2026年广东省人教版高中数学上册第7章同步练习题

2026年广东省人教版高中数学上册第7章同步练习题一、单项选择题（每题2分，共20分）1.已知函数f(x)=ln(x+1)-x，若f(a)=0，则a的取值范围是（）A．(-1，0)B．(0，1)C．(-1，+∞)D．(-∞，-1)解析：由f(a)=0得ln(a+1)-a=0，即ln(a+1)=a。令g(x)=ln(x+1)-x，则g'(x)=1/(x+1)-1。当x∈(-1，0)时，g'(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(0，+∞)时，g'(x)<0，g(x)单调递减。又g(0)=0，故方程ln(a+1)=a的解为a=0。因此a的取值范围是(0，1)，选B。2.若函数f(x)=x³-3x+q在x=1处取得极值，则q的值为（）A．1B．2C．3D．4解析：f'(x)=3x²-3，由f'(1)=0得3-3=0，解得x=±1。又f(1)=1-3+q=-2+q，f(-1)=-1+3+q=2+q。由于极值点处函数值不一定是极值，需验证二阶导数f''(x)=6x。当x=1时，f''(1)=6>0，故x=1为极小值点，此时q=-2，选A。3.不等式|2x-1|+|x+2|>4的解集为（）A．(-∞，-3)∪(1，+∞)B．(-3，1)C．(-∞，-3)∪(1，+∞)∪{-1}D．(-∞，-1)∪(3，+∞)解析：分段讨论：（1）x<-2时，-2x+3-x-2>4⇒x<-3；（2）-2≤x≤1/2时，2x-1-x-2>4⇒x>7，矛盾；（3）x>1/2时，2x-1+x+2>4⇒x>1。综上解集为(-∞，-3)∪(1，+∞)，选A。4.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_n+1=2a_n+1，则S_5的值为（）A．31B．63C．127D．255解析：a_n+1-2a_n=1⇒a_n=2^n-1，S_5=1+3+7+15+31=63，选B。5.函数f(x)=√(x²+1)-ln(x+1)在区间(-1，+∞)上的单调性为（）A．单调递增B．单调递减C．先增后减D．先减后增解析：f'(x)=x/(√(x²+1))-(1/(x+1))=(x(x+1)-√(x²+1))/(√(x²+1)(x+1))。令h(x)=x²+x-√(x²+1)，h'(x)=2x+1-1/(2√(x²+1))。当x>0时，h'(x)>0，h(x)单调递增；当-1<x<0时，h'(x)<0，h(x)单调递减。又h(0)=0，故f'(x)在(-1，0)上<0，(0，+∞)上>0，选D。6.若直线y=kx+1与圆(x-2)²+(y-3)²=4相切，则k的值为（）A．±√3/3B．±√2/2C．±1D．0解析：圆心(2，3)，半径r=2。相切条件为|2k-3+1|/√(k²+1)=2⇒|2k-2|=2√(k²+1)⇒k²=1，k=±1，选C。7.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像关于直线x=π/4对称，且周期为π，则φ的可能取值为（）A．π/4B．3π/4C．-π/4D．-3π/4解析：周期T=π⇒ω=2。对称条件为ω•π/4+φ=kπ+π/2⇒φ=kπ+π/4，k∈Z。当k=0时，φ=π/4，选A。8.若函数f(x)=x³-ax+1在x=1处取得极值，则a的值为（）A．3B．2C．1D．0解析：f'(x)=3x²-a，由f'(1)=0得3-a=0⇒a=3。验证二阶导数f''(1)=6>0，故x=1为极小值点，选A。9.不等式e^(-x)≥x-1的解集为（）A．(-∞，0)B．[0，+∞)C．(-1，1)D．(-∞，1]解析：令g(x)=e^(-x)-x+1，g'(x)=-e^(-x)-1<0，g(x)单调递减。又g(0)=0，故解集为(-∞，0)，选A。10.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，a_n+1=2a_n/3，则S_5的值为（）A．62/81B．126/81C．162/81D．242/81解析：a_n=2(2/3)^(n-1)，S_5=2[1-(2/3)^5]/(1-2/3)=126/81，选B。二、填空题（每题2分，共20分）1.若函数f(x)=x²-2ax+3在x=1处取得最小值，则a=________。参考答案：1解析：f'(x)=2x-2a，由f'(1)=0得2-2a=0⇒a=1。验证f''(1)=2>0，故x=1为极小值点。2.不等式|3x-1|>2的解集为________。参考答案：(-∞，-1/3)∪(1，+∞)解析：3x-1<-2⇒x<-1/3；3x-1>2⇒x>1。3.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=S_n-2，则a_4=________。参考答案：-14解析：a_1=S_1-2=a_1-2⇒a_1=2。a_n=S_n-S_(n-1)=S_n-2-S_(n-1)-2⇒a_n=-2a_(n-1)。故a_n=2(-2)^(n-1)，a_4=2(-2)^3=-14。4.函数f(x)=ln(x+1)-x在区间(-1，+∞)上的最大值为________。参考答案：0解析：f'(x)=1/(x+1)-1，令f'(x)=0得x=0。f''(x)=-1/(x+1)²<0，故x=0为极大值点，f(0)=0。5.若直线y=kx+1与圆(x-2)²+(y-3)²=4相切，则k的值为________。参考答案：±1解析：见第6题解析。6.函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像关于直线x=π/4对称，且周期为π，则φ的可能取值为________。参考答案：π/4（k∈Z）解析：见第7题解析。7.若函数f(x)=x³-ax+1在x=1处取得极值，则a的值为________。参考答案：3解析：见第8题解析。8.不等式e^(-x)≥x-1的解集为________。参考答案：(-∞，0)解析：见第9题解析。9.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，a_n+1=2a_n/3，则S_5的值为________。参考答案：126/81解析：见第10题解析。10.若函数f(x)=x²-2ax+3在x=1处取得最小值，则a=________。参考答案：1解析：见第1题解析。三、判断题（每题2分，共20分）1.若函数f(x)在区间I上单调递增，则f(x)在区间I上一定有最大值。（）参考答案：×解析：例如f(x)=x在(-∞，+∞)上单调递增，但无最大值。2.不等式|2x-1|+|x+2|<4的解集为(-3，1)。（）参考答案：√解析：见第3题解析。3.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=S_n-2，则{a_n}是等比数列。（）参考答案：√解析：a_n=S_n-S_(n-1)=S_n-2-S_(n-1)-2⇒a_n=-2a_(n-1)，首项a_1=2，公比q=-2。4.函数f(x)=ln(x+1)-x在区间(-1，+∞)上是减函数。（）参考答案：×解析：见第4题解析。5.若直线y=kx+1与圆(x-2)²+(y-3)²=4相切，则k=±√3/3。（）参考答案：×解析：见第6题解析。6.函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像关于直线x=π/4对称，则φ=π/4。（）参考答案：×解析：φ=π/4+kπ，k∈Z。7.若函数f(x)=x³-ax+1在x=1处取得极值，则a=2。（）参考答案：×解析：见第8题解析。8.不等式e^(-x)≥x-1的解集为(-∞，1]。（）参考答案：×解析：见第9题解析。9.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，a_n+1=2a_n/3，则S_5=62/81。（）参考答案：×解析：见第10题解析。10.若函数f(x)=x²-2ax+3在x=1处取得最小值，则a=1。（）参考答案：√解析：见第1题解析。四、简答题（每题4分，共16分）1.证明：函数f(x)=x³-3x在区间(-∞，+∞)上存在唯一一个极值点。证明：f'(x)=3x²-3=3(x+1)(x-1)。令f'(x)=0得x=-1，x=1。当x∈(-∞，-1)时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(-1，1)时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(1，+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增。故x=-1为极大值点，x=1为极小值点，且是唯一的极值点。2.求数列{a_n}的通项公式，其中a_1=1，a_n+1=3a_n+2。解：a_n+1+1=3(a_n+1)⇒a_n+1=3a_n+3⇒a_n+1=3(a_n+1)。令b_n=a_n+1，则b_n=3b_n⇒b_n=3^n，故a_n=3^n-1。3.解不等式|2x-1|+|x+2|>3。解：分段讨论：（1）x<-2时，-2x+3-x-2>3⇒x<-2；（2）-2≤x≤1/2时，2x-1-x-2>3⇒x>6，矛盾；（3）x>1/2时，2x-1+x+2>3⇒x>0。综上解集为(-∞，-2)∪(0，+∞)。4.若函数f(x)=x³-px+q在x=1处取得极值，且f(1)=2，求p，q的值。解：f'(x)=3x²-p，由f'(1)=0得3-p=0⇒p=3。又f(1)=1-p+q=2⇒1-3+q=2⇒q=4。验证二阶导数f''(1)=6>0，故x=1为极小值点，p=3，q=4。五、应用题（每题6分，共24分）1.某工厂生产某种产品，固定成本为10万元，每件产品成本为20元，售价为x元。若销售量为y件，则y=1000/(x-20)。求该工厂的利润函数，并求当x=50时工厂的利润。解：利润函数L(x)=xy-20y-10=1000x/(x-20)-20000-10。当x=50时，L(50)=1000×50/(50-20)-20000-10=50000/30-20010≈1667-20010=-18343元。2.已知函数f(x)=x³-3x²+2x，求f(x)在区间[-1，3]上的最大值和最小值。解：f'(x)=3x²-6x+2=3(x-1)²-1。令f'(x)=0得x=1±√3/3。f(-1)=-1-3-2=-6，f(1-√3/3)=1-3(1-√3/3)²+2(1-√3/3)=1-3(2-2√3+1)+2-2√3=-4+6√3，f(1+√3/3)=1-3(1+√3/3)²+2(1+√3/3)=1-3(2+2√3+1)+2+2√3=-4-6√3，f(3)=27-27+6=6。故最大值为6，最小值为-6。3.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=S_n-2，求S_5的值。解：见第10题解析，S_5=126/81。4.若函数f(x)=ln(x+1)-x在区间(-1，+∞)上是减函数，求证：f(x)在(-1，+∞)上存在唯一一个零点。证明：f'(x)=1/(x+1)-1，令f'(x)=0得x=0。当x∈(-1，0)时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(0，+∞)时，f'(x)<0，f(x)单调递减。又f(0)=0，故x=0为唯一零点。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.C3.A4.B5.D6.C7.A8.A9.A10.B二、填空题1.12.(-∞，-1/3)∪(1，+∞)3.-144.05.±