非线性系统控制理论-第15课 反步设计（三）

CHAPTER09·第十五讲BACKSTEPPINGDESIGN(III)非线性系统控制理论第9章反步设计（三）自适应反步与综合——参数不确定时，反步法递归地"学会"自己的模型§9.5–§9.6课程非线性系统控制理论32学时·共16次课·每次2学时本讲内容自适应反步·调节函数·滤波器+参数估计的合流第15次课·共16次本次课主要内容参数不确定+状态不可测：反步法工具箱的最后两块拼图01参数不确定性的新挑战一阶匹配系统的直接自适应：立即可用非匹配时：不确定项与u不在同一级线性参数化：自适应可用的前提02自适应反步法（§9.5）调节函数τᵢ：自适应律"留到最后"

例9.2/例9.3完整设计与仿真结论03自适应观测器反步（§9.6）

估计1/bᵨ而非bᵨ：避开取倒数定理9.5：跟踪误差渐近收敛到零04全章综合与三章对比反步法六变体工具箱总览反馈线性化/MRAC/反步：适用边界大作业4布置：自适应反步综合设计▸承前：前两讲分别去掉了"状态全可测"假设；本讲再去掉"参数全已知"假设——自适应+反步合流，反步法工具箱到此集齐。第9章|本次课主要内容Contents·§9.5–§9.6·2学时第15次课·共16次课02/20上节回顾与本次课定位"参数全已知"这条假设，是反步法工具箱里最后一道未拆除的门槛上节回顾·第14讲§9.3–§9.4观测器反步：显式估计所有状态总阶数膨胀到

，实现偏贵。滤波变换反步：把相对阶压到1总阶数仅

，工程实现更便宜。留下的最后一个缺口两讲的反步设计里，每一个非线性项ϕᵢ、增益bᵨ、σ(y)都假设精确已知；一旦模型参数θ未知，镇定函数根本无法计算。参数未知时，反步法要边估计边设计。本次课定位·第9章§9.5–§9.61自适应反步（§9.5）把第7章的确定等价+Lyapunov设计思想递归地嵌进每一步反步；核心新角色是调节函数τᵢ。2例9.2/9.3的启示非标准形式只需小改动即可套用；自适应参数有界但一般不收敛到真值——持续激励再次出现。3自适应观测器反步（§9.6）

4全章综合+大作业4反步法六变体工具箱+反馈线性化/MRAC/反步三章对比；课后布置大作业4。工具链推进积分反步›迭代反步›观测器反步/滤波变换反步›本讲

自适应反步/自适应观测器反步›第16讲

综合复习第9章|上节回顾与本次课定位Review&Positioning·§9.5第15次课·共16次课03/20SECTION9.5ADAPTIVEBACKSTEPPING自适应反步法参数未知时，每一步反步都嵌进一个"小自适应"01从一阶匹配系统说起

02参数化严格反馈系统

03调节函数与βᵢ项

04定理9.4与两个例题

热身：一阶匹配系统的直接自适应参数θ未知但与u同通道系统与"确定等价"控制律

，结构与第7章MRC完全同源。闭环与自适应律（Lyapunov设计）

结论

隐含的三个前提①不确定项对θ线性参数化；②不确定项与控制输入

匹配（同在第一级）；③状态y可测。下一页看①②何时被打破。第9章|§9.5自适应反步法First-OrderWarm-up·§9.5§9.5自适应反步法05/20注9.3：线性参数化

与

匹配条件两个前提决定"直接自适应"是否够用一句话判据不确定项与u同在一级：直接自适应；

不确定项出现在更靠前的级：自适应+反步。与前几讲的呼应"匹配/非匹配"这对概念在第13讲辨析过：迭代反步本身就是对付非匹配非线性的工具；现在把非线性项换成"线性参数化的不确定项"，同一套递推框架自动升级为自适应反步。下一页把(9-27)参数化严格反馈系统的自适应反步设计完整走一遍。第9章|§9.5自适应反步法Note9.3·MatchingCondition·§9.5§9.5自适应反步法06/20参数化严格反馈系统与误差变量

系统形式(9-27)φᵢ光滑且

；θ∈Rᵖ未知常值参数向量。误差变量：镇定函数也依赖θ̂φᵢ称为复合回归量：本级非线性+前级镇定函数的偏导搬运来的非线性。与迭代反步(9-4)的对照

递推的"账本"

估计误差约定

第9章|§9.5自适应反步法ParametricStrict-FeedbackSystem(9-27)·§9.5§9.5自适应反步法07/20

Step1镇定x₁Step2

z₂动态中的新困难

对策：调节函数（tuningfunction）

直觉：调节函数让"未完成的自适应律"提前参与各级设计，等设计走完，律也刚好确定。第9章|§9.5自适应反步法Step1–2·TuningFunction·§9.5§9.5自适应反步法08/20第i步递推与最终控制律βᵢ项专门负责"吃掉"残差交叉项第i步（3≤i≤n）的镇定函数闭环zᵢ动态

约定β₁=β₂=0：前两级残差为零，无需补偿。αᵢ五个组成部分

βᵢ的任务

第9章|§9.5自适应反步法Stepi&ControlLaw(9-28)·§9.5§9.5自适应反步法09/20Lyapunov分析：一次解出全部待定量自适应律(9-29)消θ̃项，βᵢ

与τᵢ联手消交叉项备选V

自适应律(9-29)：消掉θ̃项调节函数与补偿项：代入(9-29)、调整求和指标后反解结果

定理9.4对具有(9-27)形式的系统，自适应反步法设计的控制律(9-28)与自适应律(9-29)保证所有信号有界，且xᵢ(t)→0（i=1,…,n）。渐近链：z₁=x₁→0且φ₁(0)=0⇒α₁→0⇒x₂→0，逐级递推到xₙ。对照：第7章MRAC只能处理线性对象；这里对象是严格反馈非线性系统——自适应思想被"递归化"了。第9章|§9.5自适应反步法LyapunovDesign&Theorem9.4·§9.5§9.5自适应反步法10/20例9.2：二阶系统完整设计系统与Step1Step2：偏导数与控制律

自适应律与Lyapunov验证代入后的导数

设计流程回顾

第9章|§9.5自适应反步法Example9.2·§9.5§9.5自适应反步法11/20例9.3：非标准形式与参数收敛性

系统：不严格符合(9-27)控制律：多除一个(1+x₁²)改动只有两处：不确定项系数变成x₁²；输入增益1+x₁²需要显式除掉。自适应律与结果

一般结论：自适应≠参数辨识

工程提示：若控制目标里需要θ的真值（如增益调度），必须额外注入激励信号，不能指望自适应律自己"学到"。第9章|§9.5自适应反步法Example9.3·ParameterConvergence·§9.5§9.5自适应反步法12/20SECTION9.6ADAPTIVEOBSERVERBACKSTEPPING自适应观测器反步法参数不确定+状态不可测同时出现：滤波器与自适应的合流01输出反馈形式(9-30)友型Ac+Hurwitz向量b+未知a；只有y可测，σ(y)≠0，相对阶ρ02含未知参数的滤波器估计

03跟踪设计与倒数估计技巧估计ϱ=1/bᵨ而非bᵨ，避开"估计值取倒数"；调节函数+σⱼ,ᵢ交叉项补偿04定理9.5

估计值里"留着"未知参数——反常用法，却是全节的关键一步输出反馈形式(9-30)b为Hurwitz向量、bᵨ≠0；σ(y)恒不为零；a未知；仅y可用于反馈。滤波器(9-31)–(9-33)滤波器降阶：λ

链生成ν关键恒等式估计误差与θ无关、指数收敛——含未知参数的x̂依然"好用"。为什么不直接用观测器？

设计目标：跟踪

第9章|§9.6自适应观测器反步法Output-FeedbackForm&Filters·§9.6§9.6自适应观测器反步法14/20跟踪误差坐标与倒数估计技巧未知高频增益bᵨ：估计1/bᵨ而不是bᵨ，回避"对估计值取倒数"误差坐标（围绕滤波信号ν定义）αᵢ为待设计镇定函数；ν

的下标i表示其分量次序。z₁动态(9-34)

技巧：估计倒数与第14讲的同构性−k₁z₁项与观测器反步中的−kᵢ(∂α/∂y)²zᵢ同源：

都是为了在Lyapunov分析中压住估计误差ε₂的交叉项。闭环z₁动态的形状

第9章|§9.6自适应观测器反步法TrackingErrors&ReciprocalEstimate·§9.6§9.6自适应观测器反步法15/20调节函数、自适应律与控制律§9.5的框架+第14讲的−kᵢ项，两者在同一组公式里合流调节函数与交叉项系数第i步镇定函数（2＜i≤ρ）

与§9.5相同：调节函数在最后一步"转正"。最终控制律(9-37)令zᵨ₊₁=0结构上与第14讲(9-12)一致，只是处处换成了滤波信号与估计参数。三个"专用零件"清单

第9章|§9.6自适应观测器反步法TuningFunctions&ControlLaw(9-37)·§9.6§9.6自适应观测器反步法16/20定理9.5与证明骨架

复合Lyapunov函数导数与杨氏放缩结论定理9.5

证明骨架（四步）

第9章|§9.6自适应观测器反步法Theorem9.5&ProofSketch·§9.6§9.6自适应观测器反步法17/20全章综合：反步法工具箱与三章对比六个变体各拆一道假设；面对新系统，先查这张表再动手第9章|全章综合ToolboxOverview·Chapter9Review第9章全章综合18/20本次课关键收获五条结论，反步法工具箱至此集齐01匹配与否决定设计路线不确定