非线性系统控制理论-第7课 稳定性（二）

CHAPTER04·第七讲LYAPUNOVDIRECTMETHOD非线性系统控制理论第4章稳定性（二）李雅普诺夫直接方法：能量函数与构造性判据§4.3课程非线性系统控制理论32学时·共16次课·每次2学时本讲内容正定函数·李雅普诺夫函数·三大判据·构造方法§4.3第7次课·共16次本次课主要内容从"存在性判据"到"构造性判据"·§4.3·2个学时①为什么需要V(x)：能量函数思想线性化方法只能判断平衡点附近的局部稳定性，且无法处理"稳定但不渐近"的情形；能量沿轨线单调下降⇒系统不能跑远。②正定·半正定·负定·半负定·径向无界定义4.6–定义4.9：用符号条件刻画函数"形状"；二次型xᵀPx与‖x‖是两类典型正定函数。③判据：定理4.2/4.3/4.4定理4.2局部（半负定→稳定、负定→渐近稳定）；定理4.3全局（+径向无界）；定理4.4指数稳定（+比较引理）。④构造V(x)的方法与不稳定性判据物理能量类比/二次型/变量分离待定系数/Krasovskii方法/变量梯度法；Chetaev判据作为不稳定的对偶工具。第4章|本次课主要内容Contents第7次课·共16次课02/20上节回顾与本次课定位从"线性化能不能判定"到"如何构造一个判定工具"6第6次课回顾·定义4.1Lyapunov稳定：ε–δ

语言，只要求"不出界"·定义4.2/4.3渐近稳定/指数稳定：要求最终收敛、且收敛速度有界·定理4.1线性化方法：左半开→渐近稳定；右半开→非稳定；虚轴→不能判定·临界情形ẋ=x³与ẋ=−x³：线性化同为ẋ=0，真实行为却截然相反·Hartman–Grobman：双曲平衡点的局部行为由线性化决定遗留问题：线性化是存在性判据——只知道"行不行"，不能给出"哪里行"；且对虚轴极点完全失效。7本次课定位

一句话：上一讲问"线性化能不能判定"，本讲问"如何造一把尺子来判定"。工具链推进第6次课线性化定理4.1（局部·存在性）→本次课Lyapunov直接方法（大范围·构造性）→下次课不变原理与线性系统Lyapunov方程第4章|上节回顾与本次课定位Review&Positioning第7次课·共16次课03/20SECTION4.3LYAPUNOVDIRECTMETHOD李雅普诺夫直接方法不求解方程，直接构造"能量函数"判定稳定性01能量函数思想标量函数V(x)沿轨线单调下降⇒轨线不能跑远02正定/负定/半负定定义4.6–4.9：给函数"定性"的符号工具03判据定理4.2局部·定理4.3全局·定理4.4指数04构造方法+Chetaev五类常用套路；不稳定性的对偶判据为什么需要一个"V(x)"线性化方法的三重局限，与直接方法的突破口局限1只给局部结论定理4.1的结论严格限定在平衡点邻域内，邻域外（甚至邻域大小）都无法估计。局限2虚轴极点完全失效临界情形下线性化系统无法区分ẋ=x³与ẋ=−x³，必须回到原方程的高阶项。局限3无法判断"稳定但不渐近"对只满足Lyapunov稳定（不外逃但不收敛）的系统，线性化给不出肯定结论。突破口构造一个"能量函数"V(x)不求解方程，只需证明V正定、且沿轨线单调不增⇒轨线被"关"在等值线围成的区域里。§4.3

|从线性化到直接方法Motivation第4章§4.3··直接方法动机05/20能量函数思想：物理直觉机械能只减不增⇒系统"跑不远"；把这一直觉形式化为V(x)COREIDEA

物理类比V=动能+势能。摩擦力做负功⇒机械能单调衰减。几何图像V(x)=c是一族包围原点的闭曲线；轨线只能从外向内穿越。关键优势不需要求解方程，也不需要线性化——纯代数判定。与线性化的关系线性化可看作"V取二次型"的特例；直接方法覆盖面更宽。§4.3

|能量函数思想EnergyInterpretation第4章§4.3··能量思想06/20定义4.6正定函数让"V在原点取严格最小"这件事可以被写下来最常用的正定函数：二次型DEFINITION4.6

|正定函数（PositiveDefinite）若函数V(x):D⊆ℝⁿ→ℝ满足：①对所有x≠0且x∈D，都有V(x)≥0②在D内V(x)=0当且仅当x=0则称V(x)为D上的局部正定函数；

若D=ℝⁿ，则为全局正定函数。要点①原点之外必须严格为正哪怕在某个方向上为零都不行——那只是半正定（下一张对照）。要点②V(0)=0是必须的因为平衡点就设在原点。若x=0处V≠0，可先平移常数使V(0)=0。要点③局部vs全局看定义域同一表达式在不同D上可以一个是局部、一个是全局。§4.3

|定义4.6正定函数PositiveDefinite第4章§4.3··定义4.607/20定义4.7半正定/负定/半负定用负号把"正定"推广出一整套符号语言函数类型符号条件直观含义典型例子正定V(x)≥0，且V(x)=0⟺x=0原点处取严格最小xᵀPx（P≻0）；‖x‖²半正定V(x)≥0（允许某方向恒为0）原点是最小值但不严格x₁²；(x₁+x₂)²负定V(x)≤0，且V(x)=0⟺x=0原点处取严格最大−xᵀPx（P≻0）；−‖x‖²半负定V(x)≤0（允许某方向恒为0）原点处取值最大但不严格−x₁²；−(x₁+x₂)²定义4.7的构造逻辑：先定义"半正定"，再用取负号的方式统一得到"负定/半负定"——即若−W(x)是（半）正定的，则W(x)是（半）负定的。

二次型类的函数可以用矩阵P的正定性直接判别：P≻0⟺所有特征值为正（Sylvester判据）。§4.3

|定义4.7半正定/负定/半负定SignDefiniteness第4章§4.3··定义4.708/20定义4.8李雅普诺夫函数把所有条件打包成一个名字——以后见到它就想到"稳定"DEFINITION4.8

|李雅普诺夫函数平衡点x=0附近区域D内的正定函数V(x)具有连续的偏导数，

且其关于时间的导数V̇(x)为半负定，即V̇(x)≤0，则称V(x)为该平衡点的李雅普诺夫函数。沿轨线的导数怎么算为什么叫"函数"而不是"能量"它未必有量纲意义；只要能满足三条条件，就是一个合格的判定工具。不唯一性同一系统常有多个李雅普诺夫函数，选得越好，能估计的吸引域越大。充分非必要找不到V(x)并不能说明系统不稳定——只说明这套方法没证明出来。§4.3

|定义4.8李雅普诺夫函数LyapunovFunction第4章§4.3··定义4.809/20定理4.2·局部稳定性定理同一把尺子，两种读数：V̇半负定→稳定；V̇负定→渐近稳定THEOREM4.2

|局部稳定性的李雅普诺夫定理

情形①

结论：平衡点x=0李雅普诺夫稳定（轨线不外逃，但不一定收敛）稳定情形②结论：平衡点x=0渐近稳定（轨线最终收敛到原点）渐近稳定

§4.3

|定理4.2局部稳定性LocalStabilityTheorem第4章§4.3··定理4.210/20

STEP1构造闭球与最小V值STEP2取c小于该最小值STEP3找内球B_r落在Ω_c内

§4.3

|定理4.2的几何图像GeometricPicture第4章§4.3··定理4.2证明11/20例4.4单摆的能量函数动能+势能就是最自然的李雅普诺夫函数STEP1有阻尼单摆方程（式4-24）STEP2化为状态方程并选V（势能+动能）STEP3求沿轨线导数

§4.3

|例4.4单摆Example·Pendulum第4章§4.3··例4.412/20从局部走向全局再加一条"径向无界"，结论就从邻域扩展到整个ℝⁿDEFINITION4.9

|径向无界函数对于正定函数V(x):ℝⁿ→ℝ，若当‖x‖→∞时有V(x)→∞，则称V(x)为径向无界函数。THEOREM4.3

|全局稳定李雅普诺夫定理对系统ẋ=f(x)，

若在整个ℝⁿ上存在一阶偏导连续的V(x)满足：①V(x)正定；②V̇(x)负定；③V(x)径向无界，则平衡点x=0为全局渐近稳定。

§4.3

|定义4.9径向无界·定理4.3全局稳定GlobalStability第4章§4.3··定义4.9/定理4.313/20例4.5ẋ=−x³的全局渐近稳定与第6次课临界情形呼应：不求解方程，也能量出全局结论系统（式4-27）选取备选函数（式4-28/4-29）逐条对照定理4.3：①V=x²/2在ℝ上正定✓②V̇=−x⁴负定（仅x=0处为零）✓③当|x|→∞时V→∞，径向无界✓结论：由定理4.3，平衡点x=0为全局渐近稳定。对比第6次课：ẋ=x³与之线性化相同（都是ẋ=0），却有限时间发散——线性化在此失效，而直接方法一次给出全局结论。§4.3

|例4.5标量系统Example·GlobalAsymptotic第4章§4.3··例4.514/20定理4.4·指数稳定判据给V加"上下夹逼"条件，就能从"收敛"升级到"按指数收敛"THEOREM4.4

|指数稳定判据

且则平衡点x=0为指数稳定；

若上述条件在全局成立，则为全局指数稳定。引理4.1比较引理

证明要点（三步）

与定理4.3的差别

§4.3

|定理4.4指数稳定判据ExponentialStability第4章§4.3··定理4.415/20

五种常用套路——从物理直觉到纯代数配方01物理能量类比最直观

02

最常用

03变量分离/待定系数法手工配方

04Krasovskii方法全自动

05变量梯度法（Schultz–Gibson）兜底

经验之谈：构造V没有万能公式，但有优先级——先试物理能量（有物理背景时），再试二次型（线性化邻域内），

都不行才考虑待定系数/Krasovskii/变量梯度法。此外，同一个系统可以有不同的V，

选得好坏直接决定能估计出多大的吸引域。§4.3

|构造V(x)的常用方法HowtoConstruct第4章§4.3··构造方法16/20Chetaev判据：不稳定性怎么证与定理4.2对偶——不是"关住轨线"，而是"证明它能逃出去"CHETAEVTHEOREM

|不稳定性判据

与定理4.2的对偶关系定理4.2找"单调下降的V"证明稳定；Chetaev找"单调上升的V"证明不稳定。两者合起来覆盖了双向判定。直觉：找一条"上山的路"只要能在原点附近找到V值不断增大的方向，轨线就一定会离开原点——不需要知道它最终去哪儿。为什么教材不作为主线大多数工程问题关心"怎么让它稳定"；不稳定性往往已由线性化定理（情形②）直接给出。Chetaev主要用于临界情形。§4.3

|不稳定性判定ChetaevInstabilityCriterion第4章§4.3··Chetaev判据17/20稳定性判据一览条件、结论、适用范围与主要难点的横向对照判据所需条件结论适用范围主要难点线性化定理4.1雅可比矩阵A无虚轴特征值Reλ<0→渐近稳定；存在Reλ>0→不稳定局部（平衡点邻域）临界情形完全失效；邻域大小无法估计定理4.2局部稳定性

半负定→稳定；负定→渐近稳定局部（区域D内）

定理4.3全局稳定性

全局渐近稳定（对任意初值成立）全局（整个ℝⁿ）

定理4.4指数稳定性

指数稳定（收敛速度有明确下界）局部/全局（视条件范围）需估计四个常数；验证最繁琐实用策略：先算线性化（最快，一算雅可比矩阵即可）→

若落到临界情形或需要全局结论，

再构造V(x)用定理4.2/4.3；若还需要收敛速率，用定理4.4做定量估计。§4.1–§4.3

|四种判据对比Comparison第4章§4.1–§4.3··判据对比18/20五条关键收获