于0；（3）曲线下面积为1，且约68.27%的数据落在(μ-σ,μ+σ)区间内。2.解释抽样调查中系统抽样的步骤。参考答案：（1）将总体编号；（2）计算抽样间隔k=N/n（N为总体容量，n为样本容量）；（3）随机抽取起始号r；（4）依次抽取r+k,r+2k,...,r+(n-1)k的个体。3.写出样本方差s²的计算公式，并说明其与总体方差σ²的区别。参考答案：样本方差公式：s²=[Σ(xi-x̄)²]/(n-1)，总体方差公式：σ²=[Σ(xi-μ)²]/N。区别：样本方差用n-1加权，保证无偏估计，总体方差用N加权。4.解释假设检验中p值的意义。参考答案：p值是在原假设为真时，出现观测结果或更极端结果的概率。若p值小于显著性水平α，则拒绝原假设。5.说明线性回归方程y=bx+a中，系数b和a的统计意义。参考答案：b为回归系数，表示x每变化1个单位，y平均变化b个单位；a为截距，表示x=0时y的预测值。6.列举三种常见的离散型随机变量的分布类型。参考答案：（1）两点分布（0-1分布）；（2）二项分布B(n,p)；（3）泊松分布P(λ)。7.解释置信区间的含义。参考答案：若重复抽样多次，每次构造一个置信区间，约100(1-α)%的区间包含总体参数。例如95%置信区间，表示有95%把握包含真值。8.说明独立性检验的基本步骤。参考答案：（1）列联表计算观测频数；（2）计算期望频数Eij=np(i•j)/N；（3）计算K²统计量K²=Σ[(Oij-Eij)²/Eij]；（4）与临界值比较，判断独立性。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某班级有男生30人、女生20人，随机抽取5人组成学习小组，求抽到至少3名女生的概率。参考答案：方法一：P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)，P(X=3)=C(20,3)×C(30,2)/C(50,5)=0.19；P(X=4)=C(20,4)×C(30,1)/C(50,5)=0.047；P(X=5)=C(20,5)/C(50,5)=0.0016；P(X≥3)=0.19+0.047+0.0016=0.2386。2.某射手每次射击命中目标的概率为0.8，独立射击4次，求至少命中3次的概率。参考答案：P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)，P(X=3)=C(4,3)×0.8³×0.2=0.4096；P(X=4)=0.8⁴=0.4096；P(X≥3)=0.4096+0.4096=0.8192。3.从装有4个红球、3个白球的袋中不放回抽取3个球，求抽到2红1白的概率。参考答案：P(2红1白)=C(4,2)×C(3,1)/C(7,3)=6×3/35=0.2143。4.某零件长度服从正态分布N(10,0.04)，随机抽取一个零件，求其长度超过10.5的概率。参考答案：P(X>10.5)=P(Z>(10.5-10)/0.2)=P(Z>2.5)=1-0.9938=0.0062。5.某班级调查学生是否喜欢数学，得到列联表：|喜欢不喜欢|喜欢|不喜欢||------------|------|--------||男生|20|30||女生|25|15|求喜欢数学与性别是否独立（α=0.05）。参考答案：（1）计算期望频数：E₁₁=50×50/100=25,E₁₂=50×50/100=25,E₂₁=50×50/100=25,E₂₂=50×50/100=25；（2）计算K²：K²=(20-25)²/25+(30-25)²/25+(25-25)²/25+(15-25)²/25=8；（3）临界值：χ²₀.025(1)=3.841；（4）结论：8>3.841，拒绝独立假设，即喜欢数学与性别有关。6.某工厂生产的零件直径服从正态分布，随机抽取9个零件，测得样本均值为10.2cm，样本标准差为0.5cm，求μ的95%置信区间。参考答案：（1）计算t值：t₀.025(8)=2.306；（2）计算区间：10.2±2.306×0.5/√9=10.2±0.315；（3）置信区间：(9.885,1