湖南省邵东市创新高级中学2026-2027学年高三上学期第二次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年湖南省邵东市创新高级中学高三（上）第二次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知函数f(x)=x,x≥02x+1,x<0，求A.1 B.−1 C.0 D.32.已知集合A={x|x≥1}，B={x|x>2}，则(

)A.∃x∈A，x∈B B.∃x∈B，x∉A C.∀x∈A，x∉B D.∀x∈A，x∈B3.“ex≥ey”是“lnx≥lnyA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.若a=log32,b=log213,c=30.3A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.c<b<a5.函数f(x)=(x−a)ex在[1,2]上单调，则a的取值范围为(

)A.(2,3) B.(−∞,2]∪[3,+∞)

C.[3,+∞) D.(−∞,2]6.已知sin(α−β)=3cos(α+β)，tanα=2，则tanβ=(

)A.15 B.13 C.−17.图1是某条公共汽车线路收支差额y关于乘客量x的图象(收支差额=车票收入−支出费用).目前本条线路运营处于亏损状态，为了实现扭亏为盈，公司有关人员提出了两种建议，如图2和图3所示．

下列说法中正确的是(

)A.图2表示减少支出和提高票价 B.图2表示减少支出和降低票价

C.图3表示支出不变和提高票价 D.图3表示减少支出和票价不变8.取整函数[x]表示不超过x的最大整数，如[1.2]=1，[3.9]=3，[−1.5]=−2，下列关于“取整函数”的命题中，为真命题的是(

)A.∀x∈R，[2x]=2[x]

B.∀x，y∈R，[x]=[y]，则x−y≥1

C.∃x∈R，[2x]=2[x]

D.∀x，y∈R，[x+y]≤[x]+[y]二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知a>b，c>0且c≠1，则下列不等式一定成立的是(

)A.a+c>b+c B.ac>bc C.a2>b10.下列命题中正确的是(

)A.命题“∃x∈R，x2+2x+1≤0”的否定为“∀x∈R，x2+2x+1>0”

B.f(x)=ax+1+1的图象恒过定点(−1,1)

C.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0,+∞)是减函数，则11.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+3)为偶函数，f(x+3)=−f(1−x)，f(1)=1，则(

)A.∀x∈R，f(x+4)=f(x) B.∃n∈N，f(2n)=1

C.f(x)关于(0,0)对称 D.i=1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知点P(3,4)在角α的终边上，将α的终边绕原点O逆时针旋转π2得到角β，则cos2β=

．13.已知函数f(x)在R上可导，导函数为f′(x)，满足f′(x)>f(x)，f(0)=−1，则不等式f(x)+ex<0的解集为

14.已知直线y=kx+b与曲线y=ex−1和y=lnx+1均相切，则k+b=

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3acosC=csinA．

(1)求角C的大小；

(2)若c=2，△ABC的面积为3，求△ABC16.(本小题15分)

设公比为q的等比数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=an+1−2．

(1)求q和a1；

(2)记bn17.(本小题15分)

如图，在四面体A−BCD中，BD=BC=BA，∠DBC=90°，AB⊥平面BCD，M是AB的中点，P是CM的中点，点Q在线段AD上，且AQ=3QD．

(1)求证：PQ//平面BCD；

(2)求平面PQM与平面BCD夹角的余弦值．18.(本小题17分)

已知函数f(x)=aex−lnx−cos(x−1)(a≥0)，g(x)=lnx−bx+1(b∈R)．

(1)若b=2，求g(x)的极值；

(2)若g(x)≤0对任意的x∈(0,+∞)恒成立，求b的取值范围；

(3)若f(x)19.(本小题17分)

定义：若一个数列{an}满足其首项为0，且对于∀n∈N∗，an+1可取an+1或an−1的概率均为0.5，则我们称该数列为“可取数列”.已知数列{an}为“可取数列”．

(1)求a3=0的概率；

(2)在“可取数列”{an}中，

①设随机变量X是1.【答案】B

2.【答案】A

3.【答案】B

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】A

7.【答案】C

8.【答案】C

9.【答案】AB

10.【答案】AC

11.【答案】ACD

12.【答案】72513.【答案】(−∞,0)

14.【答案】1

15.【答案】解：(1)根据边角转换可得3sinAcosC=sinCsinA，

0<A<π，则sinA≠0，

则3cosC=sinC，可得tanC=3，

0<C<π，则C=π3；

(2)S=12absinC=12ab×32=16.【答案】解：(1)由Sn=an+1−2，可得a1=S1=a2−2，

即有a1=a1q−2，①

又a1+a2=S2=a17.【答案】(1)证明：因为AB⊥平面BCD，且BC，BD⊂平面BCD，

所以AB⊥BC，AB⊥BD，

由∠DBC=90°，知BC⊥BD，

故以B为原点，BC，BD，BA所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

不妨设BD=2，则B(0,0,0)，C(2,0,0)，D(0,2,0)，A(0,0,2)，M(0,0,1)，P(1,0,12)，

由AQ=3QD，得Q(0,32,12)，

所以PQ=(−1,32,0)，

易知平面BCD的一个法向量为n1=(0,0,1)，

所以PQ⋅n1=0，

又PQ⊄平面BCD，所以PQ/​/平面BCD．

(2)解：由(1)知PQ=(−1,32,0)，PM=(−1,0,12)，平面BCD的一个法向量为n1=(0,0,1)，

设平面PQM的法向量为n2=(x,y,z)，则n2⋅PQ=018.【答案】极大值为−ln2，无极小值

[1,+∞)

[0,119.【答案】解：(1)因为a1=0，所以要使a3=0，各满足一次an+1=an+1和an+1=an−1即可，

因