2026年电动力学期末考试试题及答案

2026年电动力学期末考试试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1.麦克斯韦在建立电磁场理论时，对安培环路定理的关键修正是引入了（）A.位移电流密度B.传导电流密度C.磁化电流密度D.极化电流密度答案：A2.真空中平面电磁波的电场强度E与磁感应强度B的关系为（）A.E=cB，且E、B、传播方向k满足右手螺旋B.B=cE，且E、B、k共线C.E=(1/c)B，且E、B正交于kD.B=(1/c)E，且E、B、k构成右手系答案：A3.无限大均匀介质（ε,μ）中，频率为ω的单色平面波的波矢大小k等于（）A.ω√(εμ)B.ω√(ε₀μ₀)C.ω/(√(εμ))D.√(εμ)/ω答案：A4.静电力做功与路径无关的本质原因是（）A.电场强度的旋度为零B.电场强度的散度等于电荷密度/ε₀C.电势的梯度等于电场强度D.电荷守恒定律答案：A5.当电磁波从光疏介质（n₁）垂直入射到光密介质（n₂>n₁）时，反射波的电场相位变化为（）A.0B.πC.π/2D.不确定答案：B6.洛伦兹规范条件的表达式为（）A.∇·A+μ₀ε₀∂φ/∂t=0B.∇×A+μ₀ε₀∂φ/∂t=0C.∇·A-μ₀ε₀∂φ/∂t=0D.∇×A-μ₀ε₀∂φ/∂t=0答案：A7.一个作匀速直线运动的点电荷q，其电场分布的特点是（）A.各向同性的库仑场B.电场集中在垂直于运动方向的平面附近C.电场沿运动方向增强D.电场与静止时相同，但电势发生多普勒频移答案：B8.电偶极辐射的平均能流密度与距离r的关系为（）A.与r⁻¹成正比B.与r⁻²成正比C.与r⁻³成正比D.与r⁻⁴成正比答案：B9.介质的极化强度P与电场强度E的关系为P=χₑε₀E，其中χₑ为电极化率，则介质的相对介电常数εᵣ=（）A.1+χₑB.χₑC.1-χₑD.ε₀χₑ答案：A10.相对论中，电磁场张量Fᵤᵥ是一个反对称二阶张量，其独立分量的个数为（）A.4B.6C.8D.10答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1.真空中麦克斯韦方程组的微分形式为：∇·E=ρ/ε₀，∇×E=-∂B/∂t，∇·B=0，∇×B=μ₀j+______。答案：μ₀ε₀∂E/∂t2.坡印廷矢量的定义式为S=______，其物理意义是______。答案：E×B/μ₀；单位时间内通过单位垂直面积的电磁能量3.均匀导电介质（电导率σ）中，自由电荷密度随时间的衰减规律为ρ(t)=ρ₀exp(-______)，其中ρ₀为初始电荷密度。答案：t/(ε/σ)4.时谐场中，磁矢势A满足的达朗贝尔方程为∇²A-μ₀ε₀∂²A/∂t²=-μ₀j，若采用洛伦兹规范，标势φ与A的关系为______。答案：∇·A=-μ₀ε₀∂φ/∂t5.电偶极子辐射的远场中，电场强度E与磁感应强度B的振幅比为______，且两者相位______（填“相同”或“相反”）。答案：c（或√(μ₀/ε₀)）；相同三、计算题（每题10分，共50分）1.半径为a的导体球带总电荷Q，球外充满介电常数为ε的均匀介质，求：（1）空间各区域的电场强度E；（2）介质中的极化电荷面密度σ'。解：（1）由于导体球静电平衡时电荷均匀分布在表面，球内电场为0。球外（r>a）利用高斯定理：∮E·dS=Q/ε⇒E=(Q)/(4πεr²)eᵣ（r>a）；r≤a时E=0。（2）极化强度P=ε₀χₑE=ε₀(εᵣ-1)E=εE-ε₀E=(ε-ε₀)E（r>a）。介质表面（r=a）的极化电荷面密度σ'=P·eᵣ=(ε-ε₀)E|ᵣ=a=(ε-ε₀)Q/(4πεa²)=Q(1-ε₀/ε)/(4πa²)。2.频率为ω的单色平面波从真空（ε₀,μ₀）垂直入射到电导率为σ、介电常数为ε的良导体表面（σ>>ωε），求：（1）波在导体中的趋肤深度δ；（2）反射系数R。解：（1）良导体中，复介电常数ε'=ε-iσ/ω≈-iσ/ω（因σ>>ωε），波数k=ω√(μ₀ε')=ω√(μ₀σ/(2ω))(1-i)=√(ωμ₀σ/2)(1-i)，趋肤深度δ=1/Re(k)=√(2/(ωμ₀σ))。（2）真空波阻抗η₀=√(μ₀/ε₀)≈377Ω，导体波阻抗η=√(μ₀/ε')≈√(iωμ₀/σ)=√(ωμ₀/(2σ))(1+i)。反射系数R=|(η-η₀)/(η+η₀)|²≈|η/η₀|²（因η<<η₀），代入η得R≈(ωμ₀)/(2ση₀²)=ωμ₀/(2σ(μ₀/ε₀))=ωε₀/(2σ)（σ>>ωε时，ε可忽略）。3.无限长直导线通有电流I(t)=I₀e^{-γt}（γ>0），求空间中的推迟势A(r,t)和电场强度E(r,t)（假设导线沿z轴，r为到导线的垂直距离）。解：推迟势A的z分量为A_z(r,t)=(μ₀/(4π))∫(I(t')/R)dl，其中t'=t-R/c，R=√(r²+z²)。因导线无限长，积分∫_{-∞}^{∞}[e^{-γ(t-√(r²+z²)/c)}]/√(r²+z²)dz。令u=z/r，则积分变为r∫_{-∞}^{∞}e^{-γt+γr√(1+u²)/c}/(r√(1+u²))du=e^{-γt}∫_{-∞}^{∞}e^{(γr/c)√(1+u²)}/√(1+u²)du。注意到√(1+u²)≥1，当γr/c<<1（近区）时，√(1+u²)≈1+u²/2，积分近似为∫_{-∞}^{∞}e^{(γr/c)(1+u²/2)}/√(1+u²)du≈e^{γr/c}∫_{-∞}^{∞}e^{(γr/(2c))u²}/|u|du（u很大时√(1+u²)≈|u|），但更简单的方法是利用静磁近似（γr/c<<1，即推迟效应可忽略），此时A_z≈(μ₀I(t)/(2π))ln(1/r)（常数项略去）。电场E=-∂A/∂t=(μ₀γI₀e^{-γt}/(2π))ln(1/r)e_z（严格解需保留推迟项，但近区近似下结果合理）。4.一个电偶极子p(t)=p₀cosωt沿z轴放置，求其远场辐射的电场强度E、磁感应强度B和平均辐射功率P。解：远场（r>>λ=2πc/ω）中，推迟势A(r,t)=(μ₀/(4πr))(dp(t')/dt)eᵣ×e_θ（e_θ为θ方向单位矢量），t'=t-r/c。电场E=(μ₀ω²p₀sinθ/(4πc²r))cosω(t-r/c)e_θ，磁感应强度B=(μ₀ω²p₀sinθ/(4πcr))cosω(t-r/c)e_φ（B=E/c，且E⊥B⊥r）。平均能流密度<S>=(1/(2μ₀c))|E|²eᵣ=(μ₀ω⁴p₀²sin²θ)/(32π²c³r²)eᵣ。总平均辐射功率P=∫<S>·r²sinθdθdφ=(μ₀ω⁴p₀²)/(12πc³)。5.两个点电荷q₁和q₂分别以速度v₁和v₂（v<<c）运动，求它们之间的相互作用力（保留到v²/c²项）。解：运动电荷的电场近似为库仑场，磁场B=(μ₀/(4πr³))q(v×r)（毕奥-萨伐尔定律）。q₁对q₂的作用力F=q₂(E₂+v₂×B₂)，其中E₂是q₁在q₂处的电场，近似为q₁/(4πε₀r²)eᵣ；B₂是q₁的磁场，B₂=(μ₀q₁v₁×r)/(4πr³)。因此F≈q₁q₂/(4πε₀r²)eᵣ+q₂v₂×(μ₀q₁v₁×r)/(4πr³)。利用矢量恒等式a×(b×c)=b(a·c)-c(a·b)，第二项为(μ₀q₁q₂/(4πr³))[v₁(v₂·r)-r(v₁·v₂)]。由于μ₀=1/(ε₀c²)，可写成(ε₀q₁q₂/(4πr³c²))[v₁(v₂·r)-r(v₁·v₂)]，即相对论修正项（v²/c²量级）。四、证明题（每题10分，共20分）1.证明：在各向同性线性介质中，电磁场的能量密度w=(1/2)(E·D+H·B)，并推导能量守恒定律的微分形式。证明：考虑介质中电磁场对电荷的作用力密度f=ρE+j×B。由麦克斯韦方程，ρ=∇·D，j=∇×H-∂D/∂t。功率密度f·v=ρE·v+(∇×H-∂D/∂t)·(v×B)（但更直接的方法是利用能量变化率）。电磁场能量变化率为∂w/∂t+∇·S=-f·v，其中S为坡印廷矢量。对于线性介质D=εE，B=μH，计算∂w/∂t：由麦克斯韦方程，E·∂D/∂t+H·∂B/∂t=E·(ε∂E/∂t)+H·(μ∂H/∂t)=∂/∂t[(1/2)εE²+(1/2)μH²]=∂w/∂t。又由∇·(E×H)=H·(∇×E)-E·(∇×H)=-H·∂B/∂t-E·(j+∂D/∂t)（因∇×E=-∂B/∂t，∇×H=j+∂D/∂t），整理得E·j=-∇·(E×H)-(E·∂D/∂t+H·∂B/∂t)=-∇·S-∂w/∂t（S=E×H）。而E·j是单位体积内电磁场对电荷做功的功率（f·v=j·E），故能量守恒定律为∂w/∂t+∇·S=-j·E，其中w=(1/2)(E·D+H·B)。2.证明：平面电磁波在无界均匀介质中传播时，电场强度E、磁感应强度B和波矢k满足E⊥B，E⊥k，B⊥k（即横波性）。证明：设平面波为E(r,t)=E₀e^{i(k·r-ωt)}，B(r