人教版数学 寒假作业14 二次根式的加减 （知识预习+强化训练） 同步练习 含答案

二次根式的加减（5个知识点+5种题型+强化训练）知识导图知识清单知识点1．同类二次根式同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．合并同类二次根式的方法：只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．【知识拓展】同类二次根式把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．知识点2．二次根式的加减法（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．（2）步骤：①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．③合并被开方数相同的二次根式．（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．知识点3．二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．知识点4．二次根式的化简求值二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．知识点5．二次根式的应用把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法．知识复习一．同类二次根式（共6小题）1．（2023春•前郭县期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值是2．（2023春•乌鲁木齐期末）若和最简二次根式是同类二次根式，则的值为A． B． C． D．3．（2023•衡阳县校级一模）若最简二次根式和能合并，则的值为A．0.5 B．1 C．2 D．2.54．（2023春•文登区期末）若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为．5．（2023春•蒙城县校级期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则A． B．1 C．3 D．6．（2023秋•绿园区期末）下列二次根式中，能与合并的是A． B． C． D．二．二次根式的加减法（共19小题）7．（2023春•岳池县校级期末）化简的结果是．8．（2023春•武胜县校级期末）．9．（2022秋•南关区校级期末）规定用符号表示一个实数的整数部分，例如：，，按此规定的值为．10．（2023春•吴忠校级期中）化简：．11．（2024•渝中区校级开学）计算题：（1）；（2）．12．（2024•垫江县开学）（1）计算：；（2）化简：．13．（2023春•长顺县期末）下列计算正确的是A． B． C． D．14．（2024•南岗区校级开学）计算结果是．15．（2023•吴桥县校级模拟）若，则．16．（2023春•梁子湖区期中）计算的结果是．17．（2023春•灌云县期末）三角形三边长分别为，这个三角形的周长是．18．（2023春•雄县期末）已知““，则的值为．19．（2023春•辛集市期末）已知，都是实数，为整数，若，则称与是关于的一组“平衡数”．（1）与是关于1的“平衡数”；（2）与是关于3的平衡数；（3）若，，判断与（是或否）为关于某数的一组“平衡数”．20．（2023春•番禺区校级期中）计算：（1）；（2）．21．（2023春•青秀区校级期中）计算：．22．（2023春•铜梁区校级期末）若和都是正整数且，和是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为①只存在一组和使得；②只存在两组和使得；③不存在和使得；④若只存在三组和使得为定值），则可以被49或64整除．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个23．（2023春•泸县校级期中）设则与最接近的整数是A．2009 B．2006 C．2007 D．200824．（2023春•涪城区期中）已知实数、、满足等式，则．25．（2023春•喀什地区期末）计算：（1）；（2）．三．二次根式的混合运算（共5小题）26．（2023秋•丹江口市期末）计算的结果为（）A． B． C． D．527．（2024•垫江县开学）下列运算正确的是（）A． B． C． D．28．（2022秋•鼓楼区期末）下列二次根式计算正确的是A． B． C． D．29．（2023春•江阳区校级期中）阅读下述材料：我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：因为，所以再例如：求的最大值．做法如下：解：由，可知，而当时，分母有最小值2，所以的最大值是2解决下述两题：（1）比较和的大小；（2）求的最大值和最小值．30．（2023春•灵丘县月考）阅读下面解题过程．例：化简．解：．请回答下列问题．（1）归纳：请直接写出下列各式的结果：①；②．（2）应用：化简．（3）拓展：．（用含的式子表示，为正整数）四．二次根式的化简求值（共5小题）31．（2023春•西湖区期中）已知，，求下列各式的值．（1）和；（2）．32．（2022秋•运城期末）阅读与思考请仔细阅读并完成相应任务：在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的：．，，，．任务：请你根据小明的分析过程，解决如下问题：若，求的值．33．（2023秋•长沙期末）已知，，求下列各式的值；（1）；（2）．34．（2023•蚌山区模拟）如果并且表示当时的值，即，表示当时的值，即，那么的值是A． B． C． D．35．（2023春•雄县期中）已知，，求的值．嘉琪同学的解题步骤如下：①②③④其中，首先出错的步骤是A．① B．② C．③ D．④五．二次根式的应用（共8小题）36．（2023春•东莞市期中）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为A．2 B． C．4 D．637．（2023春•西岗区期末）电流通过导线时会产生热量，电流（单位：、导线电阻（单位：、通电时间（单位：与产生的热量（单位：满足．已知导线的电阻为，时间导线产生的热量，电流的值是A．2 B．5 C．8 D．1038．（2023•绥化模拟）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为．如果在中，，，所对的边分别记为，，，若，，，则的面积为．39．（2023春•遵义期中）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空抛物下落的时间（单位：和高度（单位：近似满足公式（不考虑风速的影响，．（1）求从高空抛物到落地的时间．（结果保留根号）（2）已知高空抛物动能（单位：物体质量（单位：高度（单位：，某质量为的玩具在高空被抛出后经过后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由．（注：伤害无防护人体只需要的动能）40．（2023春•瑶海区期末）小明同学每次回家进入电梯间时，总能看见如图所示的提示“高空抛物害人害己”．为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间（单位：和高度（单位：近似满足公式（不考虑风速的影响，，（1）已知小明家住20层，每层的高度近似为，假如从小明家坠落一个物品，求该物品落地的时间；（结果保留根号）（2）小明查阅资料得知，伤害无防护人体只需要64焦的动能，高空抛物动能（焦物体质量（千克）高度（米，某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后，最少经过几秒落地就可能会伤害到楼下的行人？41．（2023春•陵城区期中）海伦—秦九韶公式古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为、、，记，那么三角形的面积为：，在中，，，所对的边分别是、、，若、、，则的面积为A． B．30 C． D．4542．（2023•邵阳县一模）古希腊几何学家海伦通过证明发现：如果一个三角形的三边长分别为，，．记，那么三角形的面积为，俗称海伦公式，若在中，，，，则用海伦公式求得的面积为．43．（2023春•遵义期中）若实数，，满足（1）求，，；（2）若满足上式的，为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的周长．强化训练一、单选题1．（2024·浙江金华·八年级义乌市绣湖中学教育集团校考期末）下列二次根式中，能与合并的是（

）A． B． C． D．2．（2024·全国·八年级竞赛）计算：（

）A． B．2 C． D．3．（2024下·八年级课时练习）下列计算中，正确的是（）A． B．C． D．4．（2024·内蒙古包头·八年级统考期末）下列运算正确的是（

）A． B． C． D．5．（2024下·全国·八年级专题练习）如图，某小区有块长为，宽为的长方形空地，现要在中间修建一个长为，宽为的花坛，则图中空白部分的面积为（

）

A． B． C． D．6．（2024下·全国·八年级专题练习）的结果应在（

）A．和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间7．（2024·全国·八年级竞赛）在下列根式中，与进行加法或减法运算不能合并为一项的是（

）．A． B． C． D．8．（2024下·八年级课时练习）化简得（）A． B． C．2 D．9．（2024下·全国·八年级专题练习）若三个实数，，满足，且，则有：，则的值（

）A． B． C．2023 D．10．（2024·全国·八年级竞赛）已知的整数部分是，小数部分是，则的值为（

）A．10 B．7 C．6 D．4二、填空题11．（2024下·八年级课时练习）若长方形的周长是，一边长是，则它的面积是．12．（2022下·湖北咸宁·八年级统考期中）根据平方差公式：，由此得到，由此我们可以得到下面的规律，请根据规律解答后面的问题：第1式

第2式第3式

第4式．…若，则．13．（2024下·全国·八年级专题练习）计算：．14．（2024·全国·八年级竞赛）若设的整数部分为，小数部分为，则15．（2023·四川成都·模拟预测）设的整数部分，小数部分为，则，．16．（2024上·湖南常德·八年级统考期末）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：．

17．（2024·全国·八年级竞赛）设是的小数部分，为的小数部分，则的值为．18．（2024·全国·八年级竞赛）已知的小数部分为a．则．三、解答题19．（2024下·全国·八年级随堂练习）合并下列各式中的同类二次根式：(1)；(2)；20．（2024下·全国·八年级专题练习）已知是最简二次根式，且与可以合并．(1)求x的值；(2)求与的乘积．21．（2024上·江西南昌·八年级统考期末）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板．(1)截出的两块正方形木料的边长分别为________，________；(2)求剩余木料的面积；(3)如果木工想从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出几块这样的木条，并说明理由．22．（2024下·全国·八年级专题练习）（1）若，求；（2）若，求的值．23．（2024下·八年级课时练习）阅读下面的问题：=；=；=；…(1)求与的值；(2)计算+……+．24．（2024下·全国·八年级专题练习）计算：(1)(2)25．（2024下·全国·八年级专题练习）计算(1)(2)；26．（2024下·全国·八年级专题练习）已知二次根式．(1)求使得该二次根式有意义的的取值范围；(2)已知是最简二次根式，且与可以合并，求的值；求与的乘积．

二次根式的加减（5个知识点+5种题型+强化训练）知识导图知识清单知识点1．同类二次根式同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．合并同类二次根式的方法：只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．【知识拓展】同类二次根式把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．知识点2．二次根式的加减法（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．（2）步骤：①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．③合并被开方数相同的二次根式．（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．知识点3．二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．知识点4．二次根式的化简求值二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．知识点5．二次根式的应用把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法．知识复习一．同类二次根式（共6小题）1．（2023春•前郭县期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值是2【分析】根据最简二次根式及同类二次根式的定义列方程求解．【解答】解：最简二次根式与是同类二次根式，，解得：．【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．2．（2023春•乌鲁木齐期末）若和最简二次根式是同类二次根式，则的值为A． B． C． D．【分析】先把化为最简二次根式，再根据同类二次根式得到，然后解方程即可．【解答】解：，，．故选：．【点评】本题考查了同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．3．（2023•衡阳县校级一模）若最简二次根式和能合并，则的值为A．0.5 B．1 C．2 D．2.5【分析】依据同类二次根式的被开方数相同求解即可．【解答】解：最简二次根式和能合并，．解得．故选：．【点评】本题主要考查的是同类二次根式的定义，依据同类二次根式的定义列出关于的方程是解题的关键．4．（2023春•文登区期末）若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为4．【分析】根据一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式解答即可．【解答】解：，根据题意得：，．故答案为：4．【点评】本题考查同类二次根式，最简二次根式，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．5．（2023春•蒙城县校级期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则A． B．1 C．3 D．【分析】由最简二次根式与是同类二次根式可得，计算即可．【解答】解：最简二次根式与是同类二次根式，，，故选：．【点评】本题主要考查了同类二次根式及最简二次根式，熟记定义并能熟练运用是解决本题的关键．6．（2023秋•绿园区期末）下列二次根式中，能与合并的是A． B． C． D．【分析】把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，由此即可判断．【解答】解：、，故不符合题意；、，故不符合题意；、，故不符合题意；、，故符合题意．故选：．【点评】本题考查同类二次根式，关键是掌握同类二次根式的定义．二．二次根式的加减法（共19小题）7．（2023春•岳池县校级期末）化简的结果是．【分析】先把各根式化简，然后进行合并同类项得到结果．【解答】解：．【点评】本题主要考查二次根式的化简，比较简单．8．（2023春•武胜县校级期末）．【分析】首先化简二次根式，进而合并求出答案．【解答】解：原式．【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．9．（2022秋•南关区校级期末）规定用符号表示一个实数的整数部分，例如：，，按此规定的值为4．【分析】直接估算的取值范围，进而结合符号表示一个实数的整数部分，进而得出答案．【解答】解：，．故答案为：4．【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确估算无理数的大小是解题关键．10．（2023春•吴忠校级期中）化简：．【分析】根据二次根式的性质解答即可．【解答】解：，，原式．故答案为：．【点评】本题考查的是二次根式的性质，熟知二次根式具有非负性是解题的关键．11．（2024•渝中区校级开学）计算题：（1）；（2）．【分析】（1）根据分式的加减运算法则计算即可；（2）根据二次根式的混合运算法则计算即可．【解答】解：（1）；（2）．【点评】本题考查了分式的加减法，二次根式的加减法，熟练掌握这两个运算法则是解题的关键．12．（2024•垫江县开学）（1）计算：；（2）化简：．【分析】（1）根据二次根式的加减运算法则计算即可；（2）根据分式的混合运算法则计算即可．【解答】解：（1）；（2）．【点评】本题考查了二次根式的加减法，分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．13．（2023春•长顺县期末）下列计算正确的是A． B． C． D．【分析】利用二次根式的加减法的法则对各项进行运算即可．【解答】解：、，故不符合题意；、，故不符合题意；、，故符合题意；、与不属于同类二次根式，不能运算，故不符合题意；故选：．【点评】本题主要考查二次根式的加减法，解答的关键是对相应的运算的法则的掌握．14．（2024•南岗区校级开学）计算结果是．【分析】先把二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．【解答】解：原式＝＝＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了二次根式的加减运算，解题关键是熟练掌握把二次根式化成最简二次根式的方法．15．（2023•吴桥县校级模拟）若，则12．【分析】直接根据根式加减运算法则求解即可得到答案．【解答】解：由题意可得，，，故答案为：12．【点评】本题考查根式的加减运算，及根式相等的条件，解题的关键是熟练掌握合并同类二次根式及根式相等即被开方数相同．16．（2023春•梁子湖区期中）计算的结果是．【分析】先去括号和化简二次根式，再计算加减即可．【解答】解：原式．故答案为：．【点评】此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17．（2023春•灌云县期末）三角形三边长分别为，这个三角形的周长是．【分析】首先化简各二次根式进而求出三角形的周长．【解答】解：，，，．故答案为：．【点评】此题主要考查了二次根式加减运算，正确化简二次根式是解题关键．18．（2023春•雄县期末）已知““，则的值为2．【分析】已知等式左边化简后，根据合并的结果确定出的值即可．【解答】解：已知等式整理得：，，解得：．故答案为：2．【点评】此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．（2023春•辛集市期末）已知，都是实数，为整数，若，则称与是关于的一组“平衡数”．（1）与是关于1的“平衡数”；（2）与是关于3的平衡数；（3）若，，判断与（是或否）为关于某数的一组“平衡数”．【分析】（1）根据“平衡数”的定义列方程求解；（2）根据“平衡数”的定义列方程求解；（3）根据二次根式的运算法则计算出，再根据“平衡数”的定义判断．【解答】解：（1）设与是关于1的“平衡数”，则，解得．故答案为：；（2）设与是关于3的“平衡数”，则，解得．故答案为：；（3）与是关于19的一组“平衡数”，理由如下：，，，，与是关于19的一组“平衡数”．故答案为：是．【点评】本题考查的是二次根式的加减法，新定义的实数运算，解题的关键是理解“平衡数”的定义．20．（2023春•番禺区校级期中）计算：（1）；（2）．【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．【解答】解：（1）；（2）．【点评】本题考查了二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式是解题的关键．21．（2023春•青秀区校级期中）计算：．【分析】先利用二次根式的性质化简各二次根式，再合并同类二次根式．【解答】解：原式．【点评】本题主要考查了二次根式的加减，掌握二次根式的性质是解决本题的关键．22．（2023春•铜梁区校级期末）若和都是正整数且，和是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为①只存在一组和使得；②只存在两组和使得；③不存在和使得；④若只存在三组和使得为定值），则可以被49或64整除．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】直接利用同类二次根式的定义得出，是同类二次根式，进而得出答案．【解答】解：①和都是正整数且，，可以合并的二次根式，，，当时，，故该选项正确；②，当，则，当，则．故该选项正确；③，当时，，，所以不存在，故该选项正确；④只存在三组和使得，即：，，，或，，，其中与、为同类二次根式，且为最简根式，即可以被49或64整除，故该选项正确；故选：．【点评】本题考查的是同类二次根式，熟知同类二次根式的定义及合并方法是解答此题的关键．23．（2023春•泸县校级期中）设则与最接近的整数是A．2009 B．2006 C．2007 D．2008【分析】通过上式找出规律，得出通项公式再进行化简，得结果为，将自然数代入求出结果，再判断与最接近的整数．【解答】解：为任意的正整数，，．因此与最接近的整数是2009．故选：．【点评】用裂项法将分数化成，寻找抵消规律求和．24．（2023春•涪城区期中）已知实数、、满足等式，则5．【分析】根据被开方数大于等于0列式求出的值，再根据非负数的性质列出方程组，然后求解即可．【解答】解：由题意得，且，解得且，所以，所以，等式可化为，由非负数的性质得，，解得，故的值为5．故答案为：5．【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数，二元一次方程组的解法，难点在于求出并整理等式．25．（2023春•喀什地区期末）计算：（1）；（2）．【分析】（1）先把各个二次根式化简，然后合并同类二次根式；（2）先把2001和1999写成和的形式，然后利用平方差公式进行计算即可．【解答】解：（1）原式；（2）原式．【点评】本题主要考查了实数的计算，解题关键是熟练掌握化简二次根式和平方差公式．三．二次根式的混合运算（共5小题）26．（2023秋•丹江口市期末）计算的结果为（）A． B． C． D．5【分析】先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答．【解答】解：＝×4﹣×3+4×＝3﹣2+3＝+3，故选：B．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．27．（2024•垫江县开学）下列运算正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据二次根式混合运算的法则对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；B、2﹣＝，原计算错误，不符合题意；C、×2＝4，原计算错误，不符合题意；D、÷＝＝2，正确，符合题意．故选：D．【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．28．（2022秋•鼓楼区期末）下列二次根式计算正确的是A． B． C． D．【分析】根据二次根式的运算法则计算各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．【解答】解：，故选项错误，不符合题意；，故选项正确，符合题意；，故选项错误，不符合题意；不能合并，故选项错误，不符合题意；故选：．【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．29．（2023春•江阳区校级期中）阅读下述材料：我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：因为，所以再例如：求的最大值．做法如下：解：由，可知，而当时，分母有最小值2，所以的最大值是2解决下述两题：（1）比较和的大小；（2）求的最大值和最小值．【分析】（1）利用分子有理化得到，，然后比较和的大小即可得到与的大小；（2）利用二次根式有意义的条件得到，而，利用当时，有最大值1，有最大值1得到所以的最大值；利用当时，有最小值，有最下值0得到的最小值．【解答】解：（1），，而，，，；（2）由，，得，，当时，有最小值，则有最大值1，此时有最大值1，所以的最大值为2；当时，有最大值，则有最小值，此时有最下值0，所以的最小值为．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．30．（2023春•灵丘县月考）阅读下面解题过程．例：化简．解：．请回答下列问题．（1）归纳：请直接写出下列各式的结果：①；②．（2）应用：化简．（3）拓展：．（用含的式子表示，为正整数）【分析】（1）利用分母有理化，进行计算即可解答；（2）先进行分母有理化，然后再进行计算即可解答；（3）先进行分母有理化，然后再进行计算即可解答．【解答】解：（1）①；②；故答案为：①；②；（2）；（3），故答案为：．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键．四．二次根式的化简求值（共5小题）31．（2023春•西湖区期中）已知，，求下列各式的值．（1）和；（2）．【分析】（1）直接进行二次根式的加法和乘法运算即可；（2）先利用完全平方公式将进行变形，再代入数值计算即可．【解答】解：（1）；；（2）．【点评】本题考查了二次根式的加法和乘法运算，完全平方公式的变形，掌握二次根式的加法和乘法运算法则，完全平方公式的变形是解题的关键．32．（2022秋•运城期末）阅读与思考请仔细阅读并完成相应任务：在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的：．，，，．任务：请你根据小明的分析过程，解决如下问题：若，求的值．【分析】先利用分母有理化化简，再利用完全平方公式求出的值，最后整体代入．【解答】解：，，，即，，，．即的值为．【点评】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的运算法则是关键．33．（2023秋•长沙期末）已知，，求下列各式的值；（1）；（2）．【分析】（1）先计算出和的值，再把分解因式，然后利用整体代入的方法计算；（2）先计算出，再通分，则根据完全平方公式得到原式，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：（1），，，，；（2），，，原式．【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．利用整体代入的方法可简化计算．34．（2023•蚌山区模拟）如果并且表示当时的值，即，表示当时的值，即，那么的值是A． B． C． D．【分析】认真观察题中式子的特点，找出其中的规律，代入计算即可．【解答】解：代入计算可得，，，，，所以，原式．故选：．【点评】解答此类题目的关键是认真观察题中式子的特点，找出其中的规律．35．（2023春•雄县期中）已知，，求的值．嘉琪同学的解题步骤如下：①②③④其中，首先出错的步骤是A．① B．② C．③ D．④【分析】先用平方差公式分解，再代入数据求解即可．【解答】解：．首先出错的步骤是②．故选：．【点评】本题考查了求代数式的值，涉及平方差公式，二次根式的运算，掌握平方差公式的结构特征是解题的关键．五．二次根式的应用（共8小题）36．（2023春•东莞市期中）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为A．2 B． C．4 D．6【分析】根据图形可以求得图中阴影部分的面积，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，大正方形的边长为，小正方形的边长为，图中阴影部分的面积为：，故选：．【点评】本题考查算术平方根，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答．37．（2023春•西岗区期末）电流通过导线时会产生热量，电流（单位：、导线电阻（单位：、通电时间（单位：与产生的热量（单位：满足．已知导线的电阻为，时间导线产生的热量，电流的值是A．2 B．5 C．8 D．10【分析】将已知量代入物理公式，即可求得电流的值．【解答】解：通电时间（单位：与产生的热量（单位：满足，所以电流．故电流的值为5，故选：．【点评】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是根据已知量代入公式，比较简单．38．（2023•绥化模拟）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为．如果在中，，，所对的边分别记为，，，若，，，则的面积为．【分析】根据，，的值，求出的值，代入公式计算即可求出．【解答】解：，，，，则．故答案为：．【点评】此题考查了二次根式的应用，以及数学常识，熟练掌握运算法则是解本题的关键．39．（2023春•遵义期中）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空抛物下落的时间（单位：和高度（单位：近似满足公式（不考虑风速的影响，．（1）求从高空抛物到落地的时间．（结果保留根号）（2）已知高空抛物动能（单位：物体质量（单位：高度（单位：，某质量为的玩具在高空被抛出后经过后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由．（注：伤害无防护人体只需要的动能）【分析】（1）将代入计算即可；（2）将代入计算求出，再将及物体质量的值代入高空抛物动能计算即可．【解答】解：（1）当时，，（2）这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，理由如下：当时，，解得，高空抛物动能，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人．【点评】此题考查了二次根式的应用，二次根式的化简，二次根式的混合计算，正确理解题意代入求值是解题的关键．40．（2023春•瑶海区期末）小明同学每次回家进入电梯间时，总能看见如图所示的提示“高空抛物害人害己”．为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间（单位：和高度（单位：近似满足公式（不考虑风速的影响，，（1）已知小明家住20层，每层的高度近似为，假如从小明家坠落一个物品，求该物品落地的时间；（结果保留根号）（2）小明查阅资料得知，伤害无防护人体只需要64焦的动能，高空抛物动能（焦物体质量（千克）高度（米，某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后，最少经过几秒落地就可能会伤害到楼下的行人？【分析】（1）根据题意可先求得，根据代入计算即可求解；（2）由题意可知“高度（米”，以此求出该玩具最低的下落高度，再由代入求解即可．【解答】解：（1）小明家住20层，每层的高度近似为3米，（米，（秒，该物品落地的时间为秒；（2）该玩具最低的下落高度为（米，（秒．最少经过3.5776秒落地就可能会伤害到楼下的行人．【点评】本题主要考查二次根式的应用，读懂题意，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．41．（2023春•陵城区期中）海伦—秦九韶公式古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为、、，记，那么三角形的面积为：，在中，，，所对的边分别是、、，若、、，则的面积为A． B．30 C． D．45【分析】根据公式算出的值，代入公式即可求出解【解答】解：，，，故选：．【点评】本题主要考查代入求值能力，考查了二次根式化简的知识．42．（2023•邵阳县一模）古希腊几何学家海伦通过证明发现：如果一个三角形的三边长分别为，，．记，那么三角形的面积为，俗称海伦公式，若在中，，，，则用海伦公式求得的面积为．【分析】先根据的三边长求出的值，然后再代入面积公式，进行计算即可得到答案．【解答】解：由题意可得：，，，，，故答案为：．【点评】本题主要考查了三角形面积的计算，读懂题意，弄清海伦公式的计算方法是解题的关键．43．（2023春•遵义期中）若实数，，满足（1）求，，；（2）若满足上式的，为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的周长．【分析】（1）首先由得出，再进一步得出、的数值即可；（2）分是腰长与是底边和是腰长与是底边两种情况讨论求解．【解答】解：（1）由题意得，，则，，0则，，所以，．（2）当是腰长与是底边，则等腰三角形的周长为；当是腰长与是底边，则等腰三角形的周长为．【点评】此题考查二次根式的意义与加减运算，以及等腰三角形的性质．强化训练一、单选题1．（2024·浙江金华·八年级义乌市绣湖中学教育集团校考期末）下列二次根式中，能与合并的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，由此即可判断．【详解】解：A、＝2，故A不符合题意；B、＝2，故B不符合题意；C、＝2，故C不符合题意；D、＝2，故D符合题意．故选：D．【点睛】本题考查的是同类二次根式的含义，熟记同类二次根式的定义是解本题的关键．2．（2024·全国·八年级竞赛）计算：（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】本题考查了二次根式的加减，熟练掌握二次根式的加减运算法则以及完全平方公式是解答的关键，【详解】解：故选D3．（2024下·八年级课时练习）下列计算中，正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了二次根式的加、减、乘运算及化简；掌握“（，）”和合并同类二次根式法是解题的关键.【详解】解：A.，计算错误，不符合题意；B.，计算正确，符合题意；C.，计算错误，不符合题意；D.，不能进行运算，计算错误，不符合题意；故选：B．4．（2024·内蒙古包头·八年级统考期末）下列运算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二次根式的运算法则运算判断．【详解】解：A、，不能合并，原计算错误，本选项不合题意；B、，原计算错误，本选项不合题意；C、，计算正确，本选项符合题意；D、，注意运算顺序，原计算错误，本选项不合题意；故选：C【点睛】本题考查二次根式的运算，乘法公式；注意掌握运算法则是解题的关键．5．（2024下·全国·八年级专题练习）如图，某小区有块长为，宽为的长方形空地，现要在中间修建一个长为，宽为的花坛，则图中空白部分的面积为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】分别求出长方形空地的面积和花坛的面积，再相减即可．【详解】解：根据题意得，长方形空地的面积为，花坛的面积为，∴图中空白部分的面积为，故选：A．【点睛】本题主要考查了长方形的面积，属于基础题，要熟练掌握．6．（2024下·全国·八年级专题练习）的结果应在（

）A．和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间【答案】B【分析】根据二次根式的混合运算计算，并估算结果的值即可．【详解】解：原式=∵∴故选B．【点睛】本题主要考查二次根式的运算以及估算，熟练掌握二次根式的运算并能够估算根式的取值范围是解决本题的关键．7．（2024·全国·八年级竞赛）在下列根式中，与进行加法或减法运算不能合并为一项的是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查化最简二次根式，同类二次根式的判断，二次根式的加减法．将各二次根式化为最简二次根式是解题关键．将各选项化为最简二次根式，再判断其与是否为同类二次根式即可解答．【详解】解：A．，与是同类二次根式，能进行加法或减法运算合并为一项，故该选项不符合题意；B．，与是同类二次根式，能进行加法或减法运算合并为一项，故该选项不符合题意；C.，与不是同类二次根式，不能进行加法或减法运算合并为一项，故该选项符合题意；D．，与是同类二次根式，能进行加法或减法运算合并为一项，故该选项不符合题意．故选C．8．（2024下·八年级课时练习）化简得（）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】此题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟知二次根式的运算法则．根据二次根式的运算即可化简求解．【详解】解：原式．故选：A．9．（2024下·全国·八年级专题练习）若三个实数，，满足，且，则有：，则的值（

）A． B． C．2023 D．【答案】B【分析】结合所给的条件，把所求的式子进行化简，再求值即可．【详解】解：三个实数，，满足，且，．故选：B．【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，数字的变化规律，分式的加减法，解答的关键是理解清楚所给的条件．10．（2024·全国·八年级竞赛）已知的整数部分是，小数部分是，则的值为（

）A．10 B．7 C．6 D．4【答案】A【分析】本题考查了无理数的估算，分母有理化，代数式求值，先根据无理数的估算求出m，n的值，再代入进行求解即可．【详解】解：，，，，，，，故选：A．二、填空题11．（2024下·八年级课时练习）若长方形的周长是，一边长是，则它的面积是．【答案】/【分析】先由已知条件求出另一边的长，再利用面积公式可得．【详解】解：∵矩形的周长是，一边长是，∴另一边长为：，∴矩形的面积为：，故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的应用，利用周长求出矩形的边长是解题的关键．12．（2022下·湖北咸宁·八年级统考期中）根据平方差公式：，由此得到，由此我们可以得到下面的规律，请根据规律解答后面的问题：第1式

第2式第3式

第4式．…若，则．【答案】399【分析】本题考查了二次根式的分母有理化．根据分母有理化原式可变形为，从而得到，即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴．故答案为：39913．（2024下·全国·八年级专题练习）计算：．【答案】【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及平方差公式的应用，掌握二次根式混合运算的运算法则和平方差公式是解答本题的关键．先将乘方展开，然后用平方差公式计算即可．【详解】解：===．故答案为：．14．（2024·全国·八年级竞赛）若设的整数部分为，小数部分为，则【答案】/【分析】本题考查了复杂二次根式的化简，以及二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．先把化简后求出a和b的值，然后代入所给代数式计算即可．【详解】，所以，代入得．15．（2023·四川成都·模拟预测）设的整数部分，小数部分为，则，．【答案】【分析】本题考查了无理数的整数部分和小数部分，以及估算无理数大小，先把式子分母有理化，再估算出所在范围，再根据化简后的式子进行变形，即可解题．【详解】解：，，，，，的整数部分，小数部分为，，．故答案为：2，．16．（2024上·湖南常德·八年级统考期末）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：．

【答案】0【分析】根据数a、b在数轴上的位置确定，，的符号，再根据二次根式的性质进行化简，再合并同类项．【详解】解：由数轴可知，，，∴，，，∴原式＝故答案为：0【点睛】本题考查的是利用数轴比较实数的大小，二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键.17．（2024·全国·八年级竞赛）设是的小数部分，为的小数部分，则的值为．【答案】【分析】本题考查了无理数的估算，求代数式的值及二次根式的运算；令t＝，则可求得t的值，进而求得a；同理，令p＝，则可求得p的值，进而求得b，最后即可求得代数