人教A版高中数学必修一题库 第一章　§1.3　第1课时　并集与交集

第1课时并集与交集学习目标1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.(重点)2.能使用Venn图或数轴表达集合的关系及运算.(难点)导语两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加、减、乘、除等运算.如果把集合与实数相类比，那么两个集合是否也有类似的运算呢？本节就来研究这个问题.一、并集问题1观察集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，C={1，2，3，4}.你能说出集合A，B中的元素与集合C中的元素有什么关系吗？提示集合A中的元素都属于集合C，集合B中的元素都属于集合C；集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成.知识梳理文字语言一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)符号语言A∪B={x|x∈A，或x∈B}图形语言性质A∪B=B∪A，A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=A⇔B⊆A，A⊆A∪B注意点：(1)A∪B仍是一个集合.(2)并集符号语言中的“或”包含三种情况：①x∈A且x∉B；②x∈A且x∈B；③x∉A且x∈B.(3)对概念中“所有”的理解，要注意集合元素的互异性.例1(1)(课本例1)设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，求A∪B.解A∪B={4，5，6，8}∪{3，5，7，8}={3，4，5，6，7，8}.(2)(课本例2)设集合A={x|-1<x<2}，集合B={x|1<x<3}，求A∪B.解A∪B={x|-1<x<2}∪{x|1<x<3}={x|-1<x<3}.例1(1)设A={1，2，4，8}，B={1，4，9}，求A∪B.解A∪B={1，2，4，8}∪{1，4，9}={1，2，4，8，9}.(2)设集合A={x|0≤x<4}，集合B={x|1≤x<5}，求A∪B.解A∪B={x|0≤x<4}∪{x|1≤x<5}={x|0≤x<5}.反思感悟并集运算的关注点(1)若集合中元素个数有限，求并集时可直接根据并集的定义求解.(2)若集合是无限连续的数集，可利用数轴分析求解，要注意端点应为实心点还是空心点.跟踪训练(1)集合A={x|2≤x<4}，B={x|3x-7≥8-2x}，则A∪B等于()A.{x|x≥2} B.{x|2≤x<3}C.{x|3≤x<4} D.{x|2<x<4}答案A解析由B={x|3x-7≥8-2x}={x|x≥3}，得A∪B={x|x≥2}.(2)已知集合A={-1，0，1}，则满足A∪B={-1，0，1，2，3}的集合B可能是()A.{-1，2} B.{-1，0，1，3}C.{-1，0，1} D.{0，2，3}答案D解析{-1，0，1}∪{0，2，3}={-1，0，1，2，3}，故D符合题意.二、交集问题2观察集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，D={2，3}，你能说出集合A，B中的元素与集合D中的元素有什么关系吗？提示集合A中的元素与集合B中的元素的公共部分属于集合D，集合D是由所有既属于集合A又属于集合B的元素组成.知识梳理文字语言一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”)符号语言A∩B={x|x∈A，且x∈B}图形语言性质A∩B=B∩A，A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=A⇔A⊆B，(A∩B)⊆(A∪B)，(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B注意点：(1)A∩B仍是一个集合.(2)文字语言中“所有”的含义：A∩B中任一元素都是A与B的公共元素，A与B的公共元素都属于A∩B.(3)如果两个集合没有公共元素，不能说两个集合没有交集，而是A∩B=∅.例2(课本例4)设平面内直线l1上点的集合为L1，直线l2上点的集合为L2，试用集合的运算表示l1，l2的位置关系.解平面内直线l1，l2可能有三种位置关系，即相交于一点、平行或重合.(1)直线l1，l2相交于一点P可表示为L1∩L2={点P}；(2)直线l1，l2平行可表示为L1∩L2=∅；(3)直线l1，l2重合可表示为L1∩L2=L1=L2.例2例1(1)(2)的条件不变，问题改为求A∩B.解(1)A∩B={1，2，4，8}∩{1，4，9}={1，4}.(2)A∩B={x|0≤x<4}∩{x|1≤x<5}={x|1≤x<4}.延伸探究1若将例2(2)条件改为“A={x|0≤x<4}，B={-1，0，1，2}”，求A∩B.解A={x|0≤x<4}，B={-1，0，1，2}，则A∩B={0，1，2}.反思感悟交集运算的关注点(1)求集合交集的运算类似于并集的运算，其方法为①定义法，②数形结合法.(2)若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解.但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心圈表示.三、根据并集与交集运算求参数范围例3(1)已知集合A={x|x2-px-2=0}，B={x|x2+qx+r=0}，且A∪B={-2，1，5}，A∩B={-2}，则p+q+r等于()A.12 B.6 C.-14 D.-12答案C解析因为A∩B={-2}，所以-2∈A且-2∈B，将x=-2代入x2-px-2=0，得p=-1，所以A={1，-2}，因为A∪B={-2，1，5}，A∩B={-2}，所以B={-2，5}，所以q=-[(-2)+5]=-3，r=(-2)×5=-10，所以p+q+r=-14.(2)已知集合A={x|x≤-1或x≥3}，B={x|a<x<4}，若A∪B=R，则实数a的取值范围是()A.3≤a<4 B.-1<a<4C.a≤-1 D.a<-1答案C解析利用数轴，若A∪B=R，则a≤-1.延伸探究2将例3(2)中的A∪B=R变成A∪B=A，求实数a的取值范围.解由A∪B=A，得B⊆A，当B=∅时，有a≥4，满足题意；当B≠∅时，有a<4,a≥3,综上，实数a的取值范围为{a|a≥3}.延伸探究3将例3(2)中的集合B变为B={x|a<x≤4-a}，且A∪B=R变为A∩B=∅，求实数a的取值范围.解①当B=∅时，有a≥4-a，即a≥2，满足题意；②当B≠∅时，有a<4-a,a≥-1综上，实数a的取值范围为{a|a>1}.反思感悟由集合的运算结果求参数范围的一般步骤(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系.若集合能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系.(2)将集合之间的关系转化为方程(组)或不等式(组).(3)解方程(组)或不等式(组)，从而确定参数的值或取值范围.1.知识清单：(1)并集的概念及运算.(2)交集的概念及运算.(3)根据集合间的运算求参数范围.2.方法归纳：观察法、图示法、数形结合、分类讨论.3.常见误区：在根据运算求参数范围时，容易遗忘空集这一重要的情况.1.若集合A={x|0<x<4}，B={x|-4<x≤2}，则A∩B等于()A.{x|0<x<4} B.{x|-4<x≤2}C.{x|0<x≤2} D.{x|-4<x<4}答案C解析∵A={x|0<x<4}，B={x|-4<x≤2}，∴A∩B={x|0<x≤2}.2.集合M={1，2，3，4，5}，集合N={1，3，5}，则()A.N∈M B.M∪N=MC.M∩N=M D.M>N答案B解析因为NM，所以M∪N=M.3.满足{1，3}∪A={1，3，5}的所有集合A的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4答案D解析由{1，3}∪A={1，3，5}，知A⊆{1，3，5}且A中一定有元素5，因此集合A可以是{5}，{1，5}，{3，5}，{1，3，5}.4.集合A={x|x2-2x+1=0}，B={x|ax-1=0}，A∩B=B，则a=.答案1或0解析A={x|x2-2x+1=0}={1}，∵A∩B=B，∴B={1}或B=∅，故a=1或a=0.课时对点练[分值：100分]单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共24分1.(2025·八省联考)已知集合A={-1，0，1}，B={0，1，4}，则A∩B等于()A.{0} B.{1} C.{0，1} D.{-1，0，1，4}答案C2.已知集合M={-1，0，1}，P={0，1，2，3}，则图中阴影部分表示的集合是()A.{0，1} B.{0}C.{-1，2，3} D.{-1，0，1，2，3}答案D解析由Venn图可知阴影部分表示的集合是M∪P.因为M={-1，0，1}，P={0，1，2，3}，所以M∪P={-1，0，1，2，3}.3.设集合A={(x，y)|y=ax+1}，B={(x，y)|y=x+b}，且A∩B={(2，5)}，则()A.a=3，b=2 B.a=2，b=3C.a=-3，b=-2 D.a=-2，b=-3答案B解析∵A∩B={(2，5)}，∴5=2a+14.已知集合A={1，2}，A∩B={1}，A∪B={0，1，2}，则集合B等于()A.{0，1} B.{0，2} C.{1，2} D.{1}答案A解析∵集合A={1，2}，A∩B={1}，A∪B={0，1，2}，∴1∈B，0∈B，2∉B，则B={0，1}.5.设集合A={x|-1≤x<2}，B={x|x<a}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是()A.a<2 B.a>-2C.a>-1 D.-1<a≤2答案C解析在数轴上表示出集合A，B即可知a的取值范围是a>-1.6.(多选)设集合S={x|-2≤x≤3}，T={x|0<x<7}，若集合P⊆(T∪S)，则P可以是()A.{x|-2≤x≤0} B.{x|3≤x≤6}C.{x|x<7} D.{x|1≤x≤5}答案ABD解析由题意T∪S={x|-2≤x<7}，P可以是选项A，B，D，满足P⊆(T∪S)，C不满足.7.已知集合A={x∈Z|-1≤x<3}，B=xa<x<a+32，若A.aB.aC.aD.a答案C解析因为A={-1，0，1}，B=x由于A∩B有两个元素，则a<-1,0<a+32≤1或-1≤a所以实数a的取值范围是a-8.(5分)满足{1}∪B={1，2}的集合B的个数是.答案2解析由{1}∪B={1，2}，故B可以是{2}，{1，2}，共2个.9.(5分)已知集合A={x|-2<x<4}，集合B={x|x+a-1≥0}，若A∪B={x|x>-2}，则实数a的取值范围为.答案-3≤a<3解析集合A={x|-2<x<4}，集合B={x|x≥1-a}，若A∪B={x|x>-2}，则-2<1-a≤4，解得-3≤a<3.10.(10分)设A={x|x2+ax+12=0}，B={x|x2+3x+2b=0}，A∩B={2}，C={2，-3}.(1)求a，b的值及A，B；(7分)(2)求(A∪B)∩C.(3分)解(1)∵A∩B={2}，∴4+2a+12=0，4+6+2b=0，即a=-8，b=-5，∴A={x|x2-8x+12=0}={2，6}，B={x|x2+3x-10=0}={2，-5}.(2)∵A∪B={-5，2，6}，C={2，-3}，∴(A∪B)∩C={2}.11.(多选)若集合M⊆N，则下列结论正确的有()A.M∪N=N B.M∩N=NC.M⊆(M∩N) D.(M∪N)⊆N答案ACD解析因为M⊆N，所以M∪N=N，A正确；M∩N=M，当M≠N时，M∩N≠N，B错误；因为M∩N=M，而M⊆M，所以M⊆(M∩N)，C正确；因为M∪N=N，而N⊆N，所以(M∪N)⊆N，D正确.12.(多选)设集合A={x|x2-(a+2)x+2a=0}，B={x|x2-5x+4=0}，集合A∪B中所有元素之和为7，则实数a的值可以为()A.0 B.1 C.2 D.3答案ABC解析B={x|x2-5x+4=0}={1，4}，对于集合A，x2-(a+2)x+2a=0，解得x=2或x=a，当a=2时，A={2}，A∪B={1，2，4}，因为1+2+4=7，所以符合题意；当a≠2时，A={2，a}，A∪B中必含有1，2，4，因为1+2+4=7，所以a=0或1或4.综上所述，实数a的值可以为0，1，2，4.13.(5分)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种.则该网店：(1)第一天售出但第二天未售出的商品有种；

(2)这三天售出的商品最少有种.答案(1)16(2)29解析设三天都售出的商品有x种，第一天售出，第二天未售出，且第三天售出的商品有y种，则三天售出商品的种类关系如图所示.由图可知，(1)第一天售出但第二天未售出的商品有19-(3-x)-x=16(种).(2)这三天售出的商品有(16-y)+y+x+(3-x)+(6+x)+(4-x)+(14-y)=43-y(种).由于16-y≥0,y≥所以(43-y)min=43-14=29.14.(10分)已知集合A={x|-3≤x≤4}，B={x|2m-1<x<m+1}.(1)若m=-3，求A∩B；(4分)(2)若A∪B=A，求实数m的取值范围.(6分)解(1)当m=-3时，B={x|-7<x<-2}，故A∩B={x|-3≤x<-2}.(2)因为A∪B=A，故B⊆A，若2m-1≥m+1，即m≥2，则B=∅，符合题意；若m<2，则2m-1≥-3,m综上，实数m的取值范围是{m|m≥-1}.15.(多选)已知集合A={x|(x-2)(x-a)=0，a∈R}，B={x|(x-1)(