非线性系统控制理论-第5课 描述函数法

CHAPTER03·第五讲LIMITCYCLEANALYSIS非线性系统控制理论第3章描述函数法课程非线性系统控制理论32学时·共16次课·每次2学时本讲内容极限环分析：交截判据与稳定性判定§3.3第5次课·共16次本次课主要内容把描述函数学"用起来"·交截判据·极限环的稳定性与幅频预测·2个学时3.3极限环的存在条件：G(jω)=−1/N(A,ω)单位负反馈结构下由闭环方程导出交截条件；在复平面上看G(jω)与−1/N(A)两条曲线是否有交点。3.3−1/N(A)曲线与图解法五类典型环节−1/N(A)轨迹的走向与A增大方向；从交点同时读出极限环的幅值A*与频率ω*。3.3极限环稳定性：定理3.1扩展Nyquist判据给出"包围/被包围"判据：A增大时−1/N由内向外穿过⇒稳定，由外向内⇒不稳定。3.3例题与应用例3.6理想继电、例3.7范德波尔；描述函数法的局限性、工程应用，以及硬自激与软自激。第3章|本次课主要内容Contents第5次课·共16次课02/20上节回顾

与

本次课定位上一讲造好了"度量衡"，这一讲拿它去"测量"极限环REVIEW第4次课·回顾线性频率法以"正弦输入→同频正弦输出"为前提，非线性环节破坏了这一前提把环节的周期输出截断到基波，就得到频率域中的一阶谐波近似描述函数定义为基波与输入正弦的复数比N(A,ω)=(b₁+ja₁)/A单值奇函数环节a₁=0，N(A)为实数；非单值环节（滞环）N为复数饱和、死区、理想继电、有滞环继电、硬弹簧：五类环节的N(A)已算好→本次课定位上一讲回答的是"非线性环节等效成什么"；

本讲回答"整个闭环系统会不会自激、振荡多大、多快"。

核心是把线性系统的Nyquist分析搬到复平面上，用两条曲线的交点读出极限环。本课程分析工具链的推进第3次课相平面分析：能"看见"极限环，但读不出精确幅值与频率第4次课描述函数N(A,ω)：把非线性环节做成频率域中的等效复增益本次课G(jω)=−1/N(A,ω)交截：极限环的存在性、稳定性与幅频预测下次课第4章

稳定性：Lyapunov方法，从"振荡"转向"平衡点"第3章|上节回顾与本次课定位Review&Positioning第3章§3.3·回顾与衔接03/20SECTION3.3DESCRIBINGFUNCTIONANALYSIS非线性系统控制理论极限环分析把线性系统的Nyquist分析搬到复平面上：用G(jω)与−1/N(A)的交点，定量预测自激振荡。①系统结构与闭环方程：交截条件G(jω)=−1/N(A,ω)从何而来②−1/N(A)曲线怎么画、怎么读；交点给出A*与ω*③扩展Nyquist判据→定理3.1：极限环稳定性的包围判据④例3.6/例3.7→描述函数法的精度边界与工程应用描述函数法的系统结构把非线性环节与线性部分拆开，写成单位负反馈的标准形式单位负反馈结构（图3-1）关键前提：把非线性环节从"数学上无法处理的函数"变成一个与幅值、频率有关的等效复增益，

于是整个回路又变成了"线性"结构，频率法可以重新上场。回路中只有三个关系式①非线性环节：用描述函数代替真实函数②线性部分：把w送入频率特性③单位负反馈：输出取负后送回输入端为什么可以这样"拆"非线性环节描述函数N(A,ω)把"幅值信息"装进了等效增益，线性部分G(jω)保留了"频率信息"只要极限环存在，回路各点都可近似为同一频率的正弦信号——这正是一阶谐波近似的前提于是"系统是否有自激"就化为"这两条曲线在复平面上是否相交"注意N(A,ω)与G(jω)中同一个ω承担不同角色：N里它是输入频率，G里它是考察频率——求解时两者必须一致。3.3描述函数分析|系统结构LoopStructure第3章§3.3·单位负反馈结构05/20极限环的存在条件三个关系式消元⇒G(jω)=−1/N(A,ω)从回路方程到交截条件：五步消元教材对应式(3-27)~(3-29)(3-27)(3-28)(3-29)交截条件（式3-30）直接解析求解困难，但图解法很清楚：看G(jω)与−1/N(A,ω)在复平面上是否相交。一个复数等式=两个实方程式(3-30)左边是频率ω的函数、右边是幅值A的函数，未知量恰好两个：A与ω。

一个复数等式给出实部、虚部两个实方程，方程数与未知数个数相等。因此解通常是孤立的——这正好解释了第3次课的结论：极限环是孤立闭轨，与初值无关。注3.5：以上推导的前提是"极限环可被正弦函数近似"，

即描述函数确实能刻画该非线性环节。描述函数法本质上是一种近似分析方法。3.3描述函数分析|极限环的存在条件ExistenceofaLimitCycle第3章§3.3·式(3-27)~(3-30)06/20−1/N(A)曲线怎么画五类典型环节的轨迹走向速查——只与幅值A有关，与ω无关负实轴上的轨迹走向（每行均为同一条负实轴）有滞环继电的轨迹不在实轴上，为便于同图对照，其"虚轴行"以虚线示出真实实轴、彩色线示真实轨迹位置。读图三条规则①曲线上的箭头表示A增大的方向，不是ω的方向——画−1/N时ω是固定的②单值环节（饱和、死区、理想继电、立方）的−1/N全部落在实轴上③非单值环节（有滞环继电）的−1/N离开实轴，是一条平行于实轴的直线两类走向，对应两种"增益趋势"等效增益随幅值衰减（饱和、理想继电、立方）：

幅值越大N越小，−1/N沿实轴单向跑向左端。等效增益随幅值上升（死区、立方在小幅值段）：−1/N反而跑向右端，指向原点方向。一个重要细节：×

与÷方向相反N(A)与−1/N(A)的走向恰好相反。

画图时一定按−1/N来定箭头方向，不要直接照抄N–A曲线的增减趋势。例：理想继电N=4M/(πA)随A单调衰减，

而−1/N=−πA/(4M)随A线性增大。3.3描述函数分析|−1/N(A)曲线Locusof−1/N(A)第3章§3.3·−1/N(A)轨迹速查07/20图解法：从交点读出极限环两条曲线画在同一张复平面纸上，交点即极限环——不必解微分方程G(jω)与−1/N(A)的交点→(A*,ω*)交点只说明"方程成立"。它是否真的对应一个可观测的振荡、以及是否稳定，由后面的定理3.1判定。四步读出流程①写出线性部分G(s)，令s=jω，画Nyquist曲线，标出ω增大方向②由非线性环节求N(A)，取负、取倒数，画−1/N(A)，标出A增大方向③在同一张复平面上找两条曲线的交点，交点即满足G(jω)=−1/N(A)④从G(jω)读ω*，从−1/N(A)读A*，即得极限环的频率与幅值交点的个数=极限环的个数无交点：不存在满足相位条件的自激振荡，

系统不会产生该形式的极限环。多个交点：可能同时存在多个极限环，

稳定与不稳定交替出现——压轴案例正是这种情形。一个误解要先排除交点是"方程成立"的几何表示，不是振荡的物理保证。N(A)由基波近似得到，

因此交点给出的A*、ω*也只是近似值——高次谐波被丢掉了。3.3描述函数分析|图解法GraphicalIntersection第3章§3.3·图解法读交点08/20极限环稳定性：先把判据准备好描述函数是一次谐波近似，所以线性系统的频率法依然可用——只是临界点变了临界点从−1移到−1/K：判据要看"环绕谁"描述函数法把非线性环节看作"增益N(A)"，于是开环变成G(jω)·N(A)，临界点随之成为−1/N(A)。从特征方程看临界点单位负反馈开环G(s)开环含增益K时对应教材式(3-31)与式(3-32)为什么可以搬到非线性系统上①描述函数是频域中对非线性系统的一阶（基波）近似，输入正弦时输出取基波，形式上与线性环节一致②N(A,ω)写成复增益后，闭环方程化为G(jω)N(A,ω)+1=0，与线性系统同形③于是可把"环绕圈数"这一套判据直接推广——即扩展Nyquist稳定性判据判定极限环稳定性的思路在交点(A₀,ω₀)附近给一个小扰动：让幅值变成A⁺或A⁻。

此时−1/N(A⁺,ω₀)是一个固定的复数点，

于是"等效闭环系统是否稳定"就退化为"G(jω)是否包围这个点"——下一页具体推演。3.3描述函数分析|扩展Nyquist判据ExtendedNyquistCriterion第3章§3.3·扩展Nyquist判据09/20扰动分析：振幅为什么会回来把"极限环稳不稳"翻译成两种扰动下振幅走哪边——这是定理3.1的全部来源四种情形：扰动方向×G(jω)是否包围该点推导的两步走①扰动后幅值取定值A⁺或A⁻，则−1/N(A⁺,ω₀)是一个常值复数点，

此时系统退化为一个线性等效闭环。②用扩展Nyquist判据看G(jω)是否包围该点：

包围→等效闭环不稳定→幅值被推得更远；不包围→稳定→幅值被拉回。稳定极限环的必要条件两个方向必须同时回到A₀：▸A抬高时G不包围▸A压低时G包围即"包围→不包围"。等价地：随A增大，−1/N由G(jω)围成区域的内部向外部穿过⇒稳定。物理意义：稳定的极限环"可被看见"稳定极限环像吸引子：小扰动消失后轨迹自己回到它。因此只要参数落在其吸引域内，

实验与仿真中就能观测到它；不稳定极限环则相反，通常观测不到。3.3描述函数分析|小扰动分析PerturbationAnalysis第3章§3.3·小扰动分析10/20定理3.1：极限环稳定性判据一句话：看−1/N随A增大是"由内向外"还是"由外向内"穿过G(jω)两种穿越方式（红色箭头=A增大方向）"围成区域"指复平面上被Nyquist曲线G(jω)圈住的那一块；图中以浅色填充示意。定理3.1（极限环稳定性判据）考虑单位负反馈系统，前向通道中线性部分是最小相位的，传递函数为G(s)；

非线性环节可由描述函数N(A,ω)表示。设Nyquist曲线G(jω)与曲线−1/N(A,ω)在A=A₀、ω=ω₀处相交。随A增大，−1/N(A,ω₀)由G(jω)围成区域内部向外部穿过⇒极限环稳定。随A增大，−1/N(A,ω₀)由G(jω)围成区域外部向内部穿过⇒极限环不稳定。注3.6适用条件与推广定理为简化推导假设G(s)稳定且最小相位。

结果可推广到G(s)本身不稳定或具有正实部零点的情况，此时需使用相应情况下的Nyquist判据。

例如：G(s)稳定但有一个正实部零点时，定理3.1的结论正好相反。3.3描述函数分析|定理3.1Theorem3.1第3章§3.3·定理3.111/20稳定与不稳定极限环：一张图的差别同一个G(jω)，−1/N的穿越方向不同，结论就完全相反沿A的方向稳定：由内部穿出不稳定：由外部穿入红色箭头即A增大方向，A⁻在小端、A⁺在大端小扰动后的幅值稳定：自动回到A₀不稳定：越扰越远，回不到等价说法：A⁺时不包围、A⁻时包围，两条件同时成立物理上能否看到稳定：可观测（吸引子）不稳定：通常观测不到稳定极限环是吸引的，因此实验中容易观察到3.3描述函数分析|两种穿越方式Stablevs.Unstable第3章§3.3·两种穿越方式对照12/20例3.6：理想继电系统的极限环预测三阶线性部分+理想继电——最经典的一次完整"预测"线性部分G(s)=K/[s(s+1)(s+2)]非线性环节理想继电环节（输出幅值M）待求极限环的幅值A*与频率ω*，并判定稳定性①描述函数理想继电：②线性部分频率特性（式3-33）③交截方程（式3-34）④解出极限环参数交截图（复平面）：交点同时给出A*与ω*稳定性判定：A从0增大时，−1/N(A)从原点沿负实轴趋向无穷远，即由G(jω)围成区域的内部向外部穿过。

据定理3.1，该极限环是稳定的。3.3描述函数分析|例3.6Example3.6第3章§3.3·例3.613/20例3.6讨论：仿真验证与增益影响理论算出的A*、ω*到底准不准？增益K变了会怎样？理论预测A*=0.2212T*=4.4429s仿真结果（K=M=1）A=0.22T=4.5s相对偏差幅值≈0.5%周期≈1.3%Kω*A*=2KM/(3π)（M=1）T*=2π/ω*说明1

0.21224.443s仿真A=0.22、T=4.5s，与理论吻合61.27324.443s幅值随K线性增大，频率不变122.54654.443s第4次课案例所用取值183.81974.443s幅值已较大，仍需检查近似前提频率与增益无关

幅值与增益成正比

3.3描述函数分析|例3.6讨论Verification&GainEffect第3章§3.3·例3.6讨论14/20

例3.7：范德波尔振荡器经典非线性方程——线性部分含不稳定极点，判据结论要"反过来用"G(jω)是一条闭合环，−1/N(A)在负实轴上自左向右移动注意：G(s)的两个极点为(ε±j√(4−ε²))/2，实部ε/2>0——开环本身不稳定。①原方程与单位负反馈改写改写为②线性部分与非线性环节线性部分非线性描述函数③解出④稳定性：判据要"反过来用"线性部分含不稳定开环极点，须按注3.6改用相应情形下的Nyquist判据。

当A增大时，−1/N(A)沿负实轴由左向右移动，即由包围部分的外侧向内侧移动——极限环稳定。3.3描述函数分析|例3.7Example3.7·vanderPol第3章§3.3·例3.715/20例3.7的启示：近似精度从哪来同一个系统，ε

一变，理论值与仿真值的差距就拉开——问题出在波形上01方法的前提：只保留基波描述函数把非线性环节的正弦响应截断到一阶谐波。若实际输出里高次谐波占比很低，这个截断就几乎无损。02为什么还能"基本准确"线性部分本身是低通环节，对高次谐波有强衰减。即便非线性输出含谐波，传到输出端时已被滤掉，波形仍近似正弦。03什么时候会失效当线性部分带宽相对振荡频率过高（如ε很大），谐波不被滤除，实际波形严重非正弦，A*、ω*的预测随之失真。3.3描述函数分析|近似精度WhereAccuracyComesFrom第3章§3.3·近似精度与适用边界16/20描述函数法的局限性与工程应用它是工程上最"便宜"的极限环估计工具，但便宜是有代价的四点局限：什么时候不要相信它①本质是近似只保留基波、丢弃全部高次谐波，因此A*、ω*只是估计值，不是精确解。②依赖低通条件要求线性部分对高次谐波有足够衰减。若G(jω)在2ω*、3ω*处仍有可观增益，误差会明显放大。③结构要求严格只适用于可整理成"线性部分+单个非线性环节"的单位负反馈结构；多个非线性环节串接时描述函数不能简单相乘。④结论依赖判据方向G(s)不稳定或含正实部零点时，定理3.1的结论可能正好相反（注3.6），必须配套正确的Nyquist判据。工程应用：它便宜在哪里▸继电与开关型伺服系统提前预测自激振荡的幅值与频率，判断是否需要加校正或改变开关逻辑。▸典型非线性的影响评估摩擦、间隙、死区、饱和等环节都有现成描述函数，可直接代入交截判据做快速评估。▸参数整定与幅值控制由A*=2KM/(3π)这类关系式反推增益上限，把极限环幅值压到允许范围内。▸与仿真、试验配合使用描述函数法给出初值估计与机理判断，再由数值仿真或实验精确确认。使用前的三条自检①实际波形是否接近正弦？②

线性部分低通是否足够强？③G(s)是否稳定且最小相位（决定用哪一版判据）？3.3描述函数分析|边界与应用Limits&Applications第3章§3.3·局限与工程应用17/20案例：硬自激与软自激−1/N轨迹折返一次，与G(jω)交截两次——定理3.1要用两次读图：红色轨迹前段向右进入阴影区，后段折返向左穿出阴影区——一进一出，就是两个极限环。案例设定线性部分沿用第4次课的系统族G(s)=12/[s(s+1)(s+2)]，负实轴交点−K/6=−2。非线性环节换成死区继电（输出幅值M、死区半宽a），取M=a=1，描述函数N(A)=(4M/πA)·√(1−a²/A²)（A大于a）。它的等效增益在A接近a时趋于零，在A很大时才缓慢衰减——正是这一点让−1/N轨迹折返。−1/N为什么折返−1/N(A)始终是负实数，但幅值πA/(4M√(1−a²/A²))在A=√2a处取最小值πa/(2M)≈1.571：①A:a→√2a，沿负实轴向右走至最右点；②A:√2a→∞，折返向左趋向−∞。因为−2位于最右点之外，这条折返轨迹与−2相切不了、只能交截两次。定理3.1用两次，结论一正一反A₁A增大时−1/N由外部穿入内部⇒不稳定极限环，是振幅的"分水岭"。A₂A增大时−1/N由内部穿出外部⇒稳定极限环，实际可观测（吸引子）。硬自激：初始扰动必须越过A₁才能激起A₂；扰动不足时振幅衰减回零。软自激：例3.6只有一个稳定交点，任意小扰动都会自行起振到A*。3.3描述函数分析|压轴案例Hard&SoftExcitation第3章§3.3·多极限环与硬自激18/20本次课关键收获5个核心要点·从"两条曲线交截"到"用定理3.1判定极限环"01极限环的判据，本质是一个复数方程闭环方程导出G(jω)·N(A,ω)=−1，即G(jω)=−1/N(A,ω)。在复平面上画两条曲线，交点同时给出极限环的幅值A*与频率ω*——不解微分方程即可预测自激。02−1/N(A)的走向必须记牢单值环节N为实数，−1/N落在负实轴上（继电为射线、饱和与死区为曲线或折返）；只有滞环等非单值环节才离开实轴并附加相移。画图时一定要标出A增大的方向。03稳定性判据是Nyquist判据的平移把特征方程写成KG(s)+1=0，即G(s)=−1/K——临界点由−1移到−1/K，扩展Nyquist判据随即适用于非线性系