广东省广州市天河区2025-2026学年高一第一学期学业水平调研数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省广州市天河区2025-2026学年高一第一学期学业水平调研数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得或，因此集合，选项A，是集合中的元素，所以，选项A正确；选项B，是一个集合，集合与集合之间的关系应为包含（），而非属于（），选项B错误；选项C，是集合中的元素，元素与集合的关系是属于（），而非包含（），选项C错误；选项D，集合，而只包含元素，不包含，选项D错误.故选：A.2.已知是实数，则“”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件【答案】C【解析】由得不到，如，故充分性不成立，反之，由可以得到，故必要性成立，则“”是“”的必要不充分条件.故选:C.3.（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】.故选：B.4.函数的零点所在的区间为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数的定义域为，函数在上单调递增，又，，根据零点的存在性定理可知函数零点所在区间为．故选：B.5.已知，则（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】由题知，所以，解得，所以.故选：D.6.某地由于人们健康水平的不断提高，某种疾病的患病率正以每年16%的比例降低，要将当前的患病率降低一半，需要的时间约为（）（参考数据：，）A.3年 B.4年 C.5年 D.6年【答案】B【解析】设当前患病率为，需要年降低到原来的一半，因为疾病的患病率正以每年16%的比例降低，所以，经过年后，患病率为，.令，即，所以.故选：B.7.若命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为“，”为假命题，所以“，”为真命题，所以，解得，所以实数的取值范围为.故选：A.8.已知，角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】根据三角函数定义，，因为，，所以所以.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.已知函数，则（）A.该函数的最小正周期为πB.该函数的图象关于点对称C.该函数的单调递减区间为D.该函数的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数为【答案】ABC【解析】对于A，函数的最小正周期为，故正确；对于B，令，解得，即函数的对称中心为，故函数的图象关于点对称，B选项正确；对于C，令，解得，所以函数的单调递减区间为，C选项正确；对于D，函数的图象向右平移个单位得到，故D选项错误.故选：ABC.10.已知函数，，则（）A. B.为奇函数C.为减函数 D.【答案】BCD【解析】对于A，因为，故，显然（），故A选项错误；对于B，由题意函数的定义域为，关于原点对称，，故为奇函数，B选项正确；对于C，，由于，故为上的单调递减函数，为上的单调递增函数，为上的单调递减函数，所以为上的单调递减函数，C选项正确；对于D，由于为上的单调递减函数，且为奇函数，所以，所以，即，显然恒成立，所以恒成立，D选项正确.故选：BCD.11.已知函数，下列结论正确的是（）A.B.为增函数C.若在上恒成立，其中n为自然数，则n的最小值为2D.若关于x的方程有6个不相等的实数根，则实数m的取值范围是【答案】ACD【解析】对于A，由题知，故，A选项正确；对于B，由题知，，显然不满足增函数的定义，B选项错误；对于C，由题知，当时，；当时，，当时，，恒成立，所以在上恒成立，其中n为自然数，则n的最小值为2，C选项正确；对于D，方程，即或，因为当时，；当时，，当时，；当时，，当时，.所以当时，，无解，当时，有1个解，当时，有1个解所以，共有2个解，所以有4个实数根，要使有4个实数根，，解得，所以实数m的取值范围是，D选项正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数为幂函数，则实数______.【答案】【解析】因为为幂函数，所以，即.故答案为：.13.已知函数，若，则______.【答案】【解析】因为函数，，所以，即，所以.故答案为：.14.已知函数在区间上单调，，且在区间上恰有4个零点，则_______，的取值范围为_____.【答案】；【解析】因为函数在区间上单调，且满足，，所以的一个对称中心为，故，因为，函数在区间上单调，所以函数在区间上单调，设函数的最小正周期为，则，即，因为在区间上恰有4个零点，恰好为第一个零点，所以，即，解得，综上，的取值范围为.故答案为：；.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数，（且）.（1）设的定义域为集合，的定义域为集合，求，；（2）解不等式.解：（1）要使函数有意义，则，即，要使函数有意义，则，即，所以的定义域为，的定义域为，所以，，（2），即，当时，，解得；当时，，解得；综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.16.已知函数，，.（1）在同一直角坐标系中画出函数，的图象；（2）用定义证明函数在区间上单调递减；（3），用表示，中的最小者，记为.例如，当时，.请写出函数的解析式.（直接写出结果，不用说明理由）解：（1）根据函数解析式，直接描点作图，图象如图所示：（2）设，则，因为，所以，，所以，即，所以函数在区间上单调递减.（3）由函数图象可知，当时，，，当时，，；当时，，，所以.17.一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月库存货物费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成正比，比例系数为1.5，每月土地占地费（单位：万元）与x之间的函数关系为，为常数；若在距离车站5km处建造仓库，则两项费用之和为11.5万元.（1）要使两项费用之和最小，应该把仓库建在距离车站多少千米处?（2）要使两项费用之和不超过13.5万元，仓库到车站的距离应该在什么范围内?解：（1）因为每月库存货物费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成正比，比例系数为1.5，所以，当时，.因为每月土地占地费（单位：万元）与x之间的函数关系为，为常数.所以当时，，因为在距离车站5km处建造仓库，则两项费用之和为11.5万元，所以，解得，所以两项费用之和为，因为，当且仅当，即时等号成立，所以当时，两项费用之和最小，为.所以两项费用之和最小，应该把仓库建在距离车站千米处.（2）由（1）得两项费用之和为，要使两项费用之和不超过13.5万元，即，整理得，解得，所以仓库到车站的距离应该在范围内.18.已知函数的图象如图所示.（1）求的解析式；（2）已知函数.（i）求使成立的的取值范围；（ii）若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围.解：（1）由图像得振幅，周期，故，因此，将点代入，得，结合，解得，因此；（2）依题意得：，（i）由，得：，正弦函数满足该不等式的区间为：，解得：，所以的取值范围为；（ii）由，当时，，所以，所以，设，则，令，则函数转化为，关于的二次函数，开口向上，对称轴为：，在区间上，当时，取最小值：，当时，取最大值：，因此在区间上的值域为：，的值域的值域即：，等价于，解得：.故.19.已知函数的定义域为，值域为，且对任意的，均有.（1）若，，求；（2）证明：是增函数；（3）若，求证：