人教A版高中数学必修一题库 第五章　5.5.1　第3课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式

第3课时二倍角的正弦、余弦、正切公式学习目标1.会用两角和(差)的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.(重点)2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的三角恒等变换并能灵活地将公式变形运用.(难点)导语同学们，唐代诗人王维曾写出“独在异乡为异客，每逢佳节倍思亲”，一个“倍”字道出了思念亲人的急迫心情！生活中，我们也常说“加倍努力”.今天，就让我们来感受一下数学中的“倍”——三角函数中的“二倍”关系.一、二倍角的正弦、余弦、正切公式问题1请同学们写出两角和的正弦、余弦、正切公式.提示sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ；cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ；tan(α+β)=tanα问题2当α=β时，你能写出sin2α，cos2α，tan2α的表达式吗？提示sin2α=sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα=2sinαcosα；cos2α=cos(α+α)=cosαcosα-sinαsinα=cos2α-sin2α；tan2α=tan(α+α)=2tanα知识梳理1.二倍角的正弦、余弦、正切公式记法公式S2αsin2α=2sinαcosαC2αcos2α=cos2α-sin2αT2αtan2α=2tanα2.二倍角公式的变形(1)降幂公式：cos2α=1+cos2α2；sin2α=(2)升幂公式：1+cos2α=2cos2α；1-cos2α=2sin2α.注意点：(1)这里的倍角专指二倍角，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不可省去.(2)倍角公式不仅可运用于2α是α的二倍的情况，还可运用于4α作为2α的二倍，α作为α2的二倍，3α作为3α2的二倍，α+β作为(3)正切二倍角的范围：α≠kπ2+π4且α≠π2+(4)常见二倍角公式的变形：cos2α=(cosα+sinα)(cosα-sinα)；1±sin2α=sin2α+cos2α±2sinαcosα=(sinα±cosα)2.例1求下列各式的值：(1)sin25π12-cos25π(2)1-tan(3)cos20°cos40°cos80°.解(1)原式=-cos25π=-cosπ-π6=cos(2)原式=21-tan2=2×1tan(3)原式=2sin20°cos20°cos40°cos80°=2sin40°cos40°cos80°=sin160°8sin20°反思感悟对于给角求值问题，一般有两类(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.跟踪训练1求下列各式的值：(1)sinπ12cosπ(2)tan22.5°1-ta(3)cos4π12-sin4π解(1)原式=12×2sinπ12cosπ(2)原式=12×2tan22.5°1-tan2(3)原式=co=cos2π12-sin2π12=cos二、给值求值例2(1)(课本例5)已知sin2α=513，π4<α<π2，求sin4解由π4<α<又sin2α=513所以cos2α=-1-5于是sin4α=sin[2×(2α)]=2sin2αcos2α=2×513cos4α=cos[2×(2α)]=1-2sin22α=1-2×513tan4α=sin4α例2(1)设α是第二象限角，已知cosα=-35，求sin2α，cos2α和tan2α解∵α是第二象限角，∴sinα>0，∵cosα=-3∴sinα=1-co∴sin2α=2sinαcosα=2×45×cos2α=1-2sin2α=1-2×1625=-∴tan2α=sin2综上所述，sin2α=-2425，cos2α=-725，tan2(2)已知sinπ4-x=513，0<解方法一cos2=2(cosx+sinx=2cosπ4∵0<x<π∴0<π4-x<∴原式=2×1213方法二∵π∴cosπ4+x又∵cos2x=sinπ2-2x=sin=2sinπ∴cos2=2cosπ4∵0<x<π∴0<π4-x<∴原式=2×1213反思感悟解决给值求值问题的方法(1)给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系.(2)当遇到π4±x这样的角时，可利用角的互余关系和诱导公式，将条件与结论关联起来.cos2x=sinπ2-2x①cos2x=sinπ2+2x②sin2x=cosπ2-2x=2cos2③sin2x=-cosπ2+2x=1-2cos跟踪训练2已知3sin2α-π2=7cosα，则cos2αA.-79 B.-C.23 D.答案A解析由3sin2α-π2=7cosα，得3cos2α+7cos所以6cos2α+7cosα-3=0，所以(2cosα+3)(3cosα-1)=0，解得cosα=13或cosα=-32(所以cos2α=2cos2α-1=2×19-1=-7三、倍角公式的综合运用例3已知函数f(x)=2cosx-π6，(1)求f(π)的值；(2)若fα+2π3=65，α∈-解(1)f(π)=2cosπ-π6=-2cosπ6=-2×3(2)因为f

α+2π3=2cosα+π所以sinα=-35又α∈-所以cosα=1-si所以sin2α=2sinαcosα=-24cos2α=2cos2α-1=2×452所以f(2α)=2cos2=2cos2αcosπ6+2sin2αsin=2×725×32反思感悟要结合之前所学的所有的公式，对它们灵活运用，融会贯通，在解决具体问题时，要注意题目中的隐含条件，要会对三角函数值的符号进行判断.尤其是在三角形中，其最多只有一个直角或钝角，正弦值均为正，余弦和正切值并不一定为正.跟踪训练3若α∈(0，π)，cosα，sinα是一元二次方程x2+13x-49=0的两个实根，则cos2α等于(A.179 B.±179 C.-17答案A解析∵cosα，sinα是一元二次方程x2+13x-49∴cosα+sinα=-13，cosα·sinα=-又α∈(0，π)，cosα·sinα=-49<0∴sinα>0，cosα<0，∴cosα-sinα<0，∴cosα-sinα=-(cos=-(cos=--13∴cos2α=cos2α-sin2α=(cosα+sinα)(cosα-sinα)=-11.知识清单：(1)二倍角公式的推导.(2)利用二倍角公式的正用、逆用进行化简、求值和证明.2.方法归纳：转化法.3.常见误区：化简求值开根号时，忽视角的范围、实际问题中隐含的条件.1.化简1+cos230°2的结果是(A.cos115° B.sin115°C.cos35° D.sin25°答案D解析1+cos230°=1-cos50°2=1-2.已知sinα+cosα=75，则sin2α等于(A.-1225 B.1225 C.-24答案D解析因为sinα+cosα=75，两边同时平方得sin2α+2sinαcosα+cos2α=1+sin2α所以sin2α=24253.已知sin2α=-13，则cos2α-πA.-23 B.-13 C.1答案C解析cos2α=1+cos24.设sin2α=-sinα，α∈π2，π，则tan2答案3解析∵sin2α=-sinα，∴2sinαcosα=-sinα.由α∈π2，π知sinα∴cosα=-12，∴α=2π3，∴sinα=32∴tan2α=2tanα课时对点练[分值：100分]单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分1.cos275°+cos215°+cos75°cos15°的值等于()A.62 B.32 C.5答案C解析原式=sin215°+cos215°+sin15°cos15°=1+12sin30°=1+12.已知tanθ=2，则sin(2θ-π)1-sinπA.-12 B.12答案A解析sin(2θ-π)1-sinπ23.已知sin(15°+α)=23，则sin(240°-2α)等于(A.2149C.59 D.-答案D解析由已知可得sin(240°-2α)=sin[270°-(30°+2α)]=-cos(30°+2α)=2sin2(15°+α)-1=2×232-1=-4.数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛，0.618就是黄金分割比m=5-12的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin18°，则m4-m2A.4 B.5+1 C.2 D.5-1答案C解析由题意可知m=2sin18°，所以m2=4sin218°，则m=2sin18°·5.已知α是第二象限角，P(x，4)为其终边上一点，且cosα=x5，则tan2α等于(A.-247 B.127 C.-12答案D解析因为α是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，所以x<0，因为|OP|=x2+16，其中O为坐标原点，cos所以x=-3，所以tanα=-4所以tan2α=2tanα6.(多选)下列各式中，值为32的是(A.1-cos120°B.cos2π12-sin2C.cos15°sin45°-sin15°cos45°D.tan15°答案AB解析选项A，=sin60°=32选项B，cos2π12-sin2π12=cos选项C，cos15°sin45°-sin15°cos45°=sin(45°-15°)=sin30°=12选项D，tan15°1-tan215°7.(多选)已知-π<α<-π2，且cosα=-210，A.sinα=-7B.tanα=5C.cos2α=-24D.sin2α+答案ACD解析因为-π<α<-π2，且cosα所以sinα=-7210，tanα=sinαcosαcos2α=cos2α-sin2α=-2102--sin2α=2sinαcosα=2×-则sin2α+π4=22(sin2α+cos2α)8.(5分)已知等腰三角形底角的正弦值为45，则顶角的余弦值是答案7解析设等腰三角形的底角为α，则顶角为π-2α.∴cos(π-2α)=-cos2α=-(1-2sin2α)=2sin2α-1=2×452-1=9.(5分)已知α∈(0，π)，且sinα+cosα=12，则cos2α的值为答案-7解析∵sinα+cosα=1∴1+2sinαcosα=1∴sinαcosα=-38又∵α∈(0，π)，∴sinα>0，cosα<0，sinα-cosα>0，又(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=7∴sinα-cosα=7∴cos2α=cos2α-sin2α=(cosα-sinα)(cosα+sinα)=-7410.(10分)求证：(1)cos2(A+B)-sin2(A-B)=cos2Acos2B；(6分)(2)cos2θ(1-tan2θ)=cos2θ.(4分)证明(1)左边=1+cos(2=cos(2=12(cos2Acos2B-sin2Asin2B+cos2Acos2B+sin2Asin2=cos2Acos2B=右边，∴原等式成立.(2)方法一左边=cos2θ1-=cos2θ-sin2θ=cos2θ=右边.∴原等式成立.方法二右边=cos2θ=cos2θ-sin2θ=cos2θ1-sin2θcos2θ=cos2θ∴原等式成立.11.函数f(x)=sin2x+3sinxcosx在区间π4，π2A.32 B.1 C.1+3答案A解析f(x)=1-cos2x2+3=12+sin2∵π4≤x≤π2，∴π3≤∴f(x)max=12+1=312.已知α，β是锐角，且1+sin2αcos2α=A.α-β=π3 B.2β-α=C.β-α=π4 D.2β-α=答案C解析由题意得si即(sin即cosα+sinαcosα-sinα=tan即tanπ4+tanα即tanα+π4=tanβ，因为α所以α+π4=β，故β-α=π13.(5分)若sinx-3π4cosx-π4=-1答案1解析∵sinx-3π=-cosx∴cos2x∴1+cos∴cos2x-即sin2x=-1∴cos4x=1-2sin22x=1214.(11分)已知锐角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点Pm，(1)求实数m及tanα的值；(3分)(2)求cos2α+π4(3)若0<β<π2，且cos(α+β)=-513，求sinβ解(1)由于点P在单位圆上，且α是锐角，可得m>0，m2+352则m=45，tanα=(2)因为锐角α的终边与单位圆相交于点P4所以sinα=35，cosα可得cos2α=cos