非线性系统控制理论-第11课 线性系统自适应控制（一）

CHAPTER07·第十一讲ADAPTIVECONTROL·MRAC非线性系统控制理论第7章线性系统自适应控制（一）自适应控制（一）：MRAC基本原理——从确定等价到Lyapunov自适应律§7.1–§7.2课程非线性系统控制理论32学时·共16次课·每次2学时本讲内容自适应背景与分类·一阶系统MRAC·确定等价·Lyapunov自适应律·模型参考控制第11次课·共16次本次课主要内容从"参数已知的精确对消"到"控制器自己在线学参数"01为什么要自适应参数不确定下的固定增益困境MRAC直接自适应vsSTC间接MRAC的三步设计流程02一阶系统MRAC参数已知先做MRC精确对消确定等价原理：用估计值替真值误差动态与Lyapunov设计03从有界到收敛Barbalat引理7.1补上关键一步引理7.2：闭环有界且e→0注7.1：参数收敛需要持续激励04模型参考控制一般n阶系统与相对阶ρρ=1的参数化与θᵀω结构高相对阶：P(s)与长除法▸承前：上一讲结尾列出的三条硬约束里，"参数不确定会毁掉精确对消"这条最要命——本讲开始回答它。第7章|本次课主要内容Contents·§7.1–§7.2·2学时第11次课·共16次课02/20上节回顾与本次课定位精确对消有一个致命前提：参数必须已知上节回顾·第10讲§6.2

结尾列出的三条硬约束①奇异点：detG=0处分母为零②全状态可测：变换依赖完整状态③参数不确定：对消项要求系数精确已知前两条可以靠工程手段绕开；第三条必须换一套理论。本次课定位·第7章§7.1–§7.21把参数变成待估计量控制器内部自带一个在线估计器，估计值随过渡过程实时更新，不再预先要求参数已知。2主线一（§7.1）：一阶系统MRAC用最简单的系统把"建模→控制律→自适应律→稳定性证明"完整走一遍。3主线二（§7.2）：模型参考控制MRC任意相对阶下控制器的标准结构θᵀω，是MRAC的第一步（先设计、后估计）。4新工具：Barbalat引理

工具链推进第4章Lyapunov直接方法›不变原理›第6章

反馈线性化›本讲

自适应律›第12讲

一般线性系统MRAC第7章|上节回顾与本次课定位Review&Positioning·§7.1第11次课·共16次课03/20SECTION7.1ONE-ORDERMRAC一阶系统模型参考自适应控制用最简单的系统，把自适应控制的骨架一次拆干净01问题设定

02参数已知先做MRC

03确定等价+Lyapunov

04补上收敛性Barbalat引理7.1⇒e(t)→0；注7.1提醒：参数未必收敛到真值为什么需要"会自己调参数"的控制器不确定性下的三条技术路线，为什么只有自适应不需要先验映射表标准MRAC结构：参考模型给出"理想输出"，跟踪误差同时驱动控制信号与参数调节固定增益控制按标称参数整定。参数漂移30%后，超调与稳态误差同时恶化，闭环甚至可能失稳。增益调度需要事先掌握"工况↔参数"的映射表，标定成本高，且工况未覆盖时无从查表。自适应控制参数在线估计、控制器实时调节，不需要任何先验映射表，靠闭环性能自己修正。CORE核心问题控制器参数能不能"边跑边调"？调参律从哪来？

第7章|自适应控制的工程动机Motivation·§7.1§7.105/20两类自适应控制与三步设计流程MRAC属于直接自适应：误差信号不需要经过参数辨识就直接驱动调参DIRECT模型参考自适应控制MRAC由参考模型+误差信号两部分组成误差直接用于调节控制器参数又称直接自适应控制稳定性分析可直接用Lyapunov完成INDIRECT自校正控制STC先在线辨识系统参数，再据此算控制量识别与控制分离，结构上更清晰又称间接自适应控制多用于随机离散时间系统THISCOURSE本课程主线：MRAC连续时间、无随机变量的系统模型先设计含估计参数的控制律再设计自适应律调节估计参数最后分析闭环稳定性MRAC的三步设计流程（比常规控制器多出第(2)步）1设计含估计参数的控制律按确定等价原理，把MRC里的真参数换成估计值，先定结构2设计自适应律调节估计参数这是自适应控制独有的环节，也是本讲的核心工作量3分析闭环系统稳定性把误差与参数误差一起放进V，证明全信号有界并给出收敛性▸一句话：常规控制是"设计一次、运行不变"；自适应控制是"设计一次、运行时持续自己调"。多出来的第(2)步，就是它与众不同的全部代价。第7章|§7.1概述Classification&Workflow§7.106/20一阶系统的MRAC问题：目标、模型与两条假设用最简单的方程，把问题边界一次性划清楚被控对象（一阶系统）(7-1)

参考模型（理想输出）(7-2)

CONTROLOBJECTIVE让跟踪误差收敛到零两条先决假设——自适应控制能用起来的前提假设1参数未知但符号已知

假设2参考模型本身稳定

第7章|§7.1问题设定ProblemSetup·§7.1§7.107/20第一步：参数已知时先做精确对消先用"上帝视角"把理想控制律找出来，再想办法逼近它第1步把系统改写成"参考模型+修正项"第2步与参考模型相减，得到误差动态第3步取u把括号内全部对消CONCLUSION跟踪误差指数稳定

但这个控制律还立不住

注意参数的含义

第7章|§7.1参数已知的情形ModelReferenceControl·§7.1§7.108/20确定等价原理：给结构，但不给调节律把"参数已知"的结论直接搬过来戴帽子，剩下的问题交给LyapunovCERTAINTYEQUIVALENCEPRINCIPLE确定等价原理在控制器设计中，直接用估计参数替代不确定的真参数。

它只规定控制器的结构，不涉及估计值怎么更新。自适应控制律(7-3)带上帽子的参数表示"估计值"：结构与上页的理想律完全相同，只是换成了可在线更新的量。误差动态(7-4)这个方程暴露了自适应的全部难点

KEYIDEA

两个问题，分工明确控制器长什么样→确定等价原理（本页已完成）估计值怎么更新→Lyapunov设计（下一页）第7章|§7.1确定等价CertaintyEquivalence·§7.1§7.109/20用Lyapunov方法把自适应律"解"出来不是猜出来的，而是为了让V̇的交叉项消失而反推出来的STEP1构造备选Lyapunov函数：误差能量+参数误差能量

STEP2沿误差动态(7-4)求导

STEP3令两个括号分别等于零

RESULT

(7-7)交叉项被逐项清零，只剩负定项

自适应增益γ的工程含义γ越大，估计参数变化率越高、适应越快，但也更容易把量测噪声放大成参数抖动；γ越小则过渡缓慢。它是自适应控制器里最主要的"手感"参数。但离结论还差一步

第7章|§7.1自适应律设计LyapunovDesign·§7.1§7.110/20从"有界"到"渐近收敛"：Barbalat引理补上的那一环

LEMMA7.1

BARBALAT芭芭拉特引理

"一致连续"比"连续"强在哪连续：δ

可以依赖(t₀,ε)；一致连续：δ

只依赖ε，与位置无关。实用判据：若ẋ有界，则x一致连续——本页正是用它。为什么不能只靠积分收敛存在积分收敛但函数不趋于零的反例（无穷多个宽度递减的窄脉冲）。

加"一致连续"正好排除这种尖峰振荡。从"有界"走到"e→0"的四步1

2

3

4调用Barbalat引理

引理7.2（一阶MRAC的完整结论）由(7-3)、(7-8)、(7-9)构成的自适应控制，保证闭环系统所有信号有界，

且跟踪误差渐近收敛。注7.1参数会收敛到真值吗？

第7章|§7.1收敛性分析BarbalatLemma·§7.1§7.111/20例7.1：一阶系统的自适应控制完整设计建模→控制律→自适应律→稳定性证明，四步走通

第1步化为"参考模型+修正项"

第3步自适应控制律与自适应律

稳定性分析

第7章|§7.1例7.1Example7.1·§7.1§7.112/20§7.2问题设定：任意相对阶下的控制器结构先把"参数已知的理想控制律"写出来，它是后文自适应的模板进入§7.2

一般被控对象(7-10)

参考模型（同相对阶）(7-11)

CONTROLOBJECTIVE设计控制输入u，使输出渐近跟踪参考输出注7.2先把三个术语钉死首一多项式最高次项系数等于1的多项式。例如s²+2s+3是首一的，而4s²+2s+1不是。Hurwitz多项式所有根都具有负实部（全部落在复平面左半开平面）的多项式。它是"稳定"在多项式语言里的说法。高频增益传递函数分子多项式的最高次项系数。它与相对阶一起，决定了初值附近的行为。为什么先讲MRC而不是直接讲MRACMRC是"参数已知"时的理想控制律。MRAC的全部工作，就是把这个理想律里的真参数换成估计值——所以必须先知道理想律长什么样。第7章|§7.2模型参考控制ModelReferenceControl·§7.2§7.213/20

第1步把(7-10)去分母

第4步把两个"未知多项式之比"参数化

为什么这样"参数化"是合法的

参数盘点：一共要估多少个？

常数项亏损

高频增益之比

第7章|§7.2相对阶为1的参数化Parametrization·§7.2§7.214/20

把参数化代回第3步，得到误差动态

RESULT

(7-12)/(7-13)注7.3这不是一个静态增益控制器

引理7.3（ρ=1的MRC）

第7章|§7.2MRC控制律MRCLaw·§7.2§7.215/20

系统与参考模型（相对阶同为1）

第3步误差动态与模型参考控制

时域实现：把滤波器写成状态方程1/(s+3)对应一个极点−3的一阶滤波器——控制器实际需两路这样的滤波器，

分别作用于u和y。一个容易误读的地方原系统有(s−1)²极点（不稳定），但参考模型是稳定的；MRC并不改变被控对象极点，

而是用动态反馈把闭环误差"搬到"参考模型的分母上。第7章|§7.2例7.2Example7.2·§7.2§7.216/20

分母够得着，分子不够

注7.4最终形式反而没变

阶数账本（把每个多项式的次数记清楚）

被控对象分子（首一）

被控对象分母（首一）

参考模型分子（首一）

首一Hurwitz，自己选

补齐后的分子

长除法商（首一）

长除法余数

第7章|§7.2高相对阶的情形HighRelativeDegree·§7.2§7.217/20

第3步令误差动态的方括号归零模型参考控制与理论公式逐项对照

与例7.2的对照

第7章|§7.2例7.3Example7.3·§7.2§7.218/20本讲关键收获把五条结论连起来，就是自适应控制的最小完整知识闭环01自适应控制的三个必备环节含估计参数的控制律+自适应律+闭环稳定性分析。比常规控制器多出的第(2)步，就是它与众不同的全部代价。02确定等价vsLyapunov分工确定等价原理只决定"控制器长什么样"；估计参数"怎么更新"由Lyapunov方法给出——让V̇的交叉项归零。03

定理4.2只能给出有界。要得到e→0，需要Bar