人教版九年级数学 秋季培优讲义 第15讲-圆中n大基本定理-讲义

圆中n大基本定理第一讲

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垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

垂径定理的推论：

①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．

注：垂径定理及其推论可以简记为：①过圆心；②垂直弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧，这五者知二可推三．不过我们应当注意，当“经过圆心平分弦”作为题设时，必须是非直径的弦，因为圆中任何两条直径都互相平分．

垂径定理的常见图模：如图所示，OA、AB、AD、OC、CD这五者之间，知二可推三．

圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

圆周角定理的推论：

1．OABCD2．在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等．3．圆的内接四边形对角互补．弧弦角距的关系：同圆或等圆中，弧、弦、角、距一等推三等．

点点精讲点点精讲题型一题型一垂径定理OABMOCABDEOABCOCBDAE（1）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，则下面结论中错误的是（）

A．

B．

C．

D．

（2）如图，BC是⊙O的弦，OA⊥BC，垂足为A，若⊙O的半径为13，，则线段OA的长为（）

A．5

B．6

C．7

D．8

（3）如图，在⊙O中，弦AB⊥AC，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，若，，则⊙O的半径OA的长为（）

A．7

B．6

C．5

D．4

（4）如图，⊙O的半径为10，弦，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是（）

A．5

B．7

C．OABMOCABDEOABCOCBDAEOACBDEOCABOABP（1）如图，⊙O的半径为3，点P是弦AB延长线上的一点，连结OP，若，，则弦AB的长为（）

A．

B．

C．

D．2

（2）如图，圆O过点A、B，圆心O在正△ABC的内部，，，则圆O的半径为（）

A．

B．

C．

D．

（3）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，若，，则CD的长（）

A．

B．

C．

D．4

OACBDEOCABOABPOMOP（1）如图，若过⊙O内一点M最长弦长为10，最短的弦长为8，则OM的长为（）

A．3

B．5

C．2

D．4

（2）如图，点P为⊙O内一点，且，若⊙O的半径为10，则过点P的弦长不可能为（）

A．17

B．

C．16

D．15.5OMOPOAB（1）已知⊙O的半径为13，弦AB∥CD，，，则AB、CD之间的距离为____________．

（2）如图，⊙O的半径为5，弦，则圆上到弦AB所在的直线距离为2的点有________个．

OAB题型二题型二圆周角定理OADCBEOABCOCAB（1）如图，△ABC内接于⊙O，，，则⊙O的半径为（）

A．1

B．

C．2

D．

（2）如图，A、B、C是⊙O上三点，，则的度数是（）

A．

B．

C．

D．

（3）如图，A、B、E为⊙O上的点，⊙O的半径OC⊥AB于点D，若，，则AB的长为（）

A．

B．4

C．

D．6

OADCBEOABCOCABOABDC（1）如图，AB为⊙O的直径，，则的度数为________．

（2）如图，直径为10的⊙A经过点和点，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，AOBCyx则的度数为__________．

OABDCAOBCyxOAPBOABCD（1）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若，则的度数为_________．

（2）如图，⊙O的半径是2，AB是的⊙O弦，点P是弦AB上的动点，点P在AB上运动的过程中，，则弦AB所对的圆周角的度数是_________．

（3）△ABC为⊙O的内接三角形，若，则的度数为_____________OAPBOABCD点点精练点点精练OABECD如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，垂足为点E，如果，且，求弦CD的长．

OABECDAOBC如图，⊙O是△ABC的外接圆，，则的大小是（）

A．

B．

C．

D．

AOBCOABC如图，⊙O是△ABC的外接圆，，则的度数为（）

A．

B．

C．

D．

OABC板块二相交弦定理板块二相交弦定理与割线定理相交弦定理与割线定理相交弦定理与割线定理割线定理相交弦定理割线定理相交弦定理

OABPDCADOBCP课堂笔记

相交弦定理：圆内两条相交弦中，每条弦被交点分成的两条线段的乘积相等．

如图所示，圆内的两条弦AB、CD相交于点P，

则一定有：．

割线定理：过圆外一点作圆的两条割线，这点到每条割线与圆交点的两条线段长的积相等．

OABPDCADOBCP课堂笔记点点精讲点点精讲题型一题型一相交弦定理ADOBCP如图所示，圆内的两条弦AB、CD相交于点P，求证：．

ADOBCP（1）已知点P是⊙O内的一点，弦AB与弦CD交于点P，，则_________．

（2）已知AB，CD都是⊙O的弦，交点为P，已知，，且，

则AB的长为_________．

已知AB是⊙O的一条弦，P是AB上一点．

（1）若，，，求⊙O的半径．

（2）若⊙O的半径为8，，，求OP的长度．

OABPC

OABPC题型二题型二割线定理OABPDC如图，PA和圆交于A、B两点，PC和圆交于C、D两点，求证：．

OABPDC已知点P是⊙O外的一点，线段PB与⊙O交于A、B两点，线段PD与⊙O交于C、D两点，，则______．

ACBDP如图，PAB、PCD是⊙O的两条割线，

（1）若，，，求CD的长；

（2）若，，，求PC的长．

ACBDP点点精练点点精练OPABCD如图，⊙O中弦AB、CD相交于点P，若，，，则_______．

OPABCDOCDPAB如图，从⊙O外一点P引⊙O的割线PAB和PCD，PCD过圆心O，若，，，则⊙O的半径为________．

OCDPAB横扫学霸横扫学霸cs0109q0001OAEDBCH如图