18 第十八讲 正弦量的基本概念及相量表示

动态电路直流电路一阶电路分析电路分析电路简化（等效）基础理论正弦稳态交流电路交流电路回顾电路定理导入

tu,iO

TUm,ImUmIm

tu,iO直流电正弦交流电交流电直流电导入稳恒直流：电的大小和方向均不随时间变化。u、it0脉动直流：方向不随时间变化，大小随时间变化。u、it0交流：大小和方向均随时间变化的电压和电流。正弦交流：电的大小和方向均随时间按正弦规律变化。导入为什么要采用正弦交流电？正弦信号容易产生、传送和使用正弦交流电容易获得，同步发电机构造简单、价格便宜可利用变压器升压输电或降压供电，这种变换既灵活又经济加在电动机上，电动机出力最大，振动和噪声最小正弦交流电便于分析计算加、减、微分、积分等运算后结果仍然为同频率的正弦量任何非正弦周期信号可以分解为按正弦规律变化的分量正弦交流电变化平滑在正常情况下不会引起过电压而破坏电器的绝缘设备对正弦电路的分析研究具有重要的理论价值和实际意义。电气工程学院电工基础教研室第六章正弦稳态电路的分析第18讲正弦量的基本概念及相量表示教材：§6-1，6-2课程内容一、正弦量的基本概念二、正弦量的相量表示三、小结学习目标熟知正弦量的瞬时值和波形图表示法；可以说出正弦量三要素；能够求正弦量的频率、周期、有效值、相位差等参量。可以将正弦量的瞬时值表达式和相量形式进行相互转换，能够应用相量形式进行正弦量的计算。一、正弦量的基本概念

_

_+_正半周负半周

由同频正弦激励、线性电阻、线性电容、线性电感和线性受控源组成的的电路称为正弦交流电路。图中虚线箭头代表电流的实际方向；

代表电压的实际方向(极性)。_u,iRu+_Ru+_一、正弦量的基本概念正弦交流电路注意：计算过程中只考虑参考方向，不用分析实际方向。激励和响应均为正弦量ii瞬时值表达式：i(t)=Imcos(wt+y)正弦量波形图：

tiO

TIm一、正弦量的基本概念1、正弦量按照正弦规律随时间变化的电压或电流。包括正弦函数sin或余弦函数cos，本书采用cos形式。角频率：决定正弦量变化快慢幅值：决定正弦量的大小幅值、角频率、初相角称为正弦量的三要素。初相角：决定正弦量起始位置

tiO

TImi(t)=Imcos(wt+y)2、正弦量的三要素一、正弦量的基本概念（1）幅值(振幅、最大值)——Im反映正弦量变化幅度的大小i(t)=Imcos(wt+y)一、正弦量的基本概念tOiImImImImImImImImIm幅值变大幅值变小最大值必须大写,下标加m。（2）角频率——w反映正弦量变化快慢i(t)=Imcos(w

t+y)一、正弦量的基本概念tOi角频率变大角频率变小（2）角频率——wi(t)=Imcos(w

t+y)一、正弦量的基本概念

tiO

TIm单位：rad/s

，弧度/秒周期T和频率f:频率f

：每秒重复变化的次数。周期T

：重复变化一次所需的时间。单位：Hz，赫(兹)单位：s，秒小常识*电网频率(工频)：中国：50Hz/60Hz

中国台湾：60Hz欧洲国家：50Hz美国、日本:60Hz……*船舶电力系统：工频:与陆地电网一致中频：400Hz*有线通信频率：300-5000Hz*无线通信频率：500kHz~300GHz手机充电器参数同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。一般规定：-

tiOTIm

=0

tiO

TIm

>0一、正弦量的基本概念（3）初相位——y反映正弦量的计时起点i(t)=Imcos(wt+y)同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。一般规定：-

tiOTIm

=0

<0一、正弦量的基本概念（3）初相位——y反映正弦量的计时起点i(t)=Imcos(wt+y)

tiO

TIm例1：已知正弦电流波形如图，＝103rad/s，（1）写出i(t)表达式；（2）求最大值发生的时间t1。ti/A010050t1由于最大值发生在计时起点之后一、正弦量的基本概念解：（1）（2）设u(t)=Umcos(wt+yu),i(t)=Imcos(wt+yi)相位差j=(wt+yu)-(wt+yi)=yu-yij>0，电压超前电流j

角，或电流滞后电压

j

角等于初相位之差规定：|

|(180°）

一、正弦量的基本概念3、同频正弦量之间的相位差

tu,iu

iΨuΨiφ0j<0，电压滞后电流|j|角，或电流超前电压|j|角特殊相位关系

=0，u与i同相

=(180o)

，u与i

反相

tu,iu

i0

tu,iu

i0

tu,iu

i0

=

90°，u与i

正交假设

=/2：u超前i

/2,不说

u落后i

3

/2；i滞后u

/2,不说

i超前u

3

/2。同样可比较两个电压或两个电流的相位差。一、正弦量的基本概念规定相位差|

|

（180°）注意：一、正弦量的基本概念两同频率的正弦量之间的相位差为常数，与计时的选择起点无关。②不同频率的正弦量比较无意义，无法比较相位差。③两个正弦量进行相位比较时应满足同函数、同符号，且在主值范围比较。y1=A1cos(wt+y1),y2=A2cos(wt+y2)正弦量都化简成如下形式再比较(其中A1>0,A2>0)计算的相位差j=y1-y2要化简到[-

，

]范围内。例2：计算下列两正弦量的相位差。不能比较相位差注意：同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。一、正弦量的基本概念解：4.周期性电流、电压的有效值R直流IR交流i一、正弦量的基本概念与交流电热效应相同的直流的数值定义为交流电的有效值。则周期性电流有效值为同理周期性电压有效值为

正弦交流电流、电压的有效值设

i(t)=Imcos(t+

)一、正弦量的基本概念

正弦交流电流、电压的有效值一、正弦量的基本概念同理，正弦电压有效值与最大值的关系：若交流电压有效值为U=220V，则最大值为Um

311V若交流电压有效值为U=380V，则最大值为Um

537V举例：

注意：一、正弦量的基本概念物理量电压值电流值表示方法瞬时值u(t)i(t)小写字母最大值UmIm大写字母，下标m有效值UI大写字母（1）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。（3）测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。（4）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。（2）设备绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。问题与讨论

电器~220V最高耐压=300V若购得一耐压为300V的电器，可否用于220V的线路上?该用电器最高耐压低于电源电压的最大值，所以不能用。有效值U=220V最大值Um

=220V=311V电源电压一、正弦量的基本概念1.何谓正弦量的三要素？三要素各反映了正弦量的哪些方面？

2.平常我们所说的交流电流多少安培，交流电压多少伏特，是指什么值？3.常用的交流电流表与交流电压表，其读数是指什么值？

4.各种电气设备的绝缘耐压值应该以什么值来考虑？想想练练一、正弦量的基本概念练习1：已知i(t)=2cos(1000t+30º)A，说明其三要素，并计算有效值、频率。i(t)=Imcos(wt+φ)最大值(幅值)角频率初相位解：最大值（幅值）：有效值：角频率：频率：初相位：Im=2Aw=1000rad/sφ=30º一、正弦量的基本概念i(t)=10cos(314t+60º)Ai(t)=Imcos(wt+φ)最大值(幅值)角频率初相位解：最大值（幅值）：角频率：初相位：Im=10Aw=2f=314rad/s

φ=60º一、正弦量的基本概念练习2：已知一正弦电流i的Im=10A，f=50Hz，φ=60°，求电流i的瞬时值表达式。瞬时值表达式：解：电流表测量的是有效值，相位差：φ=φ1-φ2

=60º-（-90º）=150º一、正弦量的基本概念因此测量电流i1的电流表读数为10A.测量电流i2的电流表读数为5A.电流i1超前电流i2的相位为150°。

引例u1(t)=U1mcos(wt+φ1)u2(t)=U2mcos(wt+φ2)ω

tu,iu1

u2φ1φφ2O波形图表示法瞬时值表示法u1+u2=?u1-u2=?u1×u2=?u1÷u2=?波形图和瞬时值表示法运算复杂！相量表示法用复数形式表示正弦量，便于计算!yω90°-y一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转的有向线段在横轴上的投影值来表示。二、正弦量的相量表示Umcos(wt+y)wtuUm有向线段长度=Um有向线段与横轴初始夹角=y有向线段以角速度w按逆时针旋转在任一时刻t,有向线段与横轴的夹角q=wt+y有向线段在横轴的投影瞬时值波形图u=(1)复数的表示形式代数式指数式极坐标式三角式Re[F]Im[F]1.复数表示法及运算法则Fab+1(实轴Re)j(虚轴Im)有向线段在复平面上用复数表示

几种表示法的关系：或二、正弦量的相量表示(j为虚数单位)(2)复数的运算①加法运算：+1jF1F2F1＋F2

F2F1

F2②减法运算：③乘法运算：+1jF1F2④除法运算：作图方法：平移首尾相连

/平行四边形对角线二、正弦量的相量表示已知F1=8

j6，F2=3+j4。试求：(1)F1

F2；(2)F1

F2；(3)F1×F2；(4)F1/F2。(1)F1+F2=(8j6)+(3+j4)=11

j2=11.18/

10.3

(2)F1

F2=(8j6)

(3

j4)=5j10=11.18/

63.4

二、正弦量的相量表示例1：解：F1=8j6=10/

36.9

F2=3

j4=5/53.1(3)F1×F2=(10/

36.9

)×(5/53.1)=50/16.2

(4)F1/F2=(10/36.9

)

(5/53.1)=2/90

(3)旋转因子复数

ejq

=cosq+jsinq=1∠q任意一个相量乘以ejq

当于将相量逆时针旋转一个角度q，而模不变。二、正弦量的相量表示F•

ejq

=|F|∠j×1∠q=|F|∠j+qFReIm0F•ejq

ejq

称为旋转因子

复数乘以j，相当于把该复数逆时针旋转π/2复数乘以-j，相当于把该复数顺时针旋转π/2复数乘以-1，相当于该复数逆/顺时针旋转π+j、-j、-1都可以看成是旋转因子ReIm几种特殊的旋转因子0二、正弦量的相量表示2.正弦量的相量表示造一个复函数对A(t)取实部：对任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数A(t)包含了三要素：I、

、w，复常数包含了I,

。A(t)还可以写成复常数无物理意义是一个正弦量有物理意义二、正弦量的相量表示称

为正弦量i(t)

对应的相量。相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：二、正弦量的相量表示注意：相量是正弦量的一种表示方法，它们之间是一一对应关系，相量不直接等于正弦量。例2：已知试用相量表示i，

u

。二、正弦量的相量表示解：例3：已知试写出电流的瞬时值表达式。解：

相量图在复平面上用向量表示相量的图

q二、正弦量的相量表示？（1）已知：？有效值？（3）已知：复数瞬时值j45

•？最大值？？

负号（2）已知：（4）已知：二、正弦量的相量表示例4：正误判断。二、正弦量的相量表示u1U1U2U3wwwu1+u2

u3u2

1

2

3角频率：有效值：初相位：同频率正弦量的加减同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，只要确定初相位和有效值(或最大值)

tu,iu1

u20u3正弦量复数实际是变换的思想3.相量法的应用相量3.相量法的应用构造一个复数，取其实部即为对应的正弦量故同频正弦量相加减运算变成对应相量的相加减运算。i1

i2=i3可得其相量关系为：二、正弦量的相量表示也可借助相量图计算ReImReIm首尾相接二、正弦量的相量表示例5：计算u(t)=u1(t)+u2(t)。解：①正弦量相量时域频域②相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。③相量法用来分析正弦稳态电路。N线性N线性w1w2非线性w不适用正弦波形图相量图二、正弦量的相量表示

注意二、正弦量的相量表示

注意1.只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不可以。2.只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上进行比较运算，不同频率不行。3.复数表示正弦量，不等于正弦量。4.用复数表示正弦量时，要注意正弦量所在象限。？三、小结正弦量小结包括正弦函数sin和余弦函数cos，本书采用cos形式。1.正弦量的三要素（瞬时值表达式）：

------初相位（角）,度（°）Fm------最大值ω------角频率，rad/s设电流量:i(t)=Imcos(

t+

)Im

ti(t)=Imcos(

t+

)i波形图T0

最大值有效值三、小结2.同频率正弦量的相位差：设u(t)=Umcos(

t+

u),i(t)=Imcos(

t+

i)相位差

=(

t+

u)-(

t+

i)=

u-

i3.复数的表示形式及计算：有效值相量：4.最大值相量：jFab+1

三、小结