广东省广州市荔湾区2022-2023学年高二下学期教学质量调研数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省广州市荔湾区2022-2023学年高二下学期教学质量调研数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，，且，则（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】已知，，且,所以，即得.故选：D.2.已知数列满足，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以，，.故选：A.3.设，方程所表示的曲线是（）A.焦点在x轴上的椭圆 B.焦点在x轴上的双曲线C.焦点在y轴上的椭圆 D.焦点在y轴上的双曲线【答案】C【解析】若，则，曲线,即，，表示焦点在轴上的椭圆．故选：.4.在等比数列中，，，则公比（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设等比数列的公比为，因为，，所以，由可得，所以，，当时，，当时，，故选：D.5.已知O，A，B，C为空间的四个点，则（）A.若构成空间的一个基底，则O，A，B，C四点共面B.若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底C.若与共线，则存在一个向量与构成空间的一个基底D.若，则是M，A，B，C四点共面的充要条件【答案】BD【解析】由构成空间的一个基底，可得O，A，B，C四点不共面，A错误；假设不是空间的一个基底，则存在使得，所以，与是空间的一个基底矛盾，所以也是空间的一个基底，B正确；因为与共线，对于任意非零向量，都满足共面，故不存在一个向量与构成空间的一个基底，C错误；由，可得，所以，因为，所以至少有一个数不为0，不妨设，则，所以M，A，B，C四点共面，若M，A，B，C四点共面，则存在唯一实数对使得，所以，所以，又所以，故，D正确；故选：BD.6.一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则a的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】小岛到航线的距离为，解得.故选：C.7.设椭圆与双曲线的离心率分别为，若椭圆的焦距大于双曲线的虚轴长，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由椭圆知：，所以，又双曲线知：，所以，所以，因为椭圆的焦距大于双曲线的虚轴长，所以，所以，所以，即，所以故选：B.8.已知A，B两点的坐标分别为，，O是坐标原点，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是．斜率为1的直线与点M的轨迹交于P，Q两点，则的面积的最大值是（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】设因为满足与的斜率之积为，所以有；M的轨迹为设直线，联立，可得，，，点O到直线的距离.故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.已知圆与圆，则（）A.两圆圆心所在直线的斜率为B.两圆公共弦所在的直线的方程为C.两个圆关于直线对称D.直线是两圆的一条公切线【答案】BD【解析】圆的圆心为，半径，方程可化为，所以圆的圆心为，半径为，所以直线的斜率为，A错误；因为，所以，所以圆和圆相交，两圆方程相减可得，所以两圆的公共弦方程为，B正确；因为圆和圆的半径不相等，且直线的斜率为，所以两个圆不于直线对称，C错误；因为到直线的距离为2，所以直线与圆相切，因为到直线的距离为1，所以直线与圆相切，故直线为两圆的公切线，D正确.故选：BD.10.已知等差数列的前项和为，若，，则（）A.数列是递减数列 B.数列是等差数列C. D.取得最大值时，【答案】AD【解析】设等差数列的公差为，，，等价于，即，由可得，，数列是递减数列，选项A正确；且取得最大值时，，选项D正确；为常数，数列是等比数列，选项B错误；，，即，选项C错误；故选：AD.11.设抛物线的顶点为O，经过焦点F且垂直于对称轴的直线交抛物线于A，B两点，从抛物线上一点M向x轴作垂线，垂足为N，线段FM的中点为Q，则（）A.B.以线段FM为直径的圆与y轴相切C.当点M在抛物线上运动时，线段MN的中点的轨迹方程为D.当点M在抛物线上运动时，直线OQ与x轴的夹角不超过【答案】ABD【解析】抛物线的焦点的坐标为，直线的方程为，联立可得，所以，所以，设点，则，，，所以，所以，又，，所以，A正确；因为点的坐标为，所以点到轴的距离为，又，所以以线段FM为直径的圆的圆心到y轴的距离等于该圆的半径，故以线段FM为直径的圆与y轴相切，B正确；设的中点为，则，又，所以，所以线段MN的中点的轨迹方程为，C错误；因为，当且仅当时等号成立，所以直线OQ与x轴的夹角不超过，D正确.故选：ABD.12.如图，在棱长为的正方体中，分别是棱上的动点，且．则（）A.B.三棱锥的体积最大值为C.若是的中点，则点到直线的距离为D.若是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为【答案】ACD【解析】以为原点，建立空间坐标系如图所示，设，则，，，，，则，即，选项A正确；则三棱锥的体积当时，三棱锥的体积取到最大值，选项B错误；若是的中点，则，，，设点到直线的距离为，在中，，，，则，所以则，即，解得，选项C正确；若是的中点，则，，，，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，解得，又，则直线与平面所成角的正弦值为，选项D正确；故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若等比数列的前n项和，则________．【答案】1【解析】由题意时，，当时，，又是等比数列，所以，解得．故答案为：1．14.已知抛物线准线经过双曲线的一个焦点，且截双曲线所得的弦长为6，则双曲线的渐近线方程是________．【答案】【解析】由抛物线的焦点为：，准线为：，因为经过双曲线的一个焦点，故双曲线的焦点为，设双曲线的标准方程为，所以，又抛物线的准线截双曲线所得的弦长为6，则将代入，以及得：，即结合得：，解得：或（舍去），所以，所以双曲线的渐近线方程为：.故答案为：.15.如图，在四面体OABC中，，，，用向量表示，则________．若，且平面ABC，则实数________．【答案】①.②.##0.75【解析】由条件可知：；延长与AM交于D，连接BD，则当时，平面ABC，平面ABC，平面ABC；令，则有，，根据向量基底表示法的唯一性，有：，解得，，.故答案为：，.16.在平面直角坐标系中，过点向直线l：（λ为任意实数）作垂线，垂足为H，若为定值，则定点D的坐标为________．【答案】##【解析】方程可化为，由，可得，所以直线l过定点，设，因为，所以为直角三角形，为直角，设的中点为，则，，所以点的轨迹方程为，因为为定值，所以点与点重合，即定点D的坐标为，故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列为等差数列，，，数列满足，（1）求证：数列为等比数列；（2）求数列的前n项的和．解：（1）设数列的公差为，因为，，所以，所以，所以，所以，所以，所以数列为等比数列；（2）由(1)，所以，，，，18.已知圆，AB为过点且倾斜角为α的弦．（1）当时，求弦AB的长；（2）若弦AB被点P平分，求直线AB的方程．解：（1）当时，直线AB的斜率为，因为直线AB过点，所以直线AB的方程为：即，圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离，所以，所以弦AB的长为3；（2）因为，，所以，因为弦AB被点平分，所以，所以，所以直线AB的方程：，所以直线AB的方程：19.如图在平行六面体中，，.（1）求证：直线平面；（2）求直线和夹角的余弦值.（1）证明：设，，，则为空间的一个基底，且，，，因为，，所以，，∴，，∴，又，∴平面.（2）解：由（1）得，∴，，∴，则，∴，设与的夹角为，则，∴直线和夹角的余弦值为.20.已知等比数列的前n项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若，求证：．解：（1）时，由，得，两式相减可得：，∴，∵时，，∴，∴数列是首项为2，公比为2的等比数列，则.（2）由（1）可知，，∵，∴，故.令，则，∴，∴，即.又因为,所以，.21.如图，把边长为的正方形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，F是BC的中点，O是原正方形ABCD的中心，动点E在线段AD（包含端点A，D）上．（1）若E为AD的中点，求直线AB到平面EOF的距离；（2）在线段AD上是否存在点E，使得平面EOF与平面ABC的夹角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．解：（1）连接，因为所以又因为平面平面，平面平面，平面所以平面，平面，所以，又因为，.所以建立如图所示空间直角坐标系，所以,,设平面的法向量为，则有令则，所以点到平面的距离为，又因为平面，平面，所以平面，所以直线AB到平面EOF的距离为.（2）设存在点,且,，因,设平面的法向量为，则有令则，又因为平面ABC，所以平面ABC的一个法向量为为，所以，即解得或（舍），所以存在，且.22.已知双曲线与直线．（1）若直线与双曲线C相交于A，B两点，点是线段AB的中点，求直线的方程；（2）若直线l与双曲线有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于，两点．当点M运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解：（1）设，则，所