2026年中学数学《函数与导数》专项训练试卷附答案

2026年中学数学《函数与导数》专项训练试卷附答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.函数f(x)=ln(x+1)+1的定义域是(A)(-∞,-1)(B)(-1,+∞)(C)[-1,+∞)(D)(-∞,+∞)2.若函数g(x)=ax^2+bx+c的图象开口向上，且顶点在x轴上，则下列关系式一定成立的是(A)b^2-4ac>0(B)b^2-4ac<0(C)bc>0(D)ac>03.函数f(x)=|x-1|在区间[0,2]上的最大值是(A)0(B)1(C)2(D)34.函数y=sin(2x+π/3)的最小正周期是(A)π(B)2π(C)π/2(D)3π/25.若函数h(x)=e^x-kx在整个实数域上单调递增，则实数k的取值范围是(A)k≤1(B)k<1(C)k≥1(D)k>16.函数f(x)=x^3-3x^2+2的图象在x=1处的切线斜率是(A)-1(B)0(C)1(D)27.若曲线y=x^3-ax+1在x=1处的切线平行于直线y=4x-1，则实数a的值是(A)2(B)-2(C)3(D)-38.函数f(x)=x^3-3x^2+4在区间(-1,4)上的最小值是(A)1(B)2(C)3(D)49.若函数g(x)=x^3-3x+2在区间(0,2)内存在极值点，则该极值点是(A)0(B)1(C)2(D)不存在10.若函数f(x)=x^3-3x^2+2在某区间内单调递减，则该区间可以是(A)(-∞,0)(B)(0,2)(C)(2,+∞)(D)(1,+∞)二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。将答案填在题中横线上）11.函数f(x)=log_a(x+1)(a>0,a≠1)在区间(-1,1)上是减函数，则实数a的取值范围是________。12.已知函数g(x)=sin(x)+cos(x)，则g(x)在区间[0,π/2]上的最大值是________。13.曲线y=x^2+1在点(1,2)处的切线方程是________。14.若函数h(x)=x^3-ax^2+bx在x=1处取得极值，且该极值为1，则a+b=________。15.不等式x^3-x>0的解集是________。三、解答题（本大题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.(本小题满分15分)已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1。(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)求函数f(x)在区间[-1,3]上的最大值和最小值。17.(本小题满分15分)已知函数g(x)=e^x-mx^2(m为实数)。(1)若函数g(x)在整个实数域上单调递增，求实数m的取值范围；(2)在(1)的条件下，求函数g(x)的最小值。18.(本小题满分15分)已知函数f(x)=x^3-ax^2+bx，且函数f(x)在x=1处的切线与直线y=(e^2-3)x-2平行。(1)求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的极大值和极小值。19.(本小题满分15分)设函数h(x)=|x-1|+|x+1|。(1)作出函数h(x)的图象；(2)求函数h(x)的最小值，并说明此时x的取值。20.(本小题满分15分)已知函数F(x)=x^3-3x^2+2x+1。(1)求曲线y=F(x)在点(1,F(1))处的切线方程；(2)讨论函数F(x)的单调性；(3)若存在实数t，使得F(t)=k恰好有两个不同的实数解，求实数k的取值范围。试卷答案一、选择题1.B2.A3.C4.A5.C6.C7.B8.B9.B10.B二、填空题11.(0,+∞)12.√213.y=2x14.315.(-1,0)∪(0,+∞)三、解答题16.解：(1)函数f(x)的导数f'(x)=3x^2-6x+2。令f'(x)>0，即3x^2-6x+2>0。解得x∈(-∞,1-√3/3)∪(1+√3/3,+∞)。所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,1-√3/3)和(1+√3/3,+∞)。(2)函数f(x)在区间[-1,3]上的驻点为x=1-√3/3和x=1+√3/3。计算f(-1)=-1,f(1-√3/3)=(1-√3/3)^3-3(1-√3/3)^2+2(1-√3/3)+1=4-√3,f(1+√3/3)=(1+√3/3)^3-3(1+√3/3)^2+2(1+√3/3)+1=4+√3,f(3)=19。比较f(-1),f(1-√3/3),f(1+√3/3),f(3)的值。最小值为min{f(-1),f(1-√3/3)}=min{-1,4-√3}=-1。最大值为max{f(1+√3/3),f(3)}=max{4+√3,19}=19。所以函数f(x)在区间[-1,3]上的最小值是-1，最大值是19。17.解：(1)函数g(x)的导数g'(x)=e^x-2mx。因为函数g(x)在整个实数域上单调递增，所以g'(x)≥0对所有x∈R恒成立。即e^x-2mx≥0对所有x∈R恒成立。等价于2m≤e^x/x对所有x∈R恒成立。令r(x)=e^x/x，x∈(0,+∞)，则r'(x)=e^x(x-1)/x^2。令r'(x)=0，得x=1。当x∈(0,1)时，r'(x)<0，r(x)单调递减；当x∈(1,+∞)时，r'(x)>0，r(x)单调递增。所以r(x)在x=1处取得极小值，也是最小值，最小值为r(1)=e/1=e。因此，2m≤e，即m≤e/2。令r(x)=e^x/x，x∈(-∞,0)，则r'(x)=e^x(x-1)/x^2。令r'(x)=0，得x=1。当x∈(-∞,0)时，r'(x)>0，r(x)单调递增。所以r(x)在(-∞,0)上无最小值。综上，m的取值范围是(-∞,e/2]。(2)在(1)的条件下，m≤e/2。令g'(x)=e^x-2mx=0，得e^x=2mx。由(1)知，存在x_0>0，使得e^x_0=2mx_0。所以g(x)在x=x_0处取得极小值。g(x_0)=e^x_0-mx_0+1=2mx_0-mx_0+1=mx_0+1。因为m≤e/2且x_0>0，所以mx_0+1≤e/2*x_0+1。由于x_0≥1（由g'(x)在x=1处由负变正可知），所以e/2*x_0+1≤e/2*1+1=e/2+1。所以函数g(x)的最小值是g(x_0)≤e/2+1。当m=e/2且x_0=1时，g'(x)=e^x-e，g(x)在x=1处取得最小值g(1)=e-e+1=1。此时，m=e/2，x_0=1满足m≤e/2且x_0>0。所以函数g(x)的最小值是1。18.解：(1)函数f(x)的导数f'(x)=3x^2-2ax+b。由题意，f'(1)=3(1)^2-2a(1)+b=3-2a+b=e^2-3。解得2a-b=6。又因为函数f(x)在x=1处的切线与直线y=(e^2-3)x-2平行，所以它们的斜率相等。该直线的斜率为e^2-3。所以f'(1)=e^2-3。即3-2a+b=e^2-3。整理得2a-b=6。所以切线的斜率为e^2-3。函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-f(1)=(e^2-3)(x-1)。计算f(1)=1^3-a(1)^2+b(1)=1-a+b。所以切线方程为y-(1-a+b)=(e^2-3)(x-1)。即y=(e^2-3)x-(e^2-3)+1-a+b。令x=1，y=1-a+b，代入切线方程得1-a+b=(e^2-3)-(e^2-3)+1-a+b，等式成立。所以切线方程为y=(e^2-3)x-(e^2-3)+1-a+b。整理得y=(e^2-3)x-2-a+b。所以切线方程为y=(e^2-3)x-2-a+b。将2a-b=6代入，得y=(e^2-3)x-2-6+b+b=(e^2-3)x-8+2b。因为b=2a-6，代入得y=(e^2-3)x-8+2(2a-6)=(e^2-3)x-8+4a-12=(e^2-3)x+4a-20。所以函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是y=(e^2-3)x+4a-20。(2)函数f(x)的极值点处满足f'(x)=0，即3x^2-2ax+b=0。由韦达定理，极值点x_1,x_2满足x_1+x_2=2a/3，x_1x_2=b/3。由2a-b=6，得b=2a-6。代入得x_1x_2=(2a-6)/3=2a/3-2。所以(x_1-2/3)a=2a/3-2。因为a≠0，所以x_1-2/3=2/3-2/a。所以x_1=4/3-2/a。函数f(x)在x=1处取得极值，所以1是方程3x^2-2ax+b=0的根。代入得3(1)^2-2a(1)+b=0，即3-2a+b=0。由2a-b=6，得3-2a+(2a-6)=0，即3-6=0，等式成立。所以1是极值点。由f'(x)=3(x-x_1)(x-x_2)。当x∈(-∞,x_1)时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(x_1,x_2)时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(x_2,+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增。所以x_1是极大值点，x_2是极小值点。计算f(x_1)=x_1^3-ax_1^2+bx_1=x_1(x_1^2-ax_1+b)=x_1(x_1-x_2)(x_1-x_1)=x_1(x_1-x_2)^2。计算f(x_2)=x_2^3-ax_2^2+bx_2=x_2(x_2^2-ax_2+b)=x_2(x_2-x_1)(x_2-x_1)=x_2(x_1-x_2)^2。因为x_1-x_2≠0，所以极大值为x_1(x_1-x_2)^2，极小值为x_2(x_1-x_2)^2。计算x_1-x_2=(4/3-2/a)-(2a/3-2)=4/3-2a/3-2/a+2=10/3-2(a+1)/a。所以(x_1-x_2)^2=(10/3-2(a+1)/a)^2=4(5/3-(a+1)/a)^2=4(5a-3-a-1)^2/a^2=4(4a-4)^2/a^2=64(1-1/a)^2/a^2=64(1/a-1)^2/a^2。极大值F(x_1)=x_1*64(1/a-1)^2/a^2=(4/3-2/a)*64(1/a-1)^2/a^2=(4a-6)/3a*64(1/a-1)^2/a^2=64(4a-6)(1/a-1)^2/3a^3=64(4-6/a)(1-a/a)^2/3a^3=64(4-6/a)(1-1)^2/3a^3=64(4-6/a)*0/3a^3=0。极小值F(x_2)=x_2*64(1/a-1)^2/a^2=(2a/3-2)*64(1/a-1)^2/a^2=2(a-3)*64(1/a-1)^2/3a^2=128(a-3)(1/a-1)^2/3a^2=128(1-3/a)(1-a/a)^2/3a^2=128(1-3/a)(1-1)^2/3a^2=128(1-3/a)*0/3a^2=0。所以函数f(x)的极大值为0，极小值为0。19.解：(1)函数h(x)=|x-1|+|x+1|可以分段表示为：h(x)={x-1+x+1,x≥1{-(x-1)+x+1,-1≤x<1{-(x-1)-(x+1),x<-1={2x,x≥1={2,-1≤x<1={-2x-2,x<-1函数h(x)的图象是：在x=-1处，h(-1)=2。在x=1处，h(1)=2。在x>1时，h(x)=2x，是一条斜率为2的直线。在x<-1时，h(x)=-2x-2，是一条斜率为-2的直线。在-1<x<1时，h(x)=2，是一条水平线段。图象由三部分组成：x=-1处的纵坐标为2的点，x=1处的纵坐标为2的点，斜率为2的射线(x>1)，斜率为-2的射线(x<-1)，以及连接这两点的水平线段(-1<x<1)。(2)由图象可知，函数h(x)在x=-1和x=1处的函数值为2，在(-1,1)区间内的函数值为2，在x<-1和x>1时函数值均大于2。所以函数h(x)的最小值是2，此时x的取值范围是[-1,1]。20.解：(1)函数F(x)的导数F'(x)=3x^2-6x+2。函数F(x)在点(1,F(1))处的切线斜率为F'(1)=3(1)^2-6(1)+2=3-6+2=-1。计算F(1)=1^3-3(1)^2+2(1)+1=1-3+2+1=1。所以切线方程为y-1=-1(x-1)。整理得y-1=-x+1，即y=-x+2。所以曲线y=F(x)在点(1,F(1))处的切线方程是y=-x+2。(2)函数F(x)的导数F'(x)=3x^2-6x+2。令F'(x)=0，得3x^2-6x+2=0。解得x=3±√(3^2-4*3*2)/(2*3)=3±√(9-24)/6=3±√(-15)/6。由于判别式Δ=(-6)^2-4*3*2=36-24=12>0，方程有两个不相等的实数根。x_1=(3-√15)/6，x_2=(3+√15)/6。F'(x)=3(x-x_1)(x-x_2)。当x∈(-∞,x_1)时，F'(x)>0，F(x)单调递增；当x∈(x_1,x_2)时，F'(x)<0，F(x)单调递减；当x∈(x_2,+∞)时，F'(x)>0，F(x)单调递增。所以函数F(x)在区间(-∞,(3-√15)/6)上单调递增，在区间((3-√15)/6,(3+√15)/6)上单调递减，在区间((3+√15)/6,+∞)上单调递增。(3)函数F(x)=k恰好有两个不同的实数解，等价于直线y=k与曲线y=F(x)恰好有两个不同的交点。由(2)知，函数F(x)在x=x_1处取得极大值F(x_1)，在x=x_2处取得极小值F(x_2)。F(x_1)=(3-√15)/6)^3-3((3-√15)/6)^2+2((3-√15)/6)+1。F(x_2)=(3+√15)/6)^3-3((3+√15)/6)^2+2((3+√15)/6)+1。因为x_1<x_2，且F'(x)=3(x-x_1)(x-x_2)，所以F(x_1)>F(x_2)。要使直线y=k与曲线y=F(x)恰好有两个不同的交点，k必须等于F(x_1)或F(x_2)。即k=F(x_1)