2027届湖南省益阳市高三9月教学质量监测数学试题及答案

1.本试卷包括试题卷和答题卡两部分；试题卷共4页，19小题，满分150分。考试时量120分钟。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一A.B.{-1C.{0,1,2}D.{x|2.已知复数z满足：z-i=zi+1,则z=A.-1B.-iA.2025B.2026C.4050D.40525.在△ABC中，∠A=90°,AB=1,AC=√3,P₁为BC边的6等分点(i=1,2,3,4,5),A.若B≌A,则P(AUB)=0.9B.若B≌A,则P(AB)=0.4A.x<y<ZB.y<x<ZC8.已知抛物线C:y²=8x的焦点为F,直线1交C于P,Q两点，点A的坐标为(-2,0),二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出A.函数f(x)在(-∞,0)上单调递减B.曲线y=f(x)在(0,0)处的切线是y=xB.直线PA与直线BC所成角的C.直线PA与平面PBC所成角D.三棱锥P-ABC外接球的三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知双曲线C:的一条渐近线方程是x-13.一个数阵有m行6列，第一行中的6个数互不相同，其余行都由这6个数以不同的顺序组成.如果要使任意两行的顺序都不相同，那么m的值最大可取.(用数字14.已知平行四边形ABCD,点E为BC边的一点，且点P是射线BD上一动15.(本小题满分13分)某银行储蓄卡的密码由6位数字组成，在该银行自助取款机上取款时，若密码输入正确，则可成功取款，若密码连续输错3次，则不能继续输密码，取款失败.甲利用储蓄卡在该银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字.求：(+)任意按最后1位数字，不超过2次就成功取款的概率；(2)如果记得密码的最后1位是偶数，记X表示取钱时输密码的次数，求随机变量X的分布列和数学期望.16.(本小题满分15分)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且17.(本小题满分15分)0是底边AB(1)证明：OC//平面A₁BD;(2)求二面角B-A₁D-C₁的正弦值.18.(本小题满分17分)在平面直角坐标系xOy中，圆F₁的方程为：(x(1)求点T的轨迹C的方程；(2)设不过原点O的直线l:y=kx+m(k≠0)与C交于P、Q两点，直线OP、0Q19.(本小题满分17分)(1)求f(x)的最大值M1;(2)对任意实数x,g(x)≤M₁恒成立，求实数a的最大值M₂;(3)若a=M₂,且f(x)=f(x₂)=g(x₃)=g(x4),其中x₁≠x2₂,x₃≠x₄·求证：

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(本小题满分13分)解：(1)设A₁=“第i次成功取款”(i=1,2),则事件“不超过2次就成功取款”可表示为..(2)根据题意，X可能的取值为1,2,3.记B=“最后1位密码为偶数”,所以X的分布列为X123P高三数学参考答案及评分标准第1页，共4页16.(本小题满分15分)解：(1)由已知得=4sinB(sinBcosA+cosBsinA)=17.(本小题满分15分)解：(1)因为AB=4,AC=BC=√5,所以CO⊥AB,CO=1.在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，有底面ABC⊥侧面AA₁B₁B,所以CO⊥平面AA₁B₁B.在平面AA₁B₁B内过0点作Ai(2,4,0),D(0,2,1). A₁D=(-2,-2,1),BD=(2,2,1).设又OC=(0,0,1).因为m·OC=1×0+(-1)×0+0×1=0,所以m⊥OC.又OCα平面A₁BD.所以OC//平面A₁BD.………7分(2)由(1)可知，A₁C=AC=(-2,0,1),A₁D=(-2,-2,1).由(1)可知，平面A₁BD的一个法向量是m=(1,-1,0).……10分所以，二面角B-A₁D-C₁的正弦值是18.(本小题满分17分)解：(1)由题设条件可得，|TM|=|TF₂|,所以点T的轨迹是以F₁、F₂为焦点，长轴长为4的椭圆.………2分又a=2,c=1,a²=b²+c²,所以b²=3.(2)①当k变化时，m²是定值，定值为.………5分所以，△OPQ面积的取值范围为(0,√3).………17分19.(本小题满分17分)(3)由(2)知a=0,所以.不妨设x<x₂,x₃<x4,因为