人教A版高中数学必修一题库 第一章　§1.3　第2课时　全集、补集及综合运用

第2课时全集、补集及综合运用学习目标1.了解全集的含义及其符号表示.2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集.(重点)3.会用Venn图、数轴进行集合的运算.(难点)导语在研究问题时，我们经常需要确定研究问题的范围，比如方程(x-2)(x2-3)=0，在有理数范围内，解集为{2}；在实数范围内，解集为{2，3，-3一、全集与补集问题若U={2，3，-3}，A={2}，B={3，-3}，集合U与集合A提示集合U是我们研究对象的全体，A⊆U，B⊆U，A∩B=∅，A∪B=U.其中集合A与集合B有一种“互补”的关系.知识梳理1.全集定义一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集记法U2.补集定义文字语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA符号语言∁UA={x|x∈U，且x∉A}图形语言性质(1)∁UA⊆U；(2)∁UU=∅，∁U∅=U；(3)∁U(∁UA)=A；(4)A∪(∁UA)=U；A∩(∁UA)=∅注意点：(1)“全集”不是固定不变的，是可以随着具体问题的改变而改变的.(2)补集是集合的一种运算，求集合A的补集时需要首先明确全集，且保证集合A是全集U的子集，当全集U不同时，得到的A的补集也不同，因此补集和全集是相互依存、不可分割的.(3)∁UA包含三层含义：①A⊆U；②∁UA是一个集合，且∁UA⊆U；③∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合.例1(课本例5)设U={x|x是小于9的正整数}，A={1，2，3}，B={3，4，5，6}，求∁UA，∁UB.解根据题意可知，U={1，2，3，4，5，6，7，8}，所以∁UA={4，5，6，7，8}，∁UB={1，2，7，8}.例1(1)设U={x|x是小于7的自然数}，A={2，3，4}，B={1，5，6}，求∁UA，∁UB.解根据题意可知，U={0，1，2，3，4，5，6}，所以∁UA={0，1，5，6}，∁UB={0，2，3，4}.(2)已知A=R，B={x|0<x≤5}，求∁AB.解由题意可知∁AB={x|x≤0或x>5}.延伸探究1若把例1(2)中的“A=R”改为“A={x|0≤x<9}”，求∁AB.解由题意可知∁AB={x|x=0或5<x<9}.反思感悟两种求补集的方法(1)若所给的集合是用列举法表示的，则从全集中去掉集合A中元素后的剩余元素组成的集合即为所求补集，也可以采用Venn图求解.(2)若所给的集合是用描述法表示的，我们需要明确该集合具体表示的是什么，如果是有关不等式的集合，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的定义求解，注意端点值的取舍.跟踪训练1(1)若集合A={x|-1≤x<1}，当U={x|x≤2}时，∁UA=，当U={x|-4≤x≤1}时，∁UA=.答案{x|x<-1或1≤x≤2}{x|-4≤x<-1或x=1}解析当U={x|x≤2}时，把集合U和A表示在数轴上，如图所示.由图知∁UA={x|x<-1或1≤x≤2}.当U={x|-4≤x≤1}时，把集合U和A表示在数轴上，如图所示.由图知∁UA={x|-4≤x<-1或x=1}.(2)(多选)已知U为全集，若A∩B=A，则()A.A⊆B B.B⊆AC.(∁UA)⊆(∁UB) D.(∁UB)⊆(∁UA)答案AD解析因为A∩B=A，所以A⊆B，故A正确，B错误；所以(∁UB)⊆(∁UA)，故C错误，D正确.二、交、并、补集的综合运算例2若在例1(2)的条件中增加“C={x|-1≤x<3}”，求：(1)(∁AB)∩(∁AC)；(2)∁A(B∪C)；(3)∁A(B∩C)；(4)(∁AB)∪(∁AC).解由数轴(图略)可得∁AB={x|x≤0或x>5}，∁AC={x|x<-1或x≥3}，B∪C={x|-1≤x≤5}，B∩C={x|0<x<3}.(1)(∁AB)∩(∁AC)={x|x<-1或x>5}.(2)∁A(B∪C)={x|x<-1或x>5}.(3)∁A(B∩C)={x|x≤0或x≥3}.(4)(∁AB)∪(∁AC)={x|x≤0或x≥3}.反思感悟(1)进行集合的交、并、补运算时，要首先明确题目中包含哪些运算，再依据各自的定义，并结合集合的表示形式，选择用Venn图法或数轴法来求解.(2)明确运算顺序，先算括号内的，再按照从左到右的顺序依次运算.(3)从上面的例题我们可以得到以下两个结论：①(∁AB)∩(∁AC)=∁A(B∪C)，②∁A(B∩C)=(∁AB)∪(∁AC)，同学们可以用Venn图验证上面的结论.跟踪训练2(1)设全集U={1，3，5，6，8}，A={1，6}，B={5，6，8}，则(∁UA)∩B等于()A.{6} B.{5，8}C.{6，8} D.{3，5，6，8}答案B解析∵∁UA={3，5，8}，∴(∁UA)∩B={5，8}.(2)(2023·全国乙卷)设集合U=R，集合M={x|x<1}，N={x|-1<x<2}，则{x|x≥2}等于()A.∁U(M∪N) B.N∪∁UMC.∁U(M∩N) D.M∪∁UN答案A解析由题意可得M∪N={x|x<2}，则∁U(M∪N)={x|x≥2}，故A正确；∁UM={x|x≥1}，则N∪∁UM={x|x>-1}，故B错误；M∩N={x|-1<x<1}，则∁U(M∩N)={x|x≤-1或x≥1}，故C错误；∁UN={x|x≤-1或x≥2}，则M∪∁UN={x|x<1或x≥2}，故D错误.三、利用集合间的关系求参数范围例3已知全集U=R，集合A={x|x≤-2或x≥3}，B={x|2m+1<x<m+7}，若(∁UA)∩B=B，求实数m的取值范围.解因为A={x|x≤-2或x≥3}，所以∁UA={x|-2<x<3}，因为(∁UA)∩B=B，所以B⊆(∁UA).①当B=∅时，即2m+1≥m+7，所以m≥6，满足(∁UA)∩B=B.②当B≠∅时，则2m+1<故实数m的取值范围是{m|m≥6}.延伸探究2若把本例的条件“(∁UA)∩B=B”改为“(∁UA)∪B=B”，则实数m的取值范围为.答案m解析因为(∁UA)∪B=B，所以(∁UA)⊆B，所以2解得-4≤m≤-3故实数m的取值范围为m-4反思感悟由集合的补集求解参数的方法(1)由补集求参数问题，若集合中元素个数有限，可利用补集定义并结合集合知识求解.(2)与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个，一般利用数轴分析法求解.1.知识清单：(1)全集与补集及性质.(2)交、并、补集的综合运算.(3)利用集合间的关系求参数范围.2.方法归纳：观察法、分析法、数形结合、分类讨论.3.常见误区：解决含参的集合运算时要注意空集及端点.1.设全集U={x|x是小于5的非负整数}，A={2，4}，则∁UA等于()A.{1，3} B.{1，3，5}C.{0，1，3} D.{0，1，3，5}答案C2.设全集U是实数集R，M={x|x<-2或x>2}，N={x|1≤x≤3}，如图，则阴影部分所表示的集合为()A.{x|-2≤x<1} B.{x|-2≤x<3}C.{x|x≤2或x>3} D.{x|-2≤x≤2}答案A解析由题图可知，阴影部分表示的集合为∁U(M∪N)，∵M∪N={x|x<-2或x≥1}，∴∁U(M∪N)={x|-2≤x<1}.3.已知全集U={-1，1，3}，集合A={a+2，a2+2}，且∁UA={-1}，则a的值是()A.-1 B.1 C.3 D.±1答案A解析由已知A={1，3}，又∵a2+2>1，∴a2+2=3且a+2=1，∴a=-1.4.已知U={x|x>0}，A={x|2≤x<6}，则∁UA=.答案{x|0<x<2或x≥6}解析如图，分别在数轴上表示两集合，则由补集的定义可知，∁UA={x|0<x<2或x≥6}.课时对点练[分值：100分]单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分1.已知集合A={x|x是菱形或矩形}，B={x|x是矩形}，则∁AB等于()A.{x|x是菱形}B.{x|x是内角都不是直角的菱形}C.{x|x是正方形}D.{x|x是邻边都不相等的矩形}答案B解析由集合A={x|x是菱形或矩形}，B={x|x是矩形}，则∁AB={x|x是内角都不是直角的菱形}.2.(2024·全国甲卷)已知集合A={1，2，3，4，5，9}，B=xx∈A，则∁A(A∩B)A.{1，4，9} B.{3，4，9}C.{1，2，3} D.{2，3，5}答案D解析因为A={1，2，3，4，5，9}，B={x|x∈A}，所以B={1，4，9，16，25，81}，则A∩B={1，4，9}，∁A(A∩B)={2，3，5}.3.设集合S={x|x>-2}，T={x|-4≤x≤1}，则(∁RS)∪T等于()A.{x|-2<x≤1} B.{x|x≤-4}C.{x|x≤1} D.{x|x≥1}答案C解析因为S={x|x>-2}，所以∁RS={x|x≤-2}，又T={x|-4≤x≤1}，所以(∁RS)∪T={x|x≤-2}∪{x|-4≤x≤1}={x|x≤1}.4.已知全集U=R，集合A={x|x<-1或x>4}，B={x|-2≤x≤3}，那么阴影部分表示的集合为()A.{x|-2≤x<4}B.{x|x≤3或x≥4}C.{x|-2≤x≤-1}D.{x|-1≤x≤3}答案D解析由题意得，阴影部分所表示的集合为(∁UA)∩B={x|-1≤x≤4}∩{x|-2≤x≤3}={x|-1≤x≤3}.5.设集合U={1，2，3，4}，M={x|x2-7x+p=0}，若∁UM={1，2}，则实数p的值为()A.-6 B.-12 C.12 D.6答案C解析由于集合U={1，2，3，4}，M={x|x2-7x+p=0}，∁UM={1，2}，故M={3，4}，即x2-7x+p=0的两实根为3，4，故p=3×4=12.6.已知M，N均为实数集R的子集，且N∩(∁RM)=∅，则M∪N等于()A.M B.N C.R D.∅答案A解析∵N∩(∁RM)=∅，∴N⊆M，∴M∪N=M.7.(多选)下列说法中，当U为全集时，正确的是()A.若A∩B=∅，则(∁UA)∪(∁UB)=UB.若A∩B=∅，则A=∅或B=∅C.若A∪B=U，则(∁UA)∩(∁UB)=∅D.若A∪B=∅，则A=B=∅答案ACD解析因为A∩B=∅，(∁UA)∪(∁UB)=∁U(A∩B)=∁U∅=U，故A正确；A∩B=∅，例如A={1，2}，B={3，4}，A∩B=∅，但A≠∅且B≠∅，故B错误；A∪B=U，(∁UA)∩(∁UB)=∁U(A∪B)=∁UU=∅，故C正确；A∪B=∅，则A，B都是∅，故D正确.8.(5分)已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={3，4，5}，B={2，3，4}，则∁U(A∩B)=.答案{1，2，5}解析A∩B={3，4}，所以∁U(A∩B)={1，2，5}.9.(5分)已知全集U=R，集合A={x|x<-1}，B={x|2a<x<a+3}，且B⊆∁RA，则实数a的取值范围为.答案a解析由题意得∁RA={x|x≥-1}.①若B=∅，则a+3≤2a，即a≥3，满足B⊆∁RA；②若B≠∅，则由B⊆∁RA，得2a≥-1且2a<a+3，解得-12≤a<3.综上，实数a的取值范围为a10.(10分)设全集为R，A={x|3≤x<7}，B={x|2<x<10}，求：(1)A∩B；(3分)(2)∁RA；(3分)(3)∁R(A∪B).(4分)解(1)∵A={x|3≤x<7}，B={x|2<x<10}，∴A∩B={x|3≤x<7}.(2)∵全集为R，A={x|3≤x<7}，∴∁RA={x|x<3或x≥7}.(3)∵A∪B={x|2<x<10}，∴∁R(A∪B)={x|x≤2或x≥10}.11.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A.62% B.56% C.46% D.42%答案C解析设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x，用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占的比例之间的关系如图，则(60%-x)+(82%-x)+x=96%，解得x=46%.12.(多选)设全集U={1，2，3，4，5}，集合S与T都是U的子集，满足S∩T={2}，(∁US)∩T={4}，(∁US)∩(∁UT)={1，5}，则有()A.3∈S B.3∈∁US C.3∈T D.3∈∁UT答案AD解析因为S∩T={2}，所以2∈S，且2∈T，又(∁US)∩T={4}，所以4∉S，4∈T，又(∁US)∩(∁UT)={1，5}，所以∁U(S∪T)={1，5}，所以1，5∉(S∪T)，3∈(S∪T)，3∉(S∩T)，若3∈T，则3∉S，3∈(∁US)∩T，与(∁US)∩T={4}矛盾，所以3∈S，3∉T，3∈∁UT.13.(5分)已知集合S={x|0<x<9}，集合A={x|8<x<10}，B={x|a<x<2a-1}，若(∁SB)∩A={x|8<x<9}，则实数a的取值范围是.答案a解析当B=∅时，2a-1≤a，得a≤1，此时∁SB=S，(∁SB)∩A=S∩A={x|8<x<9}，符合题意；当B≠∅时，2a-1>a，得a>1，因为S={x|0<x<9}，B={x|a<x<2a-1}，所以∁SB={x|0<x≤a或2a-1≤x<9}，因为(∁SB)∩A={x|8<x<9}，所以2a-1≤8，得a≤9所以当B≠∅时，1<a≤9综上所述，实数a的取值范围是aa14.(11分)已知集合A={x|a<x<a+1}，B={x|0≤x≤2}.(1)若a=1，求A∪B；(4分)(2)在①A∩B=∅，②(∁RB)∩A=∅，③B∪(∁RA)=R这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范