人教版数学七年级上册 寒假作业02 有理数的运算（知识梳理+35个考点讲练） 同步练习 含答案

有理数的运算（知识梳理+35个高频易错考点讲练共70题）TOC\o"1-2"\h\u知识梳理技巧点拨 3知识点梳理01：有理数的加法 3知识点梳理02：有理数的减法 3知识点梳理03：有理数的加减混合运算 3知识点梳理04：有理数的乘法法则 4知识点梳理05：倒数的概念 4知识点梳理06：有理数的乘法运算律 4知识点梳理07：多个有理数相乘 4知识点梳理09：有理数除法法则 5知识点梳理09：有理数的乘除混合运算 5知识点梳理10：有理数的加减乘除混合运算 5知识点梳理11：有理数的乘方 6知识点梳理12：非负数的性质：偶次方 6知识点梳理13：有理数的混合运算 6知识点梳理14：近似数和有效数字 6知识点梳理15：科学记数法—表示较大的数 7高频易错考点讲练 7考点1：有理数加法运算 7考点2：有理数加法中的符号问题 8考点3：有理数加法在生活中的应用 8考点4：有理数加法运算律 10考点5：有理数的减法运算 11考点6：有理数减法的实际应用 12考点7：有理数的加减混合运算 13考点8：有理数加减中的简便运算 13考点9：有理数加减混合运算的应用 14考点10：省略加法和括号的形式 15考点11：两个有理数的乘法运算 16考点12：多个有理数的乘法运算 17考点13：有理数乘法的实际应用 18考点14：有理数乘法运算律 19考点15：有理数的除法运算 20考点16：有理数除法的应用 21考点17：有理数乘除混合运算 22考点18：有理数乘除中的简便运算 22考点19：有理数四则混合运算 24考点20：有理数四则混合运算的实际应用 26考点21：根据点在数轴的位置判断式子的正负 27考点22：数轴上的翻折 28考点23：有理数幂的概念理解 28考点24：有理数的乘方运算 29考点25：有理数乘方逆运算 29考点26：乘方运算的符号规律 30考点27：乘方的应用 31考点28：程序流程图与有理数计算 32考点29：算"24”点 33考点30：含乘方的有理数混合运算 33考点31：用科学记数法表示绝对值大于1的数 34考点32：将用科学记数法表示的数变回原数 35考点33：求一个数的近似数 35考点34：求近似数的精确度 35考点35：近似数推断取值范围 35知识点梳理01：有理数的加法（1）有理数加法法则：①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．③一个数同0相加，仍得这个数．（在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）（2）相关运算律交换律：a+b＝b+a；结合律（a+b）+c＝a+（b+c）．知识点梳理02：有理数的减法（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．即：a﹣b＝a+（﹣b）（2）方法指引：①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）；二是减数的性质符号（减数变相反数）；【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律．减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．知识点梳理03：有理数的加减混合运算（1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法．（2）方法指引：①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式．②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化．知识点梳理04：有理数的乘法法则有理数的乘法（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．（2）任何数同零相乘，都得0．知识点梳理05：倒数的概念（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数．一般地，a•1a=1（a≠0），就说a（a≠0）的倒数是（2）方法指引：①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0没有倒数，这与相反数不同．【规律方法】求相反数、倒数的方法求一个数的相反数求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可求一个数的倒数求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置注意：0没有倒数．知识点梳理06：有理数的乘法运算律乘法结合律：(a×b)×c＝a×(b×c)；乘法分配律：(a＋b)×c＝a×c＋b×c.知识点梳理07：多个有理数相乘多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．方法指引：①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘．②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单．知识点梳理09：有理数除法法则1.有理数除法法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.用字母表示：a÷b=a·1b(b2.有理数除法法则二两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商.0除以任何一个不等于0的数，都得0.方法指引：（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．（2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．知识点梳理09：有理数的乘除混合运算有理数乘除混合运算通常是先将除法转化成乘法,然后按照乘法法则,确定积的符号,最后求出结果.注意：除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法的运算律简化运算知识点梳理10：有理数的加减乘除混合运算有理数的加减乘除混合运算顺序在运算时要注意按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如果有括号，应先算括号里面的.在同级运算中，要按从左到右的顺序来计算，并合理运用运算律，简化运算.知识点梳理11：有理数的乘方（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．（3）方法指引：①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．知识点梳理12：非负数的性质：偶次方偶次方具有非负性．任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．知识点梳理13：有理数的混合运算（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．知识点梳理14：近似数和有效数字（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．（3）规律方法总结：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．知识点梳理15：科学记数法—表示较大的数（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】（2）规律方法总结：①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．考点1：有理数加法运算1．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）数轴是规定了原点、正方向、单位长度的直线，我们可以根据需要，“规定”原点的位置；也可以根据需要，“规定”单位长度的大小；还可以根据需要，“规定”正方向．在一条不完整的数轴上，从左到右有A，B，C，其中AB=10，BC=5，如图所示，设A，B，C所对应数的和是p．(1)若以点C为原点，则A、B对应的数分别为，，p=．(2)若原点为O，且CO=29，求p．(3)若以AB中点为原点，单位长度为1n建立数轴，则p=．（用含n2．（24-25七年级上·河南南阳·期中）定义☆运算，观察下列运算：+3☆+15=+18−2☆+14=−160☆−15=+15，(1)请你认真思考上述运算，归纳☆运算的法则：两数进行☆运算时，同号______，异号______，并把绝对值________．特别地：0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，________．(2)计算：+11☆(3)试通过计算说明+11☆0☆−12与+11考点2：有理数加法中的符号问题3．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）下列叙述正确的是（

）A．若a>0，b<0且a>bB．若a>bC．若a<0，b<0，则a+bD．若a>1>b，则a4．（2024七年级·全国·竞赛）有一列数：−2011,−2004,−1997,−1990,⋯，它们按一定的规律排列，那么这列数的前（

）个数的和最小．A．288 B．289 C．290 D．292考点3：有理数加法在生活中的应用5．（24-25七年级上·河北唐山·期末）我国自主研发的巡逻机器人备受关注，为安保工作提供了强有力的支持．某天小明发现一个巡逻机器人正准备在一条南北方向的公路上执行治安巡逻．（规定初始位置为0，向北走为正，向南走为负）它从初始位置到结束巡逻所走的路程（单位：km）如下：次数第一次第二次第三次第四次第五次第六次路程（km）+2−1.5−2+0.5−4.5+1.5(1)直接写出巡逻机器人在这次巡逻中离出发点最远的距离________km；(2)通过计算，描述巡逻机器人结束巡逻时的最后位置；(3)已知这次巡逻机器人的平均速度为3km/h6．（24-25七年级上·河南漯河·阶段练习）同学小勤和其他组员一起，利用周末去观察记录经过西大街的某路公交车，他们主要观察统计相邻的A.西门里，B.桥仔口，C.广济街，D.钟楼四个车站，发现车到A站前车上有16人，沿路上下的乘客人数如下表所示：ABCD上车的人数151063下车的人数56812(1)该公交车离开钟楼站时，车上还有多少乘客？(2)若每人乘坐这辆公交车需要刷卡1元（假设全部都是刷卡，没有老年卡与学生卡），问该公交车在这四个站能收多少钱？考点4：有理数加法运算律7．（24-25七年级上·北京延庆·期中）探究并解决问题：定义一种新的运算，叫做“⊕”运算．按照“⊕”运算的运算法则进行计算：①(+2)⊕(+3)=+5；

②(−2)⊕(+3)=−5；③(−2)⊕(−3)=+5；

④(+2)⊕(−3)=−5；⑤0⊕(+5)=5；

⑥(+4)⊕0=4；⑦(−5)⊕0=5；

⑧0⊕(−3)=3．(1)观察上面的算式，请类比有理数的运算法则的学习，归纳“⊕”运算的运算法则：两数进行“⊕”运算时，______；一个数与0进行“⊕”运算时，______．(2)计算：(−3)⊕[2⊕(−4)]；(3)有理数加法有结合律，结合律在有理数的“⊕”运算中还适用吗？请你判断并举例验证（注：如果不适用，举出一个反例即可）．8．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）数学刘老师在多媒体上列出了如下的材料：计等：−55解：原式==[(−5)+(−9)+(−3)+17]+=0+=−11上述这种方法叫做拆项法；请仿照上面的方法计算：(1)+138+−31考点5：有理数的减法运算9．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读材料：把几个数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：1,2,当有理数x是集合的一个元素时，10−x也必是这个集合的元素，这样的集合我们又称为黄金集合．例如0,10就是一个黄金集合．回答问题：(1)集合1___________黄金集合，集合2,10___________黄金集合；（两空均填“是”或“不是”）(2)请你再写出一个含有两个元素的黄金集合，一个含有四个元素的黄金集合（不能与上述集合重复）；(3)写出所有黄金集合中，元素个数最少的集合．10．（24-25七年级上·河南新乡·期中）下面是四张写有不同数字的卡片．(1)这四张卡片上的数字中最大的数是____________，最小的数是____________；(2)从这四张卡片中随机挑出两张，求数字之和的最小值：(3)从这四张卡片中随机挑出两张，求数字之差的最小值．考点6：有理数减法的实际应用11．（24-25七年级上·河南周口·期中）距离能够产生美，唐代著名文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无．”当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道：“世界上最遥远的距离不是瞬间便无处寻觅，而是尚未相遇便注定无法相聚”，距离是数学、天文学、物理学中的热门话题．唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．绝对值的定义：一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．例如：3是指数轴上表示3的点到原点的距离，−6是指数轴上表示−6的点到原点的距离．(1)概念延伸：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是2−5=②数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是−2−③数轴上表示1和－3的两点之间的距离是1−−3(2)归纳总结：点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为AB，则AB=(3)拓展应用：①数轴上表示数x和1的两点A和B之间的距离为AB=x−1，则x−1的最小值是______，此时②数轴上表示数x和－1的两点A和B之间的距离为AB=______，如果AB=2，那么③式子x+1+12．（24-25七年级上·山西晋中·期中）跳水运动员每天会进行严格的训练，如图，l为泳池的水面，跳台起跳点A距离水面10米．一名运动员（看作一个点）从跳台起跳点A处起跳，以水面为基准，在水面上方记为正，水面下方记为负．

(1)第1次起跳后落入水下3.5米处，记为B点，点B可表示为______米；(2)第2次跳水落入水中的位置点C在点B的上方1.2米处，则点C可表示为______米；(3)第3次跳水落入水中的位置点D与起跳点A的高度差是11.3米，求点D比点B高多少米？考点7：有理数的加减混合运算13．（24-25七年级上·内蒙古包头·阶段练习）计算：(1)−7+(+20)−(−5)−(+3)；(2)(−3.2)+12.5+(−16.8)−(−2.5)；(3)+1(4)7.5−|−2114．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示的数轴中，点A表示1，点B表示−2，试回答下列问题：（1）A、B两点之间的距离是；（2）观察数轴，与点A的距离为5个单位长度的点表示的数是；（3）若将数轴折叠，使点A与表示−3的点重合，则点B与表示数的点重合；（4）若数轴上M，N两点之间的距离为2026（点M在点N的左侧），且M，N两点经过（3）中折叠后互相重合，则M、N两点表示的数分别是和．考点8：有理数加减中的简便运算15．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）例−55解：原式===0+−上面这种解题的方法叫做拆项法，按此方法计算：−2019516．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：(1)−83+26+−17−26；考点9：有理数加减混合运算的应用17．（24-25七年级上·广东广州·期中）旺哥在上周五买进某公司股票1000股，每股60元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（涨跌是与前一个交易日来比较；正数表示上涨，负数表示下跌）．（单位：元）星期一二三四五每股涨跌+4+2.5−2+1.5−4(1)本周内最高价是每股多少元？最低价是每股多少元？(2)已知张先生买进股票时付了该股票总价值的千分之1.5的手续费，卖出时需付的成交手续费和交易税共千分之2.5，如果旺哥在星期五收盘时将全部股票卖出，他的收益情况如何？18．（24-25七年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：m）：+10，−2，+5，+13，−7，−9，+4，−14．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上）(1)守门员最后是否回到球门线上？(2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？(3)如果守门员离开球门线的距离超过10m（不包括10m），则对方球员挑射极可能造成破门，问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由．考点10：省略加法和括号的形式19．（22-23七年级上·河南南阳·期中）（1）把下列各式写成省略加号的和的形式，并写出它们的两种读法：+3.7（2）【我计算】请计算：+2【我排序】明明在做完上题之后，对“计算+2+①确定和的绝对值：3−2=1；②确定和的符号：计算出加数+2和-3的绝对值，分别是2和3，通过比较它们的绝对值发现，加数-3的绝对值较大，写出和的符号为“-”；③写出计算结果；④决定应用有理数加法法则中“异号的两个数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”；⑤判断出是两个有理数相加的问题；⑥观察两个加数的符号，发现是异号两数相加．明明同学不小心把顺序写乱了，请你仔细阅读他的思考过程，写出正确的顺序为（只写出对应的顺序号即可）：___________【我会算】请计算：−0.25÷20．（17-18七年级上·全国·课后作业）把下列各式写成省略加号的形式．（1）－7－（－15）＋（－3）－（－4）＝；（2）13考点11：两个有理数的乘法运算21．（24-25七年级上·浙江台州·期末）一般用x表示不大于x的最大整数，如1.8=1．现规定x=x−x，如2=2−2=2−2=0；−3.1=−3.1−−3.1=−3.1−−4=0.9．可借助数轴上两点之间的距离理解x的意义，如图，表示2与2的点A，B(1)分别求1.8与−1.8的值；(2)当a>0时，①a+②已知−a=0.4，求a+1(3)当a>0时，4a=a，请直接写出22．（24-25七年级上·四川遂宁·阶段练习）有理数a，b在数轴上的位置如下图所示，且a<b，则下列各式正确的个数是（①a+b<0，②ab>0；③−a−b>0；④1b>−1A．2个 B．3个 C．4个 D．5个考点12：多个有理数的乘法运算23．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．【提出问题】三个有理数a，b，c满足abc>0，求aa【解决问题】解：由题意得，a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．①若a，b，c都是正数，即a>0，b>0，c>0时，则aa②若a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a>0，b<0，c<0，aa综上所述，aa+b【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：(1)三个有理数a，b，c满足abc<0，求aa(2)若a，b，c为三个不为0的有理数，且aa+b24．（24-25六年级上·山东东营·期中）【观察思考】观察下列等式11×2将以上三个等式两边分别相加得：11×2【探索规律】（1）猜想并写出：1n（2）直接写出下列各式的计算结果：11×2【迁移运用】21×3考点13：有理数乘法的实际应用25．（24-25七年级上·北京·期中）如图为北京市地铁1号线地图的一部分，某天，雨佳参加志愿者服务活动，从西单站出发，到从A站出站时，本次志愿者服务活动结束，如果规定向西为正，向东为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下(单位：站)：+7,−3，(1)请通过计算说明A站是哪一站？(2)若相邻两站之间的平均距离为1.2千米，求这次雨佳志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约是多少千米？26．（24-25七年级上·贵州铜仁·期中）随着短视频软件的普及，许多人利用各种直播平台做电商，小李也将自己家种植的香柚在某直播平台上进行销售，经过一段时间的销售，小李发现每天能销售100kg左右的香柚．下表为小李10月份第一周销售香柚的情况（以100星期一二三四五六日与标准销售量的差值/−3+4+2−3−6+13+8根据以上内容回答下列问题：(1)这周销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售________kg香柚；(2)求小李这周销售香柚的总销售量；(3)若香柚的售价为14元/kg考点14：有理数乘法运算律27．（24-25七年级上·山东临沂·期中）阅读下面题目的运算过程，并解答下列问题．计算：17×25−8×25+5×(−2)−13×25解：原式=17×25−8×25−13×25+5×(−2)①=(17−8−13)×25+5×(−2)②=(−4)×25+5×(−2)③=−100+10④=−90⑤(1)第①步运用的运算律是________；第②步运用的运算律________；(2)上述运算过程，从第________步出现错误，本题运算的正确结果是________；(3)结合上述运算过程给你的启发，计算7828．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：(1)18−13+−3×考点15：有理数的除法运算29．（24-25七年级上·广东东莞·开学考试）计算下列各题，能简算的要简算，写出主要计算过程．(1)3.65÷0.125÷8(2)3.6×(3)25×99+25(4)4.3+5.7÷0.367+630．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列说法中，正确的个数是（

）①若1a=−1②若a>b，则有③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是−2、6、x，若相邻两点的距离相等，则x=2；④若a+b+c=0，abc>0，则b+ca+a+cA．1个 B．2个 C．3个 D．4个考点16：有理数除法的应用31．（24-25七年级上·浙江·期中）在工厂和生产场所中，安防巡检机器人可以定期巡视设备和生产线，监测设备运行状态、温度和振动等参数，及时发现异常并预防事故发生．某天晚上8：00开始，一台巡检机器人在一条生产线上巡查了7次，为方便记录，规定向右为正，向左为负，巡检路程记录如下：3，−5，8，−4，7，▲，(1)第五次结束时机器人的位置在起点的左边还是右边？距离起点多远？(2)路程记录中的数据“▲”是多少？(3)机器人行驶速度为0.2米/分，求第7次巡检结束的时刻（检查均无故障，不需停留维修）．32．（24-25七年级上·广东珠海·期中）在机器人社团活动中，小明通过编程使一只电子蚂蚁从点A处出发，在一直线上连续匀速左右爬行6趟，若向右爬行记为正，向左爬行记为负，电子蚂蚁爬行情况依次记为（单位：cm）+7,−5,−1,+11,−7,+4．(1)电子蚂蚁离开起点A最远是_______cm．(2)电子蚂蚁最后位于起点A的右侧还是左侧？距起点A多少cm？(3)若电子蚂蚁共用了15秒完成上面的路程，求电子蚂蚁的速度．考点17：有理数乘除混合运算33．（24-25七年级上·安徽六安·期中）a是不为2的有理数，我们把22−a称为a的“伴随数”，如3的“伴随数”是22−3=−2,−2的“伴随数”是22−(−2)=12，已知a1=4,a2是a1的“伴随数”A．−1 B．23 C．3234．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）近几年来，我国新能源汽车产销量都大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表），以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足50km的记为“−”，刚好50第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天路程（km）−6−10−18+24+22+30+28(1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走______km；(2)请求出小明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了多少km？(3)已知汽油车每行驶100km需用汽油7升，汽油价8元/升，而新能源汽车每行驶100km耗电量为15度，每度电为0.6元，请估计小明家换成新能源汽车后一个月（按考点18：有理数乘除中的简便运算35．（24-25七年级上·山西临汾·期中）阅读下列材料，完成后面任务．计算：−解法①：原式==−解法②：原式==解法③：原式的倒数为2=故原式=−任务：(1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法是错误的．（填序号）(2)在正确的解法中，你认为解法比较简便．（填序号）(3)请你进行简便计算：−136．（23-24七年级上·广东河源·期中）学习本节知识后，薛老师给同学们出了这样的两道题：①−1②−1下面是小刚和小明做的过程：小刚：解：①原式=−小明：解：②原式=−请回答：(1)小刚和小明的解题都对吗？如果不对，请写出正确的计算过程；(2)小华是个爱动脑筋的好学生，他观察了①、②这两个式子是互为倒数的关系，故先求出①式的结果，即可得到②式的结果，你认为他的思路正确吗？(3)如果你认为小华是正确的，请试着计算：−1考点19：有理数四则混合运算37．（24-25七年级上·福建福州·期中）阅读下列材料，完成作答．计算：−解法①：原式==−=解法②：原式===−=−解法③：原式的倒数为2==−20+3−5+12=−10故原式=−(1)以上三种不同的解法，你认为解法________是错的．（填序号）；(2)在正确的解法中，你觉得解法________比较简便．（填序号）；(3)请你简便计算：−38．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）阅读下面材料：圆圆在研究数学问题时遇到一个定义：对于排好顺序的三个数x1，x2，x3称为数列x1，x2，x3．计算x1，x1+x22，x1+x2+x33的值，将这三个数的最小值称为数列x1，x2，圆圆进一步研究发现：改变数列3，2，−1三个数的顺序，可得若干个数列，这些数列都可以按照上述方法计算其相应的价值．如数列−1，2，3的价值为12；数列3，−1，2的价值为1；⋯经过研究，圆圆发现，对于“3，2，−1”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，价值的最小值为1根据以上材料，回答下列问题：(1)求数列−4，1，−6的价值；(2)填空：将“−4，1，−6”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的价值的最小值为，取得价值最小值的数列为（写出所有答案）．(3)已知a>0，将“2，−9，a”这三个数按照不同的顺序排列，可得若干个数列，若这些数列的价值的最小值为1，求a的值．考点20：有理数四则混合运算的实际应用39．（2025七年级上·浙江·专题练习）（1）王叔叔从A地出发开车到B地，已经行驶了3小时，每小时行驶80千米，再行全程的25就能到达B地，A地到B（2）王叔叔到B地之后，在一个停车场停车5小时20分钟，根据下面停车收费标准，他需要付多少钱？B地车辆停放服务收费标价公示牌计费方式：计时收费计费单位：元/辆收费类型第一小时内第一小时后小型车8元3元/半小时第一小时后不足半小时按半小时计算，连续停车24小时内最高收费不超过60元，超过24小时重新计算．40．（24-25七年级上·山西朔州·期末）中国铁路太原局不断拓展1，2，3小时高铁出行圈，进一步扩大城际和市域快线列车开行范围，努力实现“有流就有车，有客就有票”．太原至晋中某列高铁载客情况如图所示，目标载客数为800人，目标载客数上方条形图表示超过目标人数的数量，下方则表示不足目标人数的数量．(1)若超过目标人数的部分记为正，不足目标人数的部分记为负，如：12月4日的数据可记作“+60”，则12月7日的数据可记作______．(2)求这4天的总载客人数．考点21：根据点在数轴的位置判断式子的正负41．（23-24七年级上·陕西榆林·期中）点A,B表示的有理数a,b在数轴上的位置如图所示，下列结论中，正确的是（

）

A．a−b<0 B．a+b>0 C．a<b 42．（20-21六年级下·上海虹口·期中）如图，数轴上点A、B、C对应的有理数分别为a、b、c．下列结论：①a+b+c>0；②abc>0；③a+b−c<0；④0<ba<1

考点22：数轴上的翻折43．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）将数轴对折，使表示−3与1的两个点重合，若此时表示−5的点与另一个表示数x的点重合，则x=．44．（2025·河北秦皇岛·一模）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．(1)若2表示的点与−2表示的点重合，则−3表示的点与哪个数表示的点重合；(2)若−4表示的点与2表示的点重合，回答以下问题：①1表示的点与哪个数表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间的距离为5（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？考点23：有理数幂的概念理解45．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）−3A．4个−3相乘 B．4个−3相加C．−3乘以4 D．3446．（24-25七年级上·吉林长春·期中）概念学习：规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，−3÷−3÷−3÷−3等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作23，读作“2的3次商”，−3÷−3÷−3÷−3记作−34初步探究（1）直接写出结果：23深入思考我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？例：24（2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式：−34=_________；计算：72考点24：有理数的乘方运算47．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）若xm=y，则记为x,y=m，例如3（1）根据上述规定，直接写出2,32=（2）若4,a=2，b,8=3，则b,a48．（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）下列式子一定成立的是（

）A．0.12=2 C．−23=8考点25：有理数乘方逆运算49．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）计算∶(1)−23×8−8×123×−950．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）如果10b=n，那么称b为n的劳格数，记为b=d(n)，由定义可知：10b=n与b=d(n)所表示的是(1)根据劳格数的定义，填空：d(10)=，d(100)=；(2)劳格数有如下运算性质：若m、n为正数，则d(mn)=d(m)+d(n)，d(m①d(a3)d(a)②若d(2)=0.3010，则d(4)=，d(5)=，d(8)=．考点26：乘方运算的符号规律51．（24-25七年级上·河南郑州·期末）当a<0时，下列各式成立的有（）①a2>0；②a2=−aA．①② B．①③ C．①②④ D．②③④52．（2024七年级上·安徽·专题练习）如图，A，B，C三个点在数轴上表示的数分别为a，b，c，且|a+16|+|b+6|+(c−8)2=0．动点P从点B(1)求a，b，c的值；(2)点P运动到点C前，若点P到点A距离是到点C距离的3倍，求点P运动的时间；(3)若点P运动的同时，点Q从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向点C运动，点Q到达点C后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A，在点P开始运动后，P，Q两点之间的距离能否为2个单位长度？如果能，请求出此时点P表示的数；如果不能，请说明理由．考点27：乘方的应用53．（24-25六年级上·山东威海·期中）如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推．(1)阴影部分的面积是多少？(2)受此启发，你能求出1254．（2024七年级上·全国·专题练习）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事非”．如图，将一个边长为1的正方形纸片依次分割为若干部分，部分①的面积是12，部分②的面积是14，部分③的面积是18,⋅⋅⋅，以此类推，第n部分的面积是12n考点28：程序流程图与有理数计算55．（23-24七年级上·四川眉山·期末）定义一种对正整数n的“C运算”：①当n为奇数时，结果为3n+1；②当n为偶数时，结果为n2k（其中k是使n2k为奇数的正整数）并且运算重复进行，例如：若n=26，则第2023次“C运算”的结果是（

）A．4 B．1 C．16 D．356．（24-25七年级上·全国·期末）如图，是一个“有理数转换器”（箭头是指数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器）．(1)当小明输入3、59、﹣(2)你认为当输入什么数时，其输出结果是0？(3)你认为这个“有理数转换器”不可能输出什么数？考点29：算"24”点57．（24-25七年级上·广东佛山·期末）游戏“24点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为24，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的4张牌，写出一个符合规则的算式：．58．（24-25七年级上·广东深圳·期中）从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（包括加、减、乘、除和乘方），每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号，使得运算结果为24或−24，其中黑色扑克牌代表正数（黑桃、梅花为黑色），红色扑克牌代表负数（红桃、方块为红色），A，J，Q，K分别代表1，11，12，13．比如，小明抽到了黑桃7，黑桃3，红桃3，梅花7，他运用下面的方法凑成了：7×3−−3÷7=24．如果抽到的是黑桃考点30：含乘方的有理数混合运算59．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）计算：(1)−23×42+（24-25七年级上·全国·期中）计算：−1100考点31：用科学记数法表示绝对值大于1的数61．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）5G是第五代移动通信技术，5G网络理论下载速度可以达到每秒1300000KBA．13×105 B．1.3×105 C．62．（24-25七年级上·贵州安顺·期中）综合与实践．活动主题：估算大米有多重实际操作：一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食的现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米约重10克．拓展运用：(1)一粒大米约重多少克？(2)按我国现有人口14亿，每年365天计算，若每人每天节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示）(3)假若我们把一年节约的大米按5元/千克的价格出售，可卖得多少元？（用科学记数法表示）考点32：将用科学记数法表示的数变回原数63．（24-25七年级上·云南曲靖·期中）已知，m=−1.5×10A．m>10000 B．m>−14000C．−2<m<−1 D．−16000<m<1400064．（23-24七年级下·河北保定·期中）光在水中的传播速度是2.25×108m/sA．2.25×108−10=2.25×C．2.25×108是一个8位数 D．考点33：求一个数的近似数65．（25-26七年级上·浙江·开学考试）一架国产C919大型客机的售价为七亿一千六百六十五万八千66．（24-25七年级上·北京·期中）根据要求，用四舍五入法取近似数：1.4149≈（精确到百分位）．考点34：求近似数的精确度67．（24-25七年级上·广东东莞·期中）用四舍五入法对0.05019取近似数，精确到百分位是

．68．（23-24七年级上·广西河池·期中）古人云：“盛年不再来，一日难再晨，及时当勉励，岁月不待人．”我们应珍惜每一天，活在当下，一个人一生大约2.9万天，近似数2.9万精确到．考点35：近似数推断取值范围69．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）[四舍五入]截至2023年1月21日11点，2023河南春晚全网阅读量约127亿．如果这个阅读量是一个两位小数，那么这个两位小数最大是，最小是．70．（2024七年级上·全国·专题练习）近似数3.70所表示的准确值a的范围是（）A．3.60≤a<3.80 B．3.700≤a<3.705C．3.695≤a<3.705 D．3.695≤a≤3.705

有理数的运算（知识梳理+35个高频易错考点讲练共70题）TOC\o"1-2"\h\u知识梳理技巧点拨 3知识点梳理01：有理数的加法 3知识点梳理02：有理数的减法 3知识点梳理03：有理数的加减混合运算 3知识点梳理04：有理数的乘法法则 4知识点梳理05：倒数的概念 4知识点梳理06：有理数的乘法运算律 4知识点梳理07：多个有理数相乘 4知识点梳理09：有理数除法法则 5知识点梳理09：有理数的乘除混合运算 5知识点梳理10：有理数的加减乘除混合运算 5知识点梳理11：有理数的乘方 6知识点梳理12：非负数的性质：偶次方 6知识点梳理13：有理数的混合运算 6知识点梳理14：近似数和有效数字 6知识点梳理15：科学记数法—表示较大的数 7高频易错考点讲练 7考点1：有理数加法运算 7考点2：有理数加法中的符号问题 9考点3：有理数加法在生活中的应用 10考点4：有理数加法运算律 12考点5：有理数的减法运算 14考点6：有理数减法的实际应用 16考点7：有理数的加减混合运算 18考点8：有理数加减中的简便运算 21考点9：有理数加减混合运算的应用 22考点10：省略加法和括号的形式 错误！未定义书签。考点11：两个有理数的乘法运算 25考点12：多个有理数的乘法运算 28考点13：有理数乘法的实际应用 30考点14：有理数乘法运算律 31考点15：有理数的除法运算 33考点16：有理数除法的应用 36考点17：有理数乘除混合运算 38考点18：有理数乘除中的简便运算 36考点19：有理数四则混合运算 38考点20：有理数四则混合运算的实际应用 47考点21：根据点在数轴的位置判断式子的正负 49考点22：数轴上的翻折 50考点23：有理数幂的概念理解 51考点24：有理数的乘方运算 53考点25：有理数乘方逆运算 54考点26：乘方运算的符号规律 56考点27：乘方的应用 58考点28：程序流程图与有理数计算 59考点29：算"24”点 61考点30：含乘方的有理数混合运算 62考点31：用科学记数法表示绝对值大于1的数 63考点32：将用科学记数法表示的数变回原数 65考点33：求一个数的近似数 65考点34：求近似数的精确度 66考点35：近似数推断取值范围 66知识点梳理01：有理数的加法（1）有理数加法法则：①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．③一个数同0相加，仍得这个数．（在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）（2）相关运算律交换律：a+b＝b+a；结合律（a+b）+c＝a+（b+c）．知识点梳理02：有理数的减法（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．即：a﹣b＝a+（﹣b）（2）方法指引：①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）；二是减数的性质符号（减数变相反数）；【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律．减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．知识点梳理03：有理数的加减混合运算（1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法．（2）方法指引：①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式．②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化．知识点梳理04：有理数的乘法法则有理数的乘法（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．（2）任何数同零相乘，都得0．知识点梳理05：倒数的概念（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数．一般地，a•1a=1（a≠0），就说a（a≠0）的倒数是（2）方法指引：①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0没有倒数，这与相反数不同．【规律方法】求相反数、倒数的方法求一个数的相反数求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可求一个数的倒数求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置注意：0没有倒数．知识点梳理06：有理数的乘法运算律乘法结合律：(a×b)×c＝a×(b×c)；乘法分配律：(a＋b)×c＝a×c＋b×c.知识点梳理07：多个有理数相乘多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．方法指引：①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘．②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单．知识点梳理09：有理数除法法则1.有理数除法法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.用字母表示：a÷b=a·1b(b2.有理数除法法则二两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商.0除以任何一个不等于0的数，都得0.方法指引：（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．（2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．知识点梳理09：有理数的乘除混合运算有理数乘除混合运算通常是先将除法转化成乘法,然后按照乘法法则,确定积的符号,最后求出结果.注意：除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法的运算律简化运算知识点梳理10：有理数的加减乘除混合运算有理数的加减乘除混合运算顺序在运算时要注意按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如果有括号，应先算括号里面的.在同级运算中，要按从左到右的顺序来计算，并合理运用运算律，简化运算.知识点梳理11：有理数的乘方（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．（3）方法指引：①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．知识点梳理12：非负数的性质：偶次方偶次方具有非负性．任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．知识点梳理13：有理数的混合运算（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．知识点梳理14：近似数和有效数字（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．（3）规律方法总结：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．知识点梳理15：科学记数法—表示较大的数（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】（2）规律方法总结：①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．考点1：有理数加法运算1．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）数轴是规定了原点、正方向、单位长度的直线，我们可以根据需要，“规定”原点的位置；也可以根据需要，“规定”单位长度的大小；还可以根据需要，“规定”正方向．在一条不完整的数轴上，从左到右有A，B，C，其中AB=10，BC=5，如图所示，设A，B，C所对应数的和是p．(1)若以点C为原点，则A、B对应的数分别为，，p=．(2)若原点为O，且CO=29，求p．(3)若以AB中点为原点，单位长度为1n建立数轴，则p=．（用含n【答案】(1)−15；−5；−20(2)−107；63(3)10n【思路引导】（1）确定原点，找到各点表示的数，相加即可；（2）分情况讨论：原点O在点C的右侧时，原点O在点C的左侧时，找到各点表示的数，相加即可；（3）确定原点，单位长度为1n本题考查了数轴上点的坐标表示以及原点位置变化对应点坐标的影响．【规范解答】（1）若以点C为原点，因为AB=10,BC=5则A表示的数是−15，B表示的数为−5，∴p=−15（2）原点O在点C的右侧时，∵CO=29,AB=10,BC=5，∴C表示的数是−29，B表示的数是−29+−5=−34，A∴p=−29原点O在点C的左侧时，∵CO=29,AB=10,BC=5，∴C表示的数是29，B表示的数是29−5=24，A表示的数是29−5−10=14，∴p=29+24+14=63．（3）以A，B中点为原点，单位长度为1n，AB=10,BC=5∴点A对应−5n，点B对应5n，点C对应10n，∴p=−5n2．（24-25七年级上·河南南阳·期中）定义☆运算，观察下列运算：+3☆+15=+18−2☆+14=−160☆−15=+15，(1)请你认真思考上述运算，归纳☆运算的法则：两数进行☆运算时，同号______，异号______，并把绝对值________．特别地：0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，________．(2)计算：+11☆(3)试通过计算说明+11☆0☆−12与+11【答案】(1)得正；得负；相加；都等于这个数的绝对值(2)23(3)不相等，不满足【思路引导】本题考查有理数的混合运算．（1）由题干中的算式归纳☆运算的法则即可；（2）根据归纳的法则计算即可；（3）根据归纳的法则计算+11☆0【规范解答】（1）解：由题干中的算式可得☆运算的法则为：同号得正，异号得负，并把绝对值相加；特别地：0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，都等于这个数的绝对值；故答案为：得正；得负；相加；都等于这个数的绝对值；（2）解：+11==23；（3）解：+11==−23，则+11☆0☆−12与+11故答案为：不满足．考点2：有理数加法中的符号问题3．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）下列叙述正确的是（

）A．若a>0，b<0且a>bB．若a>bC．若a<0，b<0，则a+bD．若a>1>b，则a【答案】C【思路引导】本题主要考查了有理数加法运算法则、绝对值的意义，根据有理数加法运算法则进行判断即可．解题的关键是熟练掌握有理数加法运算法则．【规范解答】解：A、若a>0，b<0且a>b，则a+b>0，而B、当a=−2，b=1，则a>b，但C、若a<0，b<0，则a+b=D、若a=2，b=−3，则a>1>b，但a<故选：C．4．（2024七年级·全国·竞赛）有一列数：−2011,−2004,−1997,−1990,⋯，它们按一定的规律排列，那么这列数的前（

）个数的和最小．A．288 B．289 C．290 D．292【答案】A【思路引导】本题考查有理数的加法，数字规律探索，当各项都是负数时，和最小，得出答案．【规范解答】这列数的第n项可表示为−2011+7n−1当各项都是负数时，和最小，由当n=288时，−2011+7n−1=−2，当n=289时，所以前288项的和最小．故选：A．考点3：有理数加法在生活中的应用5．（24-25七年级上·河北唐山·期末）我国自主研发的巡逻机器人备受关注，为安保工作提供了强有力的支持．某天小明发现一个巡逻机器人正准备在一条南北方向的公路上执行治安巡逻．（规定初始位置为0，向北走为正，向南走为负）它从初始位置到结束巡逻所走的路程（单位：km）如下：次数第一次第二次第三次第四次第五次第六次路程（km）+2−1.5−2+0.5−4.5+1.5(1)直接写出巡逻机器人在这次巡逻中离出发点最远的距离________km；(2)通过计算，描述巡逻机器人结束巡逻时的最后位置；(3)已知这次巡逻机器人的平均速度为3km/h【答案】(1)5.5(2)巡逻机器人结束巡逻时的最后位置在出发点南距出发点4km(3)巡逻机器人的巡逻时间4【思路引导】本题考查正数和负数，绝对值及有理数运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．（1）分别求得每次巡逻后距出发点的距离及位置后进行判断即可；（2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可；（3）根据绝对值的实际意义列式计算即可．【规范解答】（1）解：第1次：+2km；第2次：+2−1.5=+0.5km；第3次：+2−1.5−2=−1.5km；第4次：+2−1.5−2+0.5=−1km；第5次：+2−1.5−2+0.5−4.5=−5.5km；第6次：+2−1.5−2+0.5−4.5+1.5=−4km；∴巡逻机器人在这次巡逻中离出发点最远的距离为5.5km故答案为：5.5．（2）解：+2−1.5−2+0.5−4.5+1.5=−4，∴巡逻机器人结束巡逻时的最后位置在出发点南距出发点4km（3）解：此次巡逻共走：+2+12÷3=4h∴巡逻机器人的巡逻时间4h6．（24-25七年级上·河南漯河·阶段练习）同学小勤和其他组员一起，利用周末去观察记录经过西大街的某路公交车，他们主要观察统计相邻的A.西门里，B.桥仔口，C.广济街，D.钟楼四个车站，发现车到A站前车上有16人，沿路上下的乘客人数如下表所示：ABCD上车的人数151063下车的人数56812(1)该公交车离开钟楼站时，车上还有多少乘客？(2)若每人乘坐这辆公交车需要刷卡1元（假设全部都是刷卡，没有老年卡与学生卡），问该公交车在这四个站能收多少钱？【答案】(1)19人(2)34元【思路引导】（1）根据正负数的意义，上车为正数，下车为负数，用加法列式计算即可得解；（2）求出四个站上车的总人数，再乘以1即可求解；本题考查了正负数的意义，有理数加法和乘法运算的实际应用，根据题意正确列出算式是解题的关键．【规范解答】（1）解：16+15+−5答：该公交车离开钟楼站时，车上的乘客还有19人；（2）解：15+10+6+3×1=34答：该公交车在这四个站能收34元钱．考点4：有理数加法运算律7．（24-25七年级上·北京延庆·期中）探究并解决问题：定义一种新的运算，叫做“⊕”运算．按照“⊕”运算的运算法则进行计算：①(+2)⊕(+3)=+5；

②(−2)⊕(+3)=−5；③(−2)⊕(−3)=+5；

④(+2)⊕(−3)=−5；⑤0⊕(+5)=5；

⑥(+4)⊕0=4；⑦(−5)⊕0=5；

⑧0⊕(−3)=3．(1)观察上面的算式，请类比有理数的运算法则的学习，归纳“⊕”运算的运算法则：两数进行“⊕”运算时，______；一个数与0进行“⊕”运算时，______．(2)计算：(−3)⊕[2⊕(−4)]；(3)有理数加法有结合律，结合律在有理数的“⊕”运算中还适用吗？请你判断并举例验证（注：如果不适用，举出一个反例即可）．【答案】(1)同号得正，异号得负，再把绝对值相加；正数与0“⊕”运算得它本身，负数与0“⊕”运算得它的相反数.或：等于这个数的绝对值(2)9(3)不适用，例子见解析【思路引导】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算；（1）观察新定义运算，类比有理数的运算法则，写出“⊕”运算法则，即可求解；（2）根据（1）中的运算法则进行计算即可求解；（3）根据新定义运算与有理数加法结合律，分别举例计算[(−3)⊕(−2)]⊕0和(−3)⊕[(−2)⊕0]，即可求解．【规范解答】（1）解：“⊕”运算的运算法则：两数进行“⊕”运算时，同号得正，异号得负，再把绝对值相加.一个数与0进行“⊕”运算时，正数与0“⊕”运算得它本身，负数与0“⊕”运算得它的相反数.或：等于这个数的绝对值（2）解：(−3)⊕[2⊕(−4)]=(−3)⊕(−6)=9（3）解：结合律在有理数的“⊕”运算中不适用.例如：[(−3)⊕(−2)]⊕0

=+5⊕0

=+5；(−3)⊕[(−2)⊕0]

=(−3)⊕2=这时，[(−3)⊕(−2)]⊕0≠(−3)⊕[(−2)⊕0]，所以结合律在有理数的“⊕”运算中不适用8．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）数学刘老师在多媒体上列出了如下的材料：计等：−55解：原式==[(−5)+(−9)+(−3)+17]+=0+=−11上述这种方法叫做拆项法；请仿照上面的方法计算：(1)+13(2)−20242【答案】(1)−5(2)−21【思路引导】本题考查了有理数的加法，有理数的加法运算律，掌握有理数的加法运算法则是解题的关键．（1）先根据拆项法拆项，再根据有理数的加法法则及加法运算律进行计算即可；（2）先根据拆项法拆项，再根据有理数的加法法则及加法运算律进行计算即可；【规范解答】（1）解：+1===0+=−5（2）解：−2024====−21考点5：有理数的减法运算9．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读材料：把几个数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：1,2,当有理数x是集合的一个元素时，10−x也必是这个集合的元素，这样的集合我们又称为黄金集合．例如0,10就是一个黄金集合．回答问题：(1)集合1___________黄金集合，集合2,10___________黄金集合；（两空均填“是”或“不是”）(2)请你再写出一个含有两个元素的黄金集合，一个含有四个元素的黄金集合（不能与上述集合重复）；(3)写出所有黄金集合中，元素个数最少的集合．【答案】(1)不是，不是(2)1,92,4,6,8(3)5【思路引导】本题要求学生必须认真阅读题目，并能准确理解黄金集合的定义才能做出正确的判断．（1）根据黄金集合的定义判断即可；（2）根据黄金集合的定义求解即可；（3）根据黄金集合的定义求解即可【规范解答】（1）解：根据黄金集合的定义，10−1=9，而集合1中没有9，故集合1不是黄金集合；对于2,10因为10−10=0，而集合2,10中没有0，故集合2,10不是黄金集合，故答案为：不是，不是；（2）解：因为10−1=9，10−9=1，所以1,9是黄金集合，因为10−2=8，10−8=2，10−4=6，10−6=4，所以2,4,6,8是黄金集合；（3）解：因为10−5=5，所以5是元素个数最少的黄金集合．10．（24-25七年级上·河南新乡·期中）下面是四张写有不同数字的卡片．(1)这四张卡片上的数字中最大的数是____________，最小的数是____________；(2)从这四张卡片中随机挑出两张，求数字之和的最小值：(3)从这四张卡片中随机挑出两张，求数字之差的最小值．【答案】(1)最大的数为3.9，最小的数为−6(2)−(3)−9.9【思路引导】本题考查了有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小和有理数的加减法，熟练掌握有理数的大小比较方法和有理数的加减法运算法则是解题的关键．（1）根据有理数的大小比较方法比较即可；（2）要想数字之和最小，只需挑出最小的两个数，再根据有理数的加法计算即可；（3）要想数字之差最小，只需让四个数中的最小值减去最大值，再根据有理数的减法计算即可．【规范解答】（1）解：∵3.9>0>−3∴最大的数为3.9，最小的数为−6，（2）解：要想数字之和最小，只需挑出最小的两个数即可，故−6+（3）解：要想数字之差最小，只需让四个数中的最小值减去最大值即可，故−6−3.9=−9.9考点6：有理数减法的实际应用11．（24-25七年级上·河南周口·期中）距离能够产生美，唐代著名文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无．”当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道：“世界上最遥远的距离不是瞬间便无处寻觅，而是尚未相遇便注定无法相聚”，距离是数学、天文学、物理学中的热门话题．唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．绝对值的定义：一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．例如：3是指数轴上表示3的点到原点的距离，−6是指数轴上表示−6的点到原点的距离．(1)概念延伸：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是2−5=②数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是−2−③数轴上表示1和－3的两点之间的距离是1−−3(2)归纳总结：点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为AB，则AB=(3)拓展应用：①数轴上表示数x和1的两点A和B之间的距离为AB=x−1，则x−1的最小值是______，此时②数轴上表示数x和－1的两点A和B之间的距离为AB=______，如果AB=2，那么③式子x+1+【答案】(1)①3；②3；③4(2)a−b(3)①0，1；②x+1，−3或1；③有，最小值为3【思路引导】本题考查了数轴上两点之间的距离、绝对值的意义以及绝对值的方程，有理数减法等知识，理解题意掌握绝对值的意义以及数轴上两点之间的距离是解题的关键．（1）①②③根据绝对值的意义求解即可．（2）根据数轴上两点之间的距离求解即可．（3）①根据绝对值的非负性可以得到x−1的最小值为0进而即可求出x的值为1．②根据归纳总结的内容即可得到AB=x−−1③x+1+x−2表示数轴上点到表示−1的点的距离与到表示2的点的距离之和，据此即可求出当−1≤x≤2时，此时【规范解答】（1）解：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是2−5=3故答案为∶3．②数轴上表示-−2和−5的两点之间的距离是−2−故答案为∶3．②数轴上表示1和−3的两点之间的距离是1−−3故答案为∶4．（2）解：点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为AB，则AB=故答案为∶a−b（3）解：①数轴上表示数x和1的两点A和B之间的距离为AB=则x−1的最小值是0，此时x的值为1．故答案为∶0，1②数轴上表示数x和−1的两点A和B之间的距离为AB=如果AB=2则x+1=±2，∴x=1或−3，故答案为：−3或1．③∵x+1+∴x+1+x−2表示数轴上点到表示所以当−1≤x≤2时，此时x+1+12．（24-25七年级上·山西晋中·期中）跳水运动员每天会进行严格的训练，如图，l为泳池的水面，跳台起跳点A距离水面10米．一名运动员（看作一个点）从跳台起跳点A处起跳，以水面为基准，在水面上方记为正，水面下方记为负．

(1)第1次起跳后落入水下3.5米处，记为B点，点B可表示为______米；(2)第2次跳水落入水中的位置点C在点B的上方1.2米处，则点C可表示为______米；(3)第3次跳水落入水中的位置点D与起跳点A的高度差是11.3米，求点D比点B高多少米？【答案】(1)−3.5(2)−2.3(3)2.2米【思路引导】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数加法以及减法的实际应用等知识．（1）根据以水面为基准，在水面上方记为正，水面下方记为负即可得出答案．（2）根据点C在点B的上方1.2米处，用点B表示的数加上1.2即可得出答案．（3）先根据题意得出点A表示的数，点D表示的数，即可得出点D比点B高多少米．【规范解答】（1）解：根据以水面为基准，在水面上方记为正，水面下方记为负．则第1次起跳后落入水下3.5米处，记为B点，点B可表示为−3.5米．故答案为：−3.5．（2）解：−3.5+1.2=−2.3则点C可表示为−2.3米．（3）解：∵跳台起跳点A距离水面10米，∴点A表示的数为+10米，∵位置点D与起跳点A的高度差是11.3米，∴点D表示的点为：10−11.3=−1.3（米），∵−1.3−−3.5∴点D比点B高2.2米．考点7：有理数的加减混合运算13．（24-25七年级上·内蒙古包头·阶段练习）计算：(1)−7+(+20)−(−5)−(+3)；(2)(−3.2)+12.5+(−16.8)−(−2.5)；(3)+1(4)7.5−|−21【答案】(1)15；(2)−5；(3)6.1；(4)−24．【思路引导】本题考查了有理数加减混合运算，绝对值，熟练掌握有理数的加减混合运算法则是解题的关键．（1）先把减法运算变为加法运算，再根据有理数的加法法则计算即可；（2）先把减法运算变为加法运算，再根据有理数的加法法则计算即可；（3）先把减法运算变为加法运算，再根据有理数的加法法则计算即可；（4）先把减法运算变为加法运算，再根据有理数的加法法则计算即可．【规范解答】（1）解：−7+(+20)−(−5)−(+3)=−7+20+5+(−3)==−10+25=15；（2）解：(−3.2)+12.5+(−16.8)−(−2.5)=(−3.2)+12.5+(−16.8)+2.5=[(−3.2)+(−16.8)]+(12.5+2.5)=−20+15=−5；（3）解：+===−=6.1；（4）解