2027高考数学【一轮复习】导数的概念及其意义、导数的运算

第页3.1导数的概念及其意义、导数的运算【课标要求】1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数；2.通过函数图象，理解导数的几何意义；3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数．夯实必备知识【知识梳理】1.导数的概念(1)函数在处的导数记作或..(2)函数的导函数(简称导数).2.导数的几何意义函数在处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的，相应的切线方程为．3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数(c为常数)(，且)(，且)(，且)4.导数的运算法则若，存在，则有；；()；.5.复合函数的定义及其导数复合函数的导数与函数，的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．【提醒】1.代表函数在处的导数值，是函数值的导数，且；2.求导运算是对自变量求导，需要区别自变量和常量，例如，则；3.在点处的切线与过点的切线的区别(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条；(2)过点的切线，该点不一定是切点，切线不一定只有一条.【常用结论】1．可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数，可导周期函数的导数还是周期函数(课时训练T8)；2．熟记以下结论：(1)；；(2)，；(3).【课前自测】1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)曲线在某点处的切线与曲线过某点的切线意义是相同的．()(2)在点处的函数值就是函数在点处的导数值．()(3)若，则．()(4)若，则．()2.(选择性必修第二册P70T7改编)已知曲线，则曲线在点处的切线的倾斜角为.3.(易错题：求导错误)已知函数，则（

）A．4 B． C．2 D．4.(选修二P82T11改编)已知曲线在处的切线与直线平行，则实数的值为．精研核心考点考点1导数的运算考向1导数的运算例1(1)(25-26高三上·北京·阶段练习)函数的导数仍是的函数，通常把导函数的导数叫作函数的二阶导数，记作，类似的，二阶导数的导数叫作三阶导数，三阶导数的导数叫作四阶导数……，一般地，阶导数的导数叫作阶导数，函数的阶导数记为，例如的阶导数.若，则（

）A． B．2026 C． D．2025(2)求下列函数的导数：①；②；③；④；⑤．【解题技法】对点训练1(1)设的导函数为，的导函数为，…，的导函数为，若对于任意正整数，集合，则的表达式可以是（

）A． B． C． D．(2)求下列函数的导数：①；②；③；④；⑤．考点2导数的几何意义考向1求切线方程例2(1)【2020·全国I卷·高考真题】曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为.(2)【2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题】曲线过坐标原点的两条切线的方程为，．【解题技法】求曲线的切线方程的2种类型及方法：对点训练2(1)(25-26高三上·广东广州·阶段练习)已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（

）A． B．C． D．(2)过点作函数图像的切线，则切线方程为（

）A． B．C． D．考向2求参数的值(或取值范围)例3(1)【2025·全国一卷·高考真题】若直线是曲线的一条切线，则.(2)【2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题】若过点可以作曲线的两条切线，则（

）A． B．C． D．【解题技法】1.处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上；(3)切点在曲线上．2.注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”．对点训练3(1)(25-26高三上·安徽六安·阶段练习)已知，，直线与曲线相切，则的最小值为（

）A． B． C． D．(2)【2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题】若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是．考向3两曲线的公切线例4【2024·新课标Ⅰ卷·高考真题】若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则.【解题技法】1．求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法；2．公切线条数的判断问题可转化为方程根的个数求解问题.对点训练4(2025·湖南长沙·模拟预测)若曲线与有公共的切线，则的最大值为（

）A．-2 B．2 C．-1 D．1【教考衔接】衔接教材1(选择性必修第二册P820T11)设曲线在点处的切线与直线垂直．求a的值．【2025·全国一卷·高考真题】若直线是曲线的一条切线，则.教考衔接1.求曲线切线方程的步骤：(1)求出函数在点处的导数，即曲线在点处切线的斜率；(2)由点斜式方程求得切线方程为.2.提醒：注意“过”与“在”的区别，前者为切点，而后者不一定为切点.变式练1(2025·安徽·一模)若直线与曲线相切，则实数的值为（

）A．0 B．1 C． D．变式练2已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线重合，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．课时练导数的概念及其意义、导数的运算【试题部分】一、单选题1．(25-26高三上·江西·阶段练习)已知函数的导函数为，若，则（

）A．20 B．18 C．16 D．142．(2025·四川绵阳·一模)曲线在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．3．(25-26高三上·广东湛江·阶段练习)曲线在点处的切线l过定点（

）A． B． C． D．4．（25-26高三上·四川成都·阶段练习）已知直线是曲线的切线，则（

）A． B． C． D．5．(2025·河南·模拟预测)曲线与的公切线的条数为（

）A．0 B．1 C．2 D．36.(25-26高三上·北京·阶段练习)若对，，使得成立，则称函数满足性质，下列函数不满足性质的是（

）A． B．C． D．二、多选题7.(25-26高三上·河北石家庄·阶段练习)下列求导运算正确的是（

）A．B．C．D．8.已知定义在上的可导函数是偶函数，且满足，则下列结论一定正确的是（

）A．是的一个周期 B．的图象关于点中心对称C．的图象关于对称 D．三、填空题9.(2025·吉林长春·模拟预测)若函数在处的切线与直线平行，则实数.10.(25-26高三上·河北石家庄·阶段练习)若直线是曲线与曲线的公切线，则.四、解答题11.(25-26高三上·江苏淮安·阶段练习)已知函数，.(1)求曲线在点的切线方程；(2)若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求t的值.3.1导数的概念及其意义、导数的运算【课标要求】1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数；2.通过函数图象，理解导数的几何意义；3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数．夯实必备知识【知识梳理】1.导数的概念(1)函数在处的导数记作或..(2)函数的导函数(简称导数).2.导数的几何意义函数在处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的，相应的切线方程为．3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数(c为常数)(，且)(，且)(，且)4.导数的运算法则若，存在，则有；；()；.5.复合函数的定义及其导数复合函数的导数与函数，的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．【提醒】1.代表函数在处的导数值，是函数值的导数，且；2.求导运算是对自变量求导，需要区别自变量和常量，例如，则；3.在点处的切线与过点的切线的区别(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条；(2)过点的切线，该点不一定是切点，切线不一定只有一条.【常用结论】1．可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数，可导周期函数的导数还是周期函数(课时训练T8)；2．熟记以下结论：(1)；；(2)，；(3).【课前自测】1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)曲线在某点处的切线与曲线过某点的切线意义是相同的．()(2)在点处的函数值就是函数在点处的导数值．()(3)若，则．()(4)若，则．()【答案】(1)×(2)√(3)×(4)×2.(选择性必修第二册P70T7改编)已知曲线，则曲线在点处的切线的倾斜角为.【答案】【解析】因为，所以切线斜率，设曲线在点处的切线的倾斜角为，则，解得.故答案为：.3.(易错题：求导错误)已知函数，则（

）A．4 B． C．2 D．【答案】C【解析】函数，有，令，得，解得.故选：C.4.(选修二P82T11改编)已知曲线在处的切线与直线平行，则实数的值为．【答案】3【解析】因为，求导得，可知曲线在处的切线斜率，又因为曲线在处的切线与直线即平行，所以．故答案为：3．精研核心考点考点1导数的运算考向1导数的运算例1(1)(25-26高三上·北京·阶段练习)函数的导数仍是的函数，通常把导函数的导数叫作函数的二阶导数，记作，类似的，二阶导数的导数叫作三阶导数，三阶导数的导数叫作四阶导数……，一般地，阶导数的导数叫作阶导数，函数的阶导数记为，例如的阶导数.若，则（

）A． B．2026 C． D．2025【答案】A【解析】由，，，，依此类推，，所以.故选：A(2)求下列函数的导数：①；②；③；④；⑤．【答案】①②③④⑤【解析】①.②因为，所以③.④，.⑤，.【解题技法】对点训练1(1)设的导函数为，的导函数为，…，的导函数为，若对于任意正整数，集合，则的表达式可以是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】若，则，…，，则，不满足集合的互异性，A错误；若，则，则，不满足集合的互异性，B错误；若，则，，…，，C正确；若，则当时，，不满足集合的互异性，D错误．故选：C(2)求下列函数的导数：①；②；③；④；⑤．【答案】①②③④⑤【解析】①．②．③．④．⑤．考点2导数的几何意义考向1求切线方程例2(1)【2020·全国I卷·高考真题】曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为.【答案】【解析】设切线的切点坐标为，，所以切点坐标为，所求的切线方程为，即.故答案为：.(2)【2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题】曲线过坐标原点的两条切线的方程为，．【答案】；【解析】[方法一]：化为分段函数，分段求切线因为，当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：；[方法二]：根据函数的对称性，数形结合当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；因为是偶函数，图象为：所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可.故答案为：；【解题技法】求曲线的切线方程的2种类型及方法：对点训练2(1)(25-26高三上·广东广州·阶段练习)已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】若，则，则当时，，为奇函数，，即当时，，，则，即曲线在点处的切线斜率.因此可得：切线方程为，即：.故选：A.(2)过点作函数图像的切线，则切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】设切点为，对函数求导可得，则切点处的斜率为，所以切线方程为，因为切线过点，代入切线方程，可得，整理得，则所求切线方程为.故选：D.考向2求参数的值(或取值范围)例3(1)【2025·全国一卷·高考真题】若直线是曲线的一条切线，则.【答案】【解析】法一：对于，其导数为，因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2，令，即，解得，将代入切线方程，可得，所以切点坐标为，因为切点在曲线上，所以，即，解得.故答案为：.法二：对于，其导数为，假设与的切点为，则，解得.故答案为：.(2)【2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题】若过点可以作曲线的两条切线，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】在曲线上任取一点，对函数求导得，所以，曲线在点处的切线方程为，即，由题意可知，点在直线上，可得，令，则.当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，，由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：

由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.故选：D.解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.

故选：D.【解题技法】1.处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上；(3)切点在曲线上．2.注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”．对点训练3(1)(25-26高三上·安徽六安·阶段练习)已知，，直线与曲线相切，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由求导得，设切点为，则切点，由切点在切线上得，．，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为．故选：D．(2)【2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题】若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是．【答案】【解析】以为，则，设切点为,则，切线斜率，切线方程为：,因为切线过原点，则，整理得：，且切线有两条，则，解得或，所以的取值范围是.故答案为：考向3两曲线的公切线例4【2024·新课标Ⅰ卷·高考真题】若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则.【答案】【解析】由得，，故曲线在处的切线方程为；由得，设切线与曲线相切的切点为，由两曲线有公切线得，解得，则切点为，切线方程为，根据两切线重合,所以，解得.故答案为：【解题技法】1．求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法；2．公切线条数的判断问题可转化为方程根的个数求解问题.对点训练4(2025·湖南长沙·模拟预测)若曲线与有公共的切线，则的最大值为（

）A．-2 B．2 C．-1 D．1【答案】D【解析】设直线与相切于，则直线：，直线与相切于，则直线：，因为曲线与有公共的切线，则两条切线方程的斜率、截距相同，故，则.令，，则在单调递增，且，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，于是有，即.故选：D.【教考衔接】衔接教材1(选择性必修第二册P820T11)设曲线在点处的切线与直线垂直．求a的值．【答案】【解析】因为，则，所以在点处的切线斜率为，又因为切线与直线垂直，则，解得.【2025·全国一卷·高考真题】若直线是曲线的一条切线，则.【答案】【解析】法一：对于，其导数为，因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2，令，即，解得，将代入切线方程，可得，所以切点坐标为，因为切点在曲线上，所以，即，解得.故答案为：.法二：对于，其导数为，假设与的切点为，则，解得.故答案为：.教考衔接1.求曲线切线方程的步骤：(1)求出函数在点处的导数，即曲线在点处切线的斜率；(2)由点斜式方程求得切线方程为.2.提醒：注意“过”与“在”的区别，前者为切点，而后者不一定为切点.变式练1(2025·安徽·一模)若直线与曲线相切，则实数的值为（

）A．0 B．1 C． D．【答案】B【解析】曲线方程求导得，因为直线与曲线相切，设切点为，则，解得，代入曲线方程得，故切点坐标为，因为切点同时位于直线上，则，解得．故选：B．变式练2已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线重合，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，的导数为，当时，的导数为，设，为该函数图象上的两点，且，当，或时，，故，当时，函数在点处的切线方程为；当时，函数在点处的切线方程为．两直线重合的充要条件是①，②，由①及，得，由①②，令，则，且，记，则其导数为，易知在恒成立，则函数在为减函数，∴，.∴实数a的取值范围是．故选：B．课时练3.1导数的概念及其意义、导数的运算【试题部分】一、单选题1．(25-26高三上·江西·阶段练习)已知函数的导函数为，若，则（

）A．20 B．18 C．16 D．142．(2025·四川绵阳·一模)曲线在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．3．(25-26高三上·广东湛江·阶段练习)曲线在点处的切线l过定点（

）A． B． C． D．4．（25-26高三上·四川成都·阶段练习）已知直线是曲线的切线，则（

）A． B． C． D．5．(2025·河南·模拟预测)曲线与的公切线的条数为（

）A．0 B．1 C．2 D．36.(25-26高三上·北京·阶段练习)若对，，使得成立，则称函数满足性质，下列函数不满足性质的是（

）A． B．C． D．二、多选题7.(25-26高三上·河北石家庄·阶段练习)下列求导运算正确的是（

）A．B．C．D．8.已知定义在上的可导函数是偶函数，且满足，则下列结论一定正确的是（

）A．是的一个周期 B．的图象关于点中心对称C．的图象关于对称 D．三、填空题9.(2025·吉林长春·模拟预测)若函数在处的切线与直线平行，则实数.10.(25-26高三上·河北石家庄·阶段练习)若直线是曲线与曲线的公切线，则.四、解答题11.(25-26高三上·江苏淮安·阶段练习)已知函数，.(1)求曲线在点的切线方程；(2)若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求t的值.【答案部分】题号12345678答案DDDACDBDABD1．D【详解】由得，所以，即，解得，所以，则，故选：D2．D【分