15 第十五讲 一阶电路的响应

电气工程学院电工基础教研室第五章动态电路的时域分析第15讲一阶电路的响应教材：§5-2，5-3暂态：电路由一个稳态过渡到另一个稳态的过程回顾动态元件:电容或电感换路:电路状态发生变化初始值求解步骤画0+等效电路图求非独立初始值画0-等效电路图求和

计算和

换路定则

替代定理二I0②①uC(0+)=U0=0iL(0+)=I0=0uC(0+)=U0≠0iL(0+)=I0≠0U0三一回顾iL(0+)uc(0-)iL(0-)uc(0+)前一个稳定状态过渡状态新的稳定状态t1u,it0?导入换路0+动态电路的过渡状态课程内容一、一阶电路的零输入响应二、一阶电路的零状态响应五、小结三、一阶电路的全响应四、一阶电路的三要素法经典法学习目标能够说出零输入响应/零状态响应/全响应的含义；可以应用三要素法求解一阶电路的响应，能将响应进行分解（零输入+零状态；稳态+暂态）可以求解一阶电路的时间常数

，并能说出其物理意义；一、一阶电路的零输入响应换路后外加激励为零，输入信号为零，仅由动态元件初始储能产生的电压和电流。零输入响应一、一阶电路的零输入响应1.RC电路的零输入响应2.RL电路的零输入响应1、RC电路的零输入响应(1)RC零输入响应的求解初始条件：一、一阶电路的零输入响应iS(t=0)+–uRC+–uCRKVL方程：VCR方程：一阶齐次线性常微分方程特征方程:

微分方程通解：一、一阶电路的零输入响应一阶齐次线性常微分方程特征根:

代入初始值：零输入响应：放电电流:

电容电压:

(2)电路电压和电流的变化规律一、一阶电路的零输入响应iS(t=0)+–uRC+–uCRtU0uC0U0/Rti0电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；连续函数跃变表明放电电流:

电容电压:

(2)电路电压和电流的变化规律一、一阶电路的零输入响应iS(t=0)+–uRC+–uCR②衰减快慢与RC有关；表明t≥0时令

=RC,[欧]

[法]=[欧]

[库/伏]=[欧]

[安秒/伏]=[秒]

具有时间的量纲，称

为一阶电路的时间常数。

等于电容电压衰减到初始值的36.8%所需的时间。(3)时间常数

=RC

一、一阶电路的零输入响应当t=

时，0.368UU0t0uc

大→过渡过程时间长

小→过渡过程时间短物理意义：(3)时间常数

=RC

一、一阶电路的零输入响应电压初值一定：R大（C一定）i=u/R放电电流小放电时间长C大（R一定）W=Cu2/2储能大时间常数

反映了电路过渡过程时间的长短iS(t=0)+–uRC+–uCR理论上认为

t→∞时，uc→0，电路达稳态t0.368U0.135U0.050U0.018U0.007U0.002U一、一阶电路的零输入响应(3)时间常数

=RC

工程上认为经过3

~5

的时间，

过渡过程结束，电路已达到新的稳态。(4)能量关系一、一阶电路的零输入响应电容C的能量不断释放，被电阻R吸收，直到全部储能消耗完毕。RC

例1：图示电路在t=0时开关S闭合，闭合开关之前电路已达稳态。求uc(t)。

解：根据换路定则可得初始值

换路后，含独立源的支路被开关短路，时间常数

代入零输入响应公式后可得

根据换路前的电路求出电容电压为一、一阶电路的零输入响应2、RL电路的零输入响应(1)RL零输入响应的求解初始条件：一、一阶电路的零输入响应iLS(t=0)USL+–uLR+-特征方程:

特征根:

零输入响应：电感电压:

电感电流:

(2)电路电流和电压的变化规律一、一阶电路的零输入响应tI0i0-I0RtuL0①电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；连续函数跃变表明iL+–uLR电感电压:

电感电流:

(2)电路电流和电压的变化规律一、一阶电路的零输入响应表明iL+–uLR②衰减快慢与L/R有关；令

=L/R,[亨]/[欧]=[韦/安]/[欧]=[伏秒/安]/[欧]=[秒]

具有时间的量纲，称

为一阶电路的时间常数。(3)时间常数

=L/R

一、一阶电路的零输入响应时间常数

反映了电路过渡过程时间的长短

大→过渡过程时间长

小→过渡过程时间短物理意义：(3)时间常数

=L/R

一、一阶电路的零输入响应电流初值一定：R小（L一定）WR=i2R放电过程消耗能量小放电慢L大（R一定）WL=Li2/2起始能量大时间常数

反映了电路过渡过程时间的长短

大→过渡过程时间长

小→过渡过程时间短(4)能量关系电感不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕。零输入响应小结一、一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。衰减快慢取决于时间常数

同一电路中所有响应具有相同的时间常数。RC电路:

=RCR为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。RL电路:

=L/R想想练练1.RC放电电路中，电容两端电压按什么规律变化？放电电流又按什么规律变化？2.RL一阶电路与RC一阶电路的时间常数相同吗？其中的R是指某一电阻吗？3.时间常数对电路的过渡过程有什么影响？4.一阶电路的时间常数τ由什么来决定？其物理意义是什么？一、一阶电路的零输入响应二、一阶电路的零状态响应换路后动态元件初始能量为零，由电路中外加激励作用所产生的响应。零状态响应二、一阶电路的零状态响应1.RC电路的零状态响应2.RL电路的零状态响应解答形式为：齐次方程的通解非齐次方程的特解二、一阶电路的零状态响应1、RC电路的零状态响应iS(t=0)US+–uRC+–uCRuC(0-)=0+–(1)RC零状态响应的求解初始条件：KVL方程：一阶非齐次线性常微分方程与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解变化规律由电路参数和结构决定的特解的通解特解（强制分量，稳态分量）通解（自由分量，暂态分量）二、一阶电路的零状态响应全解代入初始值：电路电流:

电容电压:

(2)电路电压和电流的变化规律US/Rti0电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；跃变表明二、一阶电路的零状态响应iS(t=0)US+–uRC+–uCRuC(0-)=0+–UStuC0连续函数电路电流:

电容电压:

(2)电路电压和电流的变化规律②电容电压由两部分构成：表明二、一阶电路的零状态响应iS(t=0)US+–uRC+–uCRuC(0-)=0+–t-USuC"uC'USuc稳态分量（强制分量）暂态分量（自由分量）+

等于电容电压上升到稳态值的63.2%所需的时间。(3)时间常数

=RC

当t=

时，

大→过渡过程时间长

小→过渡过程时间短二、一阶电路的零状态响应US0.632UStO理论上认为

t→∞时，uc→US，电路达稳态(3)时间常数

=RC

工程上认为经过3

~5

的时间，

过渡过程结束，电路已达到新的稳态。0.998USt000.632US0.865US0.950US0.982US0.993US二、一阶电路的零状态响应(4)能量关系电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。二、一阶电路的零状态响应RC+-US电容储存能量：电源提供能量：电阻消耗能量：

例2:已知U=9V，R1=6kΩ，R2=3kΩ，C=1000pF,电容初始储能为0，求S闭合后的电容电压。

解：等效电路中二、一阶电路的零状态响应二、一阶电路的零状态响应2、RL电路的零状态响应(1)RL零状态响应的求解一阶非齐次线性常微分方程KVL方程：代入初始值：iLS(t=0)US+–uRL+–uLR+–电感电压:

电路电流:

(2)电路电压和电流的变化规律UStuL0电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；跃变表明二、一阶电路的零状态响应US/RtiL0连续函数iLS(t=0)US+–uRL+–uLR+–(2)电路电压和电流的变化规律②电感电流由两部分构成：表明二、一阶电路的零状态响应t-US/RiL"iL'US/RiL稳态分量（强制分量）暂态分量（自由分量）+电感电压:

电路电流:

iLS(t=0)US+–uRL+–uLR+–(3)时间常数

=L/R

时间常数

反映了电路过渡过程时间的长短

大→过渡过程时间长

小→过渡过程时间短二、一阶电路的零状态响应物理意义：(3)时间常数

=L/R

电感在达到稳态时的储能L越大，R越小，达到稳态时储能多，暂态过程慢。

WL=L(Us/R)2/2时间常数

反映了电路过渡过程时间的长短

大→过渡过程时间长

小→过渡过程时间短二、一阶电路的零状态响应(4)能量关系电源提供的能量一部分消耗在电阻上，一部分转换成磁场能量储存在电感中。零状态响应小结一阶电路的零状态响应是由外加激励引起的响应，uC或iL都是由零上升为稳态值的指数增长函数。暂态过程快慢取决于时间常数

同一电路中所有响应具有相同的时间常数。RC电路:

=RCR为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻(无源）RL电路:

=L/R二、一阶电路的零状态响应1.RC充电电路中，电容器两端的电压按照什么规律变化？充电电流又按什么规律变化？2.一阶电路响应的规律是什么？电容元件上通过的电流和电感元件两端的自感电压有无稳态值？为什么？3.能否说一阶电路响应的暂态分量等于它的零输入响应？稳态分量等于它的零状态响应？为什么？4.的RC串联电路接到US=36V的直流电压源，若接通后10s时电容的电压为32V，试求电阻R的阻值。思考回答二、一阶电路的零状态响应三、一阶电路的全响应电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。全响应三、一阶电路的全响应1.RC电路的零输入响应2.RC电路的零状态响应iK(t=0)US+–uRC+–uCRuC(0-)=U0iK(t=0)US+–uRC+–uCR=uC

(0-)=0+uC(0-)=U0C+–uCiK(t=0)+–uRR（1）全响应=零状态响应+零输入响应零状态响应零输入响应tuc0US零状态响应全响应零输入响应U0全响应：非零初始状态的电路受到激励时电路中产生的响应。（2）全解=强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解)全响应：非零初始状态的电路受到激励时电路中产生的响应。一阶电路全响应的两种分解形式之二:强制分量(稳态解)自由分量(暂态解)uC"-USU0暂态解uC'US稳态解U0uc全解tuc0解答为：1、RC电路的全响应iS(t=0)US+–uRC+–uCRuC(0-)=U0+–(1)RC全响应的求解KVL方程：三、一阶电路的全响应代入初始值：(2)全响应的分解形式三、一阶电路的全响应全响应=强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解)着眼于电路的两种工作状态物理概念清晰着眼于因果关系便于叠加计算全响应=零输入响应+零状态响应2、RL电路的全响应三、一阶电路的全响应代入初始值：KVL方程：解答为：稳态分量暂态分量零输入响应零状态响应iLS(t=0)US+–uRL+–uLR+–全响应小结一阶电路的全响应是由储能元件初值和外加激励共同作用引起的响应。暂态过程快慢取决于时间常数

同一电路中所有响应具有相同的时间常数。RC电路:

=RCR为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻(无源）RL电路:

=L/R三、一阶电路的全响应全响应=零输入响应+零状态响应四、一阶电路的三要素法在直流电源激励的情况下，一阶线性电路暂态过程任一电压、电流随时间变化的函数：四、一阶电路的三要素法分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题。换路定则或0+等效电路求解换路后的稳态电路求解。三要素稳态解初始值时间常数物理量初始值稳态值解析式uCiuRSRU0+_Ct=0零输入响应U00-U0/R0-U00四、一阶电路的三要素法物理量初始值稳态值解析式uCiuR零状态响应U0U0ttRe]0U[0u--+=SRU+_CCui0t-t+ce]0U[u-=URUtte]0[0i--+=RU四、一阶电路的三要素法物理量初始值稳态值解析式uCiuR全响应U0U(U-U0)/R0U-U00SRU0+_Ct=0U+_四、一阶电路的三要素法步骤:(1)求换路前的(2)根据换路定则得出：(3)根据0+等效电路，求其余或四、一阶电路的三要素法1.初始值f(0+)的计算电容开路，电感短路电容用电压源代替，电感用电流源代替

(1)画出换路后,且电路进入稳态后的等效电路（注意:在直流情况下,C开路,L短路）；(2)根据电路的定理和规则，求换路后所求未知数的稳态值。2.稳态值f(∞)的计算四、一阶电路的三要素法步骤:

原则:

要由换路后的电路结构和参数计算。(同一电路中各物理量的时间常数是一样的)电路中只有一个储能元件时，将储能元件以外的电路视为有源二端网络，然后求其独立源置零后的无源二端网络的等效内阻

Req，则:步骤:3.时间常数

的计算四、一阶电路的三要素法四、一阶电路的三要素法时间常数

的计算方法：

=ReqCReqC无源

=L/Req举例+-R1R2L

=L/Req=L/(R1//R2)R1R2L独立源置零ReqL无源练一练：计算图示电路的时间常数。四、一阶电路的三要素法解：E+-t=0CR1R2t=0ISRLR1R2Req=R1//R2;

=ReqC=(R1//R2)CReq=R+R2;

=L/Req=L/(R+R2)例1：已知图中U1=3V，U2=6V，R1=1k

，R2=2k

，C=3F

，t<0时电路已处于稳态。用三要素法求t≥0时的uC(t)

。R1＋SiCuC－（t=0）＋－U1CR2＋－U2(1)先确定初始值uC(0+)(2)再确定稳态值uC(

)(3)再确定时间常数τ：四、一阶电路的三要素法解：例2：求换路后的uC和uO.设uC(0-)=0.（1）初始值（2）稳态值（3）时间常数解：四、一阶电路的三要素法iK(t=0)US+–uRC+–uCRuC(0-)=U0iK(t=0)US+–uRC+–uCR=uC

(0-)=0+uC(0-)=U0C+–uCiK(t=0)+–uRR（1）全响应=零状态响应+零输入响应零状态响应零输入响应tuc0US零状态响应全响应零输入响应U0全响应：非零初始状态的电路受到激励时电路中产生的响应。（2）全解=强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解)全响应：非零初始状态的电路受到激励时电路中产生的响应。一阶电路全响应的两种分解形式之二:强制分量(稳态解)自由分量(暂态解)uC"-USU0暂态解uC'US稳态解U0uc全解tuc0例3:求解图所示电路中电压u和电流i。解:(1)①根据换路前电路求解电感电流的初始值.

②画出t=0＋的等效电路图，求响应的初始值为四、一阶电路的三要素法(2)画出t=∞的等效电路图，根据电路图可得响应的稳态值为

(3)时间常数为

(4)应用三要素法可得响应为

四、一阶电路的三要素法五、小结零输入响应无外加激励，有初始储能零状态响应有外加激励，无初始储能全响应有外加激励，有初始储能五、小结一阶电路的响应五、小结时间常数RL电路：

=L/R

（秒）

体现过渡过程的快慢(3

~5

结束)RC电路：

=RC（秒）同一电路响应的时间常数相同三要素法:稳态值：由换路后稳态电路求得。时间常数：

=RC或

=L/R初始值：由换路定律、替代定理求得。五、小结随堂练习练习1：电路如图所示，如在稳定状态下R1被短路，试问短路后经过多少时间电流i才达到15A？(1)确定电流i

的初始值解：(2)确定电流i

的稳态值(3)确定电路的时间常数(4)由三要素法，可得电流i为：(5)当电流i为15A时，可得：三要素法练习2：一组80μF的电容器从3.5kV的高压电网上切除，如图所示。等效电路切除后，电容器经自身漏电电阻R

放电，现测得R=40MΩ，试求电容器电压下降到1kV所需的时间。解：Ci+uC-USRS(t=0)+-

RC电路的零输入响应练习3：开关S闭合前电路已处于稳态，在t=0时，将开关闭合，求t0时，电压uC和电流iC，i1及i2解：t=0-时t0，电压源支路被短路，对右边不起作用，是零输入响应uC(0+)=uC(0-)=3V+_S3

6V1

2

5

FR：从储能元件两端看戴维南等效电路的电阻RC电路的零输入响应74+_S3

6V1

2

5

F结论：

电路中的暂态过程同时发生、同时消失，且电路中各响应具有相同的时间常数。RC电路的零输入响应练习4：图示电路在开关S动作之前已达稳态，在t=0时由位置a投向位置b。求过渡过程中的iL(t)和uL(t)

。解：由电路图可知，换路后电路中不再存在独立源，因此该电路也是零输入响应电路。根据换路前的电路可得根据换路定律可得RL电路的零输入响应把t=0＋等效电路中的恒流源断开，求戴维南等效电路的入端电阻为

R=[(2＋4)∥6]＋3=6Ω

求得电路的时间常数为将初始值和时间常数代入零输入响应公式后可得

RL电路的零输入响应画出t=0＋时的等效电路如图示。根据t=0＋时的等效电路可求得

练习5：图示电路，已知iL(0-)=0，在t=0时开关S打开，试求换路后的零状态响应iL(t)。

解：响应的稳态值为

时间常数为

零状态响应为

RL电路的零状态响应练习图示电路中的电容原充有24V电压，求k闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。解这是一个求一阶RC零输入响应问题，有：+uC4

5F－i1t>0等效电路i3S3+uC2

6

5F－i2i1RC电路的零输入响应+uC4

5F－i1分流得：i3S3+uC2

6

5F－i2i1RC电路的零输入响应求:(1)图示电路k闭合后各元件的电压和电流随时间变化的规律，(2）电容的初始储能和最终时刻的储能及电阻的耗能。解这是一个求一阶RC零输入响应问题，有：u

(0+)=u(0－)=20Vu1（0-）=4VuSC1=5F++---iC2=20Fu2（0-）=24V250k+练习RC电路的零输入响应uk4F++--