采样系统理论课件

採樣系統理論

有關概念A/DD/A數字控制器被控對象測量元件

e*(t)數字電腦r(t)e(t)

u*(t)uh(t)

c(t)_電腦控制系統典型原理圖

2.離散系統：系統中有一處或多處為離散信號的系統稱離散系統。典型的電腦控制系統即為離散系統的一種。其原理圖如下：

A/D：模數轉換器，將連續的模擬信號轉換為離散的數字信號。包括採樣與量化兩過程。1.離散信號：僅定義在離散時間上的信號稱離散信號，離散信號以脈衝或數碼的形式呈現。

D/A：數模轉換器，將離散的數字信號轉換為連續的模擬信號。包括解碼與複現兩過程。8.1離散系統的基本概念8.28.38.48.58.6(a)連續信號t(b)離散信號t(c)離散量化信號t離散控制系統的特點1.校正裝置效果比連續式校正裝置好，且由軟體實現的控制規律易於改變，控制靈活。

2.採樣信號，特別是數字信號的傳遞能有效地抑制雜訊，從而提高系統抗干擾能力。

3.可用一臺電腦分時控制若干個系統，提高設備利用率。

4.可實現複雜控制規律，且可以在運行中即時改變回應參數。e*(t)=e(t)δr(t),其中為理想單位脈衝序列。則：8.2信號的採樣與保持對上式取拉氏變換,得例8.1

e(t)=eat,試寫出e*(t)運算式。

物理意義：可看成是單位理想脈衝串

T

(t)

被輸入信號e(t)進行調製的過程，如右圖所示。

在圖中，

T(t)為載波信號；e(t)為調製信號；

e*(t)為理想輸出脈衝序列。8.2.1採樣過程與採樣定理e(t)te*(t)te(t)e*(t)S採樣過程

數學描述：把連續信號變換為脈衝序列的裝置稱為採樣器，又叫採樣開關。採樣過程可用下圖表示。8.18.38.48.58.68.2.2---設計控制系統必須嚴格遵守的一條準則。

1.問題的提出連續信號e(t)經過採樣後，只能給出採樣點上的數值，不能知道各採樣時刻之間的數值。從時域上看，採樣過程損失了e(t)所含的資訊。採樣定理(a)連續信號t(b)離散信號t

2.定性分析如果連續信號e(t)變化緩慢（最大角頻率

max較低〕，而採樣角頻率

s比較高（即採樣週期T=2

/

s較小〕，則e*(t)基本上能反映e(t)的變化規律。

3.採樣定理（香農定理）

如果採樣器的輸入信號最高角頻率為ωmax，則只有當採樣頻率ωs≥2ωmax,才可能從採樣信號中無失真地恢復出連續信號。怎樣才能使採樣信號e*(t)大體上反映e(t)的變化規律呢？8.2.2信號複現及零階保持器信號複現將數字信號轉換復原成連續信號的過程稱信號複現。該裝置稱為保持器或複現濾波器。eh(t)e*(t)e*(t)t

零階保持器eh(t)t

零階保持器的數學運算式為e(nT+△t)=e(nT)；其脈衝回應為gh(t)=1(t)-1(t-T)，傳遞函數為

零階保持器零階保持器是最簡單也是工程中使用最廣泛的保持器。零階保持器的輸入輸出特性可用下圖描述。8.2.18.3Z變換與Z反變換8.3.1

Z變換

1.Z變換的定義

令z=eTs,則=e(0)+e(T)z-1+e(2T)z-2+…

2.Z變換方法

(1)級數求和法將Z變換的定義式展開：

E(z)=e(0)+e(T)z-1+e(2T)z-2+…+e(nT)z-n+…(2)部分分式法對於常用函數Z變換的級數形式，都可以寫出其閉合形式。

①先求出已知連續時間函數e(t)的拉氏變換E(s)；②將E(s)展開成部分分式之和的形式；③求拉氏反變換，再求Z變換E(z)。即為Z變換的定義式。稱E(z)為e*(t)的Z變換,記作Z[e*(t)]=E(z),或Z[e(t)]=E(z)8.18.48.58.68.28.3.2性質對比(2)中結果，有(4)單位斜坡信號

e(t)=t，則3.

典型信號的Z變換

兩邊同乘(-Tz)，得單位斜坡信號的z變換兩端對z求導數，得

（3）單位理想脈衝序列

e(t)=δT(t)（1）單位脈衝函數

e(t)=δ(t)（2）單位階躍函數

e(t)=1(t)(5)指數函數

e(t)=e-at(a為實常數〕，則

這是一個公比為(e-aT

z-1)的等比級數，當|e-aT

z-1

|<1時，級數收斂,則可寫成閉合形式所以利用(*)、(**)式，有(6)正弦信號

e(t)=sint

,因為進行部分分式展開，有再取拉氏反變換參照(2)和(5),得4.

Z變換的性質

（1）

線性定理若E1(z)=Z[e1(t)]，E2(z)=Z[e2(t)]，a為常數，則

Z[e1(t)+e2(t)]=E1(z)+E2(z)，Z[ae(t)]=aE(z)

例8.2

已知e(t)=1(t-T),求Z變換E(z)。

(3)

複數位移定理

已知e

(t)的z變換為E(z)，則有根據複數位移定理，有

例8.3

已知e(t)=t

e-at,求Z變換E(z)。

Z[e(t)

]=E(z

e

±at)（2）

實數位移定理若

E(z)=Z[e(t)]，則

Z[e(t-kT)]=z-kE(z),Z[e(t+kT)]=解：解：已知單位斜坡信號的z變換為8.3.28.3.1(4)z域微分定理

若e

(t)的z變換為E(z)，則若e

(t)的z變換為E(z)，則

z[an

e(t)]=E(z/a),a為常數

例8.4

試求ncost的Z變換。(5)z域尺度定理解：由變換表(6)初值定理

若e

(t)的z變換為E(z)，函數序列e(nT)為有限值(n=0,1,2,…)，且極限存在，則設x(nT)和y(nT)為兩個採樣函數，其離散卷積定義為x(nT)

y(nT)=，則卷積定理為：Z[x(nT)

y(nT)]=X(z)Y(z)若e(t)的z變換為E(z)，並有極限存在，則(7)終值定理（8）卷積定理8.3.2Z反變換

從Z域函數E(z)求時域函數e*(t)，叫做Z反變換。記作Z-1[E(z)]=e*(t)。

例8.5

已知z變換函數，試求其z反變換。

解：首先將E(z)/z展開成部分分式所以

e(nT)=(-1+2n)

10

e*(t)=e(0)

(t)+e(T)

(t-T)+e(2T)

(t-2T)+…

=0+10

(t-T)+30

(t-2T)+70

(t-3T)+…

1.部分分式展開法

部分分式展開法是將E(z)展成若干分式和的形式，對每部分分式查Z變換表找出相應的e*(t)。因Z變換表中Z變換函數分子普遍有因數Z，所以應將E(z)/z展開成部分分式。性質8.3.1

例8.6

已知z變換函數試求其z反變換。

解：因為所以e*(t)=e(0)

(t)+e(T)

(t-T)+e(2T)

(t-2T)+…=0+(1-e-aT)

(t-T)+(1-e-2aT)

(t-2T)+(1-e-3aT)

(t-3T)+…2.冪級數法（綜合除法)查表得e(t)=1(t)-e-at

則e(nT)=1-e-anT由Z變換的定義而則c0,c1,c2,…就是脈衝序列e*(t)各採樣點的值e(nT),所以3.反演積分法(留數法)8.4離散系統的數學模型8.4.1線性常係數差分方程及其解法

工程中常用迭代法和Z變換法來求解差分方程：1.迭代法

根據給定差分方程和輸出序列的初值，則可以利用遞推關係，一步一步算出輸出序列。2.Z變換法

用Z變換法解差分方程的實質，是對差分方程兩端取Z變換，並利用Z變換的位移性質，得到以z為變數的代數方程，然後對代數方程的解C(z)取Z反變換即求得輸出序列。式中：k—第k個採樣週期；n—系統的階次。

一般n階線性定常離散系統的輸出和輸入之間的關係，可用n階常係數差分方程描述。8.18.38.58.68.28.4.2脈衝傳遞函數脈衝傳遞函數的定義和意義

零初始條件下，系統輸出C(t)的z變換C(z)與輸入r(t)的z變換R(z)之比，稱為脈衝傳遞函數，即G(z)=C(z)/R(z)。若輸入r(t)=δ(t),則C(z)=G(z)R(z)=G(z),g*(t)=Z-1[G(z)]。即連續系統的脈衝回應採樣後的Z變換即為脈衝傳遞函數。開環脈衝傳遞函數1.串聯環節2.有零階保持器的情況3.連續信號進入連續環節--閉環脈衝傳遞函數1.S域的虛軸映射成Z域的圓周；左半S平面映射在圓周內，右半S平面映射在圓周外。

2.幾種特殊的線映射：8.5離散系統的穩定性與穩態誤差一、S域到Z域的映射二、離散系統穩定的充要條件1.時域中：特徵方程的根滿足│ai│<1(瞭解即可〕2.

Z域中：特徵方程1+HG(Z)=0的模│Zi│<1(牢固掌握)三、離散系統的穩定性判據1.雙線性變換與勞氏判據⑴雙線性變換⑵勞氏判據：格式見4092.朱利判據：瞭解即可。8.18.38.48.68.28.5.2例8.5.1穩定性判據

設系統的結構圖如下圖所示，採樣週期T=1s。設K=10,試分析系統的穩定性，並求系統的臨界放大係數。例8.7解：⑴

由圖得

由此得系統特徵方程為

z2+2.31z+3=0求解得一對共軛複根

1=-1.156＋j1.29

2=-1.156-j1.29分佈在單位圓外，因此系統是不穩定的。

C(s)R(s)

—8.5.18.5.2求得系統特徵方程為

z2-(1.368-0.368K)z+(0.368+0.264K)=0⑵由系統開環脈衝傳遞函數得到系統的臨界放大係數為:

Kc=2.4列勞氏表計算

w22.736-0.104K0.632K

w11.264-0.528K0

w00.632K

為使系統穩定，須有進行w變換得

(2.736-0.104K)w2+(1.264-0.528K)w+0.632K=01.終值定理法

8.5.2穩態誤差的計算

2.誤差係數