教学材料《传输线》-第二章

第2章规则波导2.7过极限波导2.8过模波导2.9脊波导简介2.10椭圆波导简介上一页导语广义地讲，在微波波段使用的传输线，如双导线、同轴线、空心的金属波导（矩形、圆形、椭圆形和其他形状的波导管等），以及带状线、微带线和介质波导（包括光波导）等，都可以统称为波导。因为它们的作用都是导引电磁波沿着一定的方向传播，被导引的电磁波称为导行波，而把这些传输线称为导波系统，简称波导。正如在第1章引言中所指出的，导波系统也可以统称为传输线。可见，导波系统与传输线从广义的角度讲，两者的含义是一样的。所谓规则波导（或称均匀波导），是指沿其轴线方向，横截面的形状、尺寸，以及填充介质的分布状态和电参数均不变化的无限长的直波导。当然，实际波导的长度不可能是无限的，而只能是有限的。在这里之所以称其为“无限长”，显然是一种抽象化了的物理模型，其目的在于说明本章所讨论的是：下一页返回导语波导工作于行波状态（无反射状态）时，电磁波沿规则波导轴向的传播规律，以及电场和磁场在波导横截面上的分布规律（场分布，或称场结构、模式、模）。所谓分布规律，形象地说，是指在波导中电磁波的电力线、磁力线是什么形状，疏密程度如何。不同的分布规律表示在波导中电磁波的能量可以有着不同的、相互独立的存在形式，即相互独立存在的模式。从理论上讲，当波导终端接有匹配负载时，就是行波（无反射）状态，可以认为这与传输线为“无限长”的状态是等效的。本章所讲的规则波导是狭义的，实际上只限于空心的金属矩形和圆形波导、同轴线（同轴波导）、脊形波导和椭圆形波导等。至于带状线、微带线和介质波导（光波导）等，将在后面的有关章节中讲述。在讨论上述内容时，只涉及行波状态的传输情况，对于驻波则可看做是向相反方向传输的两个行波的叠加，对此不作讨论。上一页下一页返回导语对于空心的金属波导而言，其中传输的电磁波是TE模或TM模，不可能是TEM模（理由，见2.2中的（一）所述），因此也不可能有确切的和严格的电压及电流的定义，即“路”的分析方法，就一般情况而言，已不适用于金属波导，而应采用“场”的分析方法。为了得到电磁波的场在导波系统横截面上的分布规律（场结构），以及电磁波沿传播方向的传播特性，就需要在一定的边界和初始条件下，对电磁场的波动方程求解。在本章，首先利用广义的正交（柱）坐标系导出对于横截面为任意形状的规则波导都适用的一般表示式和结论，然后再利用它们具体地讨论矩形和圆形波导中的场分布，以及实际应用中的一些问题。此外，还对同轴线中的高次模的场分布进行了讨论，对于脊形和椭圆形波导，只作简要的介绍。上一页返回2.1波动方程与导行波1864年麦克斯韦（J.C.Maxwell）在总结前人的理论和实验的基础上，把电磁理论概括为一组偏微分方程。方程组不仅描述了电现象与磁现象两者不可分离、相互依存的关系，而且还预见到电磁波的存在。麦克斯韦计算出了电磁波的速度，并提出它和光在真空中的速度（3×108m/s）相等。据此，他预言，光也是电磁波，从而把电磁理论统一了起来，创立了光的电磁理论。1888年赫兹（H.R.Hertz）用实验的方法证实了电磁波的存在。麦克斯韦方程组是研究宏观电磁现象的理论基础，显然，也是研究微波技术理论的基础，本章就是应用这一理论讨论规则波导的问题。首先通过麦克斯韦方程组建立起电磁场的波动方程，然后对波动方程求解。式中涉及的矢量、单位坐标矢量、矢性算子▽均用黑体字母表示，数性算子用白体字母表示。下一页返回2.1波动方程与导行波需要说明的是，麦克斯韦方程组只适用于宏观的电磁现象，对于微观领域（如分子、原子领域）内的电磁现象就不适用，而应代之以量子电动力学。一、波动方程麦克斯韦方程有积分方程和微分方程两种表达形式。积分方程描述的是在一定区域（如闭合回路、闭合曲面）内场量、场源之间的关系，并可用于确定介质分界面处的边界条件，但它无法描述区域内各点处场量、场源之间的关系；而在实际问题中常常需要知道各点处各量之间的关系，此时则必须利用微分形式的方程。针对本章内容，我们利用微分形式的方程，其表示式为（2.1-1a）上一页下一页返回2.1波动方程与导行波（2.1-1b）（2.1-1c）（2.1-1d）这是一个偏微分方程组（旋度和散度方程），它表示空间各点处的场量（对空间坐标和时间的变化率）之间，以及场量与该点处场源量的密度之间的关系。这个方程对任何介质都是适用的，而且，场量和场源随空间坐标的变化和随时间的变化可以是任意函数。不同的介质具有不同的电磁性质，在宏观范围内可以用

、

、

等参量来表征这一特性，参量不同对电磁场的反应不同。因此在讨论电磁场的问题时，除利用式（2.1-1a）～（2.1-1d）之外，各量还应满足下列关系（称为物质方程，也称附加条件）上一页下一页返回2.1波动方程与导行波D=E

（2.1-2a）B=H（2.1-2b）J=E（2.1-2c）当给定了初始条件和边界条件时，对方程求解，就可以得到所讨论的区域内各量之间的具体的关系式，以及它们随时间的变化规律。对于上述各量通常都采用SI单位制（国际单位制），即E

——电场强度矢量，V/m（伏[特]/米）D

——电位移矢量，C/m2（库[伦]/米2）H——磁场强度矢量，A/m（安[培]/米）B

——磁感应强度矢量，Wb/m2=1T（韦[伯]/米2=1特[斯拉]）J

——传导电流密度矢量，A/m2（安[培]/米2）上一页下一页返回2.1波动方程与导行波

——电荷体密度，C/m3（库[伦]/米3）

——介质的电导率，S/m（西[门子]/米）

——介质的磁导率，H/m（亨[利]/米）

——介质的介电常数，F/m（法[拉]/米）在自由空间（理想的真空，近似地讲，空气）中，

和

分别为

=

0=4×10–7H/m

=

0

≈1/36×10–9F/m在微波技术中经常遇到的介质是静止的，其参量（

，

，

）是不随空间坐标、方向、时间和场强变化的，即介质是均匀、各向同性、时不变、线性的，称为简单介质；反之，则称为复杂介质。上一页下一页返回2.1波动方程与导行波若用

r

和

r

分别表示介质相对于真空的磁导率和介电常数（分别称为相对磁导率和相对介电常数），则有

=

r

0

=

r

0在各向异性介质中，介质的参数与外加场强的大小和方向有关，对于这种情况，可利用张量来表示这种特性，这里不予讨论，读者可参阅有关的书籍。对于交变电磁场，场矢量E、D、H、B

和J，以及1等，不仅是空间位置的函数，而且还是时间的函数。式（2.1-1）所表示的是各量瞬时值之间的变化关系式，而且各量随时间的变化规律可以是任意的。至于随时间变化的具体规律是什么，这取决于场源随时间的变化规律。式（2.1-1a）是法拉第电磁感应定律上一页下一页返回2.1波动方程与导行波或（麦克斯韦方程积分形式）的微分形式，它表示电场是由随时间而变化的磁场所激发的，电场E

是涡旋场（有旋场）。式（2.1-1b）是安培环路定律（全电流定律）（麦克斯韦方程积分形式）的微分形式。式中的电流密度矢量J总，在一般情况下，它包括传导电流密度矢量J（带电粒子在导电介质中运动所形成的电流）、运流电流密度矢量（带电粒子或带电物体在空间运动所形成的电流），以及位移电流密度矢量Jd（

D/t

即电位移矢量对于时间的变化率）。上一页下一页返回2.1波动方程与导行波需要指出的是，根据本章内容的实际情况，在式（2.1-1b）中，只考虑了传导电流密度矢量和位移电流密度矢量，而未考虑运流电流密度矢量。该式表明，不仅传导电流可以产生磁场，而且位移电流（随时间而变化的电场）也可以产生磁场。式（2.1-1c）是高斯定律（麦克斯韦方程积分形式）的微分形式，它表示电荷激发出电场。式（2.1-1d）是磁感应强度连续性定律（麦克斯韦方程积分形式）的微分形式。上一页下一页返回2.1波动方程与导行波由以上所述可知，电场的旋度和散度都不为零，所以，电力线可以是闭合的，它与磁力线相互交连，电力线也可以是不闭合的，它从正电荷开始，止于负电荷，因此，在一般情况下，交变电磁场中的电场，是由电荷所激发的电场与由随时间变化的磁场所激发的电场的矢量和)由磁场的散度为零可知，不存在孤立的磁荷，因此，磁力线总是闭合的，它与电力线相互交连，或与电流相联系。在一般情况下，磁场是由传导电流所激发的磁场与由位移电流所激发的磁场的矢量和。麦克斯韦方程组对于静态的电场和磁场也是适用的，因为可以把这种情况看做是一个特例。由电磁场理论可知，微分形式的麦克斯韦方程组是在场量为空间和时间的连续函数（包括场量对空间和时间的导函数也是连续的）条件下得出的，因此它的应用范围应与该条件相适应。上一页下一页返回2.1波动方程与导行波在不同介质的分界面上，因为介质的参数（

，

，

）发生突变，并引起某些场量的突变，所以，微分形式的麦克斯韦方程组已不再适用)在这种情况下，为了确定分界面上场量之间的关系，应该采用积分形式的麦克斯韦方程组，据此即可推导出不同介质分界面上场量的边界条件。稳态的电磁波，先是由场源（电流或电荷）所激发，而后从激发点开始、离开场源向外传播。在微波中通常遇到的是，在远离场源时电磁波在简单介质中的传播问题，本章所讨论的问题即属于这一范畴，而且还仅限于讨论

和

都是（实数）常数，以及J、

和

都为零的区域内（理想介质内）电磁波的传播问题。以上我们对麦克斯韦方程组作了简要地回顾与复习。下面讨论波动方程。为了推导出波动方程，对式（2.1-1a）等号的两端取旋度，得上一页下一页返回2.1波动方程与导行波▽×▽×E=-

/t

（▽×H）将式（2.1-1b）代入到上式中，则利用矢量恒等式（2.1-3）如上所述，因已假定所讨论的区域内

=0，所以▽

·E=0，由此得（2.1-4）同样地，对于式（2.1-1b）经过类似的推导过程，并注意到▽

·B=0，则得（2.1-5）上一页下一页返回2.1波动方程与导行波式（2.1-4）和（2.1-5）是一个矢量形式的波动方程。电磁波（各种TEM波）在无界介质（

，

）中的传播速度（光速）为（2.1-6）在自由空间（近似地讲，在空气中）的传播速度为（2.1-7）如前所述，对于交变电磁场，各个场量都是空间和时间的函数，而其随时间t

的变化规律可以是任意的。例如，以电场

E为例，若选取直角坐标系（x，y，z），则可将E

表示为三个分量相加的形式

E（x，y，z，t）=xEx（x，y，z，t）+yEy（x，y，z，t）+zEz（x，y，z，t）上一页下一页返回2.1波动方程与导行波式中的

x、y和z分别为沿x、y

和z轴正方向的单位矢量。对于其他场量也可以写出类似的表示式。但是，正如在第1章中曾指出的，经常遇到的是随时间的变化规律为简谐振荡的场，因此本章和本书只讨论简谐场的情况。当电磁波的波源是具有一定角频率

的简谐场时，则在线性介质中、在稳定状态下所激发的场量是与波源具有同样角频率的简谐场。对于这种场量，采用复数表示法是比较方便的，这样，就得到了简谐矢量场的复数表示法——复矢量（具有大小、方向和初相角的量）。例如，仍以电场E

为例，其瞬时值可表示为（2.1-8）上一页下一页返回2.1波动方程与导行波式中，Ex、Ey和Ez

分别为场矢量E在各坐标轴上分量的幅值；

x、

y

和

z

为各分量的初相角，这些量仅是空间坐标（x，y，z）的函数，为书写方便，以后均省写了坐标变量。现采用复数法（复矢量）表示式（2.1-8）的电场E；为了与场量随时间的变化规律可以是任意的情况区别开来，暂时在场量的符号上加一个圆点“•”，用以表示复矢量。这样，式（2.1-8）即可写为式或简写为（2.1-9）上一页下一页返回2.1波动方程与导行波式中的为（2.1-10）称为电场E（x，y，z，t）的复矢量（也有称为复振幅或复振幅矢量的）。对于随时间作简谐规律变化的磁场H（x，y，z，t）则可用磁场的复矢量表示为（2.1-11）式中的为（2.1-12）上一页下一页返回2.1波动方程与导行波依此类推，在简谐场的情况下，其他的场矢量（如D、B和J等）也都有与其相对应的复矢量。顺便指出，在上述表示式中采用的符号是Re（取实部），显然，也可采用Im（取虚部）。另外，需要说明的是，虽然可以将电场复矢量

E或磁场的复矢量

H写成其在三个坐标轴上的三个分量相加的数学表示式，但是却无法用空间的图形把它表示出来，因为每个分量都有自己的初相角（

x、

y

和

z）而且就一般情况而言，这三个初相角是各不相同的。这正是复矢量与一般的实数矢量不同之处。以上所讲，是场矢量在直角坐标系中的表示方法，至于在其他坐标系中的表示方法，与此相类似，所不同的只是坐标变量与单位矢量因坐标系不同而异。上一页下一页返回2.1波动方程与导行波应特别指出的是，因本书所讨论的都是简谐场，为了书写方便，在以后的讲述中，复矢量符号上的小圆点“•”均省略。但是应记住，除特别指出者外，它们都是复矢量，而不是瞬时值，切不可因两者的字母符号相同，而把它们的不同含义混淆了。根据这个约定，就可以从式（2.1-1）和式（2.1-2）得到以复矢量表示的麦克斯韦方程组为▽

×E=-jH

（2.1-13a）▽×H=jE

（2.1-13b）▽·D=0（2.1-13c）▽·B=0（2.1-13d）以及D=E

（2.1-14a）B=H

（2.1-14b）上一页下一页返回2.1波动方程与导行波式（2.1-4）和式（2.1-5）则变为▽2E+

2E=0（2.1-15）▽2H+

2H=0（2.1-16）或写为▽2E+K2E=0（2.1-17）▽2H+K2H=0（2.1-18）式中，K2=

2

，即，

是角频率为

的电磁波（TEM波）在无界介质中的波长，K

是相移常数，也称为波数（1/

为单位距离上的波长数，称为波数，但一般的，把它的2倍，即2距离上含有的波长数2/

称为圆波数，简称波数）。这是两个复矢量形式的波动方程（齐次的亥姆霍兹方程），它们对任何坐标系都是适用的。上一页下一页返回2.1波动方程与导行波在直角坐标系中，由于单位坐标矢量为常矢量，因此可将矢量形式的波动方程化为用场矢量的分量所表示的标量齐次亥姆霍兹方程，对这个方程的求解是比较容易的。但是，在非直角坐标系中，由于单位坐标矢量不是常矢量，因此，▽2E

和▽2H

的表示式比较复杂。对于J

和

都不为零的有源区域内的简谐场，用与前面所述相类似的推导方法，即可得到下列方程（2.1-19）（2.1-20）这两个波动方程是非齐次的复矢量形式的亥姆霍兹方程。如前所述，因为在所讨论的区域内

=0，所以，式中的Je

是一个由外部场源所激发的电流密度矢量。对于这两个方程，本书不讨论。上一页下一页返回2.1波动方程与导行波二，导行电磁波如前所述，微波传输线的作用就是导引电磁波沿某一特定方向传播，此时称电磁波为导行波，而把传输线称为导波系统。因为对于随时间做简谐振荡的电磁波而言，波动方程式（2.1-4）和式（2.1-5）已退化为式（2.1-17）和式（2.1-18）的亥姆霍兹方程，而解此方程并不需要初始条件，所以，研究导行波的传播就是以方程式（2.1-17）和式（2.1-18）作为出发点，根据电磁波在导波系统中所填充的介质与导体分界面处应满足的边界条件，求出电磁波的场在导波系统横截面的分布规律（场结构），以及电磁波沿传播方向的传播特性。对于其横截面为任意形状的规则波导，考虑到沿其纵向（轴向）均呈柱形，因此采用广义的正交（柱）坐标系（u，v，z）是比较方便的。上一页下一页返回2.1波动方程与导行波（u，v，z）相当于本章附录中所说的广义正交曲线坐标系中的坐标变量（q1，q2，q3）。u

和v

表示横向的坐标变量，z

表示纵向的坐标变量，并用u、v、z

分别表示沿坐标曲线u、v、z

的切线单位矢量，其方向分别指向u、v、z

增大的方向，三个单位矢量相互正交，并构成右螺旋坐标制，如图2.1-1所示。假定电磁波是沿波导的纵向（z轴）传播的，与z

轴相垂直的横截面用字母t

表示，横截面内的坐标变量为（u，v）。并假定：波导内表面的电导率为无限大，波导内填充的是简单介质，而且是无耗的，波导（空间）内无自由电荷和传导电流，波导横截面的形状和尺寸（包括介质的形状和尺寸）沿z

轴是不变化的，以及波导是无限长的。在这种情况下，场量的幅值在横截面内的分布规律不随坐标z

变化，场量的幅值和相位沿z

轴的变化规律与横向坐标（u，v）无关。上一页下一页返回2.1波动方程与导行波这样，就可以把场矢量写成分离变量的形式，而且，对于简谐场，因其源量和场量都含有相同的简谐因子ej

t

，而该因子与对坐标变量的微积分运算无关，因此在运算中可省略。例如，对于电场，可表示为E（u，v，z）=E（u，v）Z（z）（2.1-21）式中，E（u，v）仅是横向坐标（u，v）的函数，它表示电场在波导横截面内的分布状态，称为分布函数（模式函数），Z（z）仅是纵向坐标z

的函数，它表示电场沿z

轴的传播规律，称为传播因子。总起来讲E

电场，仍是三个坐标变量（u，v，z）的函数。对于广义正交（柱）坐标系，拉普拉斯（Laplace）算子为（2.1-22）上一页下一页返回2.1波动方程与导行波式中的h1、h2、h3

为坐标度量系数（拉梅系数）。对于如图2.1-1所示的广义正交（柱）坐标系，其度量系数h1

和h2

与坐标z无关，h3=1。为了运算方便，可以把算子写成横向算子▽t2

与纵向算子▽z2之和的形式，即▽2=▽t2+▽z2

。（2.1-23）将算子和用式（2.1-21）所表示的电场一并代入到波动方程式（2.1-17）中，经运算，得即（2.1-24）上一页下一页返回2.1波动方程与导行波因为在该式等号左端的E（u，v）与z

无关，所以，等号右端中与

z

有关的项应该等于某一常数，设其为

2。这样，就有或写为（2.1-25）该方程的通解为（2.1-26）式中，第一项表示向正z方向传播的波，第二项表示向负

z

方向传播的波；A+

和A-

是待定的常数（根据边界条件来确定），可以看做是波的复振幅)

是传播常数，在一般情况下，它是一个复数，即上一页下一页返回2.1波动方程与导行波

=

+j

（2.1-27）式中，

为衰减常数（Np/m或dB/M），

为相移常数（rad/m），对于（理想的）无耗波导=0，

=j

。这样，式（2.1-24）可写为令（2.1-28）则有（2.1-29）同样，对于磁场H

可写为（2.1-30）经过类似的运算步骤，可得上一页下一页返回2.1波动方程与导行波（2.1-31）式（2.1-29）和式（2.1-31）是矢量形式的方程，在求解时需将其化为标量形式的方程。式中的KC

称为截止波数，它是与波导横截面的形状、尺寸，以及所传输的电磁波的波型（模）有关的一个参量。如前面曾指出的，对于无耗波导，

=j

，因此（2.1-32）由此可知，当

=0时，波不再沿z

轴传播，呈截止状态，此时，K=KC，即2/

=2/

C，称为截止波数，

C称为截止波长，称为截至频率。对于无耗波导，式（2.1-26）变为（2.1-33）上一页下一页返回2.1波动方程与导行波从以上的推导结果可以看出，电磁波沿z轴有相位的变化，而且，一般而言，存在着传播方向相反的两个行波；但是，对于规则波导而言，沿相反方向传播的两个行波，除方向不同外，并无本质上的区别，因此，只需要考虑一个方向的行波就可以了。这样，若取式（2.1-33）中的第一项，则（2.1-34）它表示波在规则波导中沿z

轴正方向的传播规律。至于电磁波的场在规则波导横截面的分布规律，则只有当给定了横截面的形状、尺寸、填充的介质和所传输的模式之后，对式（2.1-29）和式（2.1-31）求解才能得到，这将在本章的后半部分讨论到具体的波导时再作介绍。上一页返回2.2规则波导中的导行波本节主要讨论一般规则波导中导行波的波型（模式，模）和传输特性。所谓传输特性是指：传输条件、传播常数、传播速度、波导波长、波型阻抗、传输功率，以及损耗和衰减等。一、波型所谓波型，是指每一种能够单独地在规则波导中存在的电磁场的一种分布状态（场结构）。根据边界条件对式（2.1-29）和式（2.1-31）求解，即可得到场的分布状态。对于简场，电场和磁场共有6个场强的分量，由于麦克斯韦方程组已将其联系在一起，因此，实际上只有两个相互独立的分量。即是说，在解方程时，并不需要直接地对场的各个分量求解（直接求解，从数学上讲并不容易）。下一页返回2.2规则波导中的导行波取电场的纵向分量

Ez

和磁场的纵向分量Hz

作为相互独立的分量，利用麦克斯韦方程组中的两个旋度公式，求出场的横向分量与纵向分量之间的关系式，当求出了纵向分量之后，根据这个关系式即可求出场的所有横向分量，这样，每一种波型的场的分布状态也就求出来了；除此而外，通常还根据场量中只有横向分量而无纵向分量，或有横向分量，但纵向分量只有Hz

而无Ez

或只有Ez

而无Hz

等三种情况，将波型划分为三类。下面就来讨论这些问题。我们要讨论的一般规则波导如图2.1-1所示，在采用广义正交（柱）坐标系的情况下，电场和磁场可写为（2.2-1）（2.2-2）上一页下一页返回2.2规则波导中的导行波式中，Et

和Ht

分别表示电场和磁场的横向分量。对于简谐场，它应满足式（2.1-13a）和（2.1-13b）两个旋度公式，即（2.2-3）（2.2-4）我们把矢量微分算子▽写为横向算子与纵向算子之和的形式，▽=▽t+▽z。取式（2.2-3）等号两端的横向分量（用字母

t表示），使之相等，即（2.2-5）同样，对于式（2.2-4）则为（2.2-6）上一页下一页返回2.2规则波导中的导行波首先讨论式（2.2-6），用▽z叉乘等号的两端，并注意应用下面的矢量恒等式（2.2-7）则得等号左端第一项为等号左端第二项为将这两项合并在一起，经运算，得上一页下一页返回2.2规则波导中的导行波即（2.2-8）若波导是有耗的，并假定电磁波沿z

轴正方向传播，波因子为e-z，当把算子▽z

作用到e-z

时，则有可见，当▽z

作用到波因子e-z

时，就相当于把波因子乘以（-

）z，因此可以把▽z

写为这样，式（2.2-8）就变为（2.2-9）上一页下一页返回2.2规则波导中的导行波由式（2.2-5）知将其代入到式（2.2-9）中，得即则（2.2-10）或写为上一页下一页返回2.2规则波导中的导行波同样，对于式（2.2-5）经过类似的推导步骤，则（2.2-11）或写为式中这就是根据麦克斯韦方程组中的两个旋度公式导出的用场的纵向分量表示场的横向分量的表示式。可见，只要求出了纵向分量Ez

和Hz，则场的横向分量Et

和Ht

即可求出，每一种波型的场的分布状态也就求出来了。若波导是无耗的，即

=j

，KC2=K2

-

2，则上述两式变为上一页下一页返回2.2规则波导中的导行波或写为（2.2-12）或写为（2.2-13）现在我们讨论电场的纵向分量

Ez和磁场的纵向分量

Hz应满足什么样的方程。假定任一矢量F，在广义正交（柱）坐标系中可表示为当把算子▽2

作用到矢量

F上时，则▽2F的展开式为（2.2-14）上一页下一页返回2.2规则波导中的导行波已知式（2.1-29）和（2.1-31）分别为式中利用式（2.2-14）将该两式展开后，即可求出电场的纵向分量

Ez和磁场的纵向分量

Hz应满足的方程。例如，对于式（2.1-29）可展开为经整理，得上一页下一页返回2.2规则波导中的导行波由此式可知（2.2-15）同样，将式（2.1-31）展开后，则有可见，Ez

和

Hz

都满足标量形式的亥姆霍兹方程，这种方程的求解是比较容易的。从式（2.2-12）和式（2.2-13）可以看出：上一页下一页返回2.2规则波导中的导行波当KC

大于零时，Ez

和Hz

不能同时为零（否则，场已不存在），但是只要其中一个不为零（另一个可以为零），场就可以存在)当KC等于零时，Ez

和Hz

必须同时为零，电场和磁场的横向分量才有确定的值，场才可以存在。不同的情况对应着不同的场分布（波型），但都是在满足一定边界条件下相互独立的波动方程的解。根据这种分析，对于无耗规则波导中的波型可划分为三类：TEM波（Ez=0，Hz=0，电场和磁场只有横向分量，称为横电磁波）；TE波（Ez

=0，Hz

≠0，称为横电波，因为场的纵向分量只有磁场，故又称H波）)TM波（Ez≠0，Hz=0，称为横磁波，因为场的纵向分量只有电场，故又称E波）。这三类波型都是可以单独存在的波型。对于既有Ez、又有Hz

的情况，则可把它看做是TE和TM波型的线性叠加。上一页下一页返回2.2规则波导中的导行波需要说明的是，这种分类法是对无耗规则波导而言的，若波导有耗，则Ez

和

Hz

将同时存在，这样，就不会有能够单独存在的纯TEM、TE和TM波型。但是，对于实际应用的波导，因其损耗很小，可近似地看做是无耗的。下面对这三类波型分别加以讨论。（一）TEM波型这种波型的Ez

和Hz都为零，电场和磁场只有横向分量。由式（2.2-12）和式（2.2-14）可知，只有令KC=0，场的横向分量Et和Ht

才有非零解，TEM波型才能够存在。这样，根据式（2.1-29）和式（2.1-31），TEM波型的场满足下面的方程（2.2-17）（2.2-18）上一页下一页返回2.2规则波导中的导行波根据式（2.1-32）知因为KC=0，所以

2=K2，即相移常数为（2.2-19）式（2.2-17）和式（2.2-18）是一个二维的矢量形式的拉普拉斯方程，静态场也满足同样的方程。可见，TEM波型的场在规则波导横截面上的分布规律，与在同样边界条件下二维静态场在横截面上的分布规律是完全一样的。但是，静态场是由静电荷或恒定电流所产生的，因此，一个导波系统若能传输TEM波型，则在该系统中必须能够存在静电荷或恒定电流，而在由单导体所构成的空心金属波导管内（例如，矩形、圆形波导管），不可能存在静电荷或恒定电流，因此也不可能传输TEM波型。上一页下一页返回2.2规则波导中的导行波如果导波系统不是单导体，而是双导体（例如，双导线传输线、同轴线、带状线、微带线——准TEM波型）或多导体系统，则可以传输TEM波型。从另一角度看，同样可以说明由单导体所构成的空心金属波导管内不可能传输TEM波型。因为磁力线总是闭合的，它或者围绕着传导电流而闭合，或者围绕着位移电流而闭合。对于TEM波型，它的磁场在导波系统内只有横向分量，若该磁场能够存在，那么，按照安培环路定律，则要求导波系统应有纵向的传导电流或位移电流。但是，在由单导体所构成的空心金属波导管内部（空间）不存在纵向的传导电流，而且对于TEM波型而言，它本身也不存在纵向电场和由此而产生的纵向位移电流，因此TEM波型的横向磁场也不可能存在，因为交变电场与交变磁场是同时存在、互相依存、而又互相感应的，所以TEM波型的横向电场同样不能存在。上一页下一页返回2.2规则波导中的导行波由此可知，在单导体的空心金属波导管内不可能存在、也不可能传输TEM波型。当然，在单导体的空心金属波导管内，可以存在纵向电场

Ez（它对应着纵向位移电流），但同时还存在着电场的横向分量，而磁场则只有横向分量，这是TM波型)也可能电场只有横向分量，而磁场则既有横向分量，又有纵向分量，这是TE波型。可见，它们都不是TEM波型。关于TM和TE波型，后面将详细讨论。需要指出的是，现在所讨论的TEM波型，是一个随着时间变化、且沿z

轴传播的交变电磁场，它与纯粹由静电荷或恒定电流所建立的场，虽然在导波系统横截面上的分布规律相同，但在本质上两者是不相同的。前面已讲过，对于TEM波型，KC

为零，则由KC=2/

C

可知，截止波长

C

为无穷大。上一页下一页返回2.2规则波导中的导行波这就是说，对于能够传输TEM波型的导波系统来说，当它传输TEM波型时，没有频率上限和下限，但在实际应用中其频率上限则取决于不出现TE和TM高次模以及所允许的功率损耗程度。（二）TE波型TE波型是横电波型，电场只有横向分量，其纵向分量

Ez为零，磁场的纵向分量Hz不为零，因此也称为H波型。由式（2.2-12）和式（2.2-13）可知，磁场的和电场的横向分量分别为（2.2-20）（2.2-21a）或（2.2-21b）上一页下一页返回2.2规则波导中的导行波式中，KC2=K2–

2。可见，在波导横截面内，各点的

Et与Ht是互相正交的，而且Et、Ht

和单位矢量

z构成了一个右手螺旋系。（三）TM波型TM波型是横磁波型，磁场只有横向分量，其纵向分量Hz为零，电场的纵向分量Ez不为零，因此也称为E

波型。由式（2.2-12）和式（2.2-13）可知，磁场的和电场的横向分量分别为（2.2-22）（2.2-23）或（2.2-24）上一页下一页返回2.2规则波导中的导行波Et

和Ht

是互相正交的，它们与z构成了一个右手螺旋系。以上是根据在波导中传输的电磁波是否有电场或磁场的纵向分量而将其划分为三类波型。其中，TE和TM还可细分为很多种不同的波型（理论上讲有无穷多个），它们都是在一定边界条件下波动方程的解，这将在本章后面讲到具体的波导时再详述。除上述三类波型外，在有的导波系统中，也有

Ez

和Hz

都不为零的波型，一般称之为混合波型（混合模）。二、传输特性讨论电磁波在规则波导中沿轴向传播时的一些特性。（一）传输条件上一页下一页返回2.2规则波导中的导行波在单导体的空心金属波导内（以下简称波导），虽然能够存在TE和TM波型，但是，若使这两类波型能够在波导中传输，尚需满足一定的条件。对于无耗的规则波导而言，根据式（2.1-34）可知，导行波沿波导

z轴正方向的传播规律为式中的

为波沿z轴的相移常数，根据式（2.1-32），

为（2.2-25）对于已给定了横截面的具体形状、尺寸和一定波型的波导来说，KC

也就确定了。上一页下一页返回2.2规则波导中的导行波若波导中填充的介质也已给定，那么，K

的值（）就取决于频率的高低，实际上也就是相移常数

的值也取决于频率的高低，或者说，某一波型的电磁波能否在波导中传输，也取决于频率的高低。当频率变化时可能出现下述的三种情况。（1）当K

＞

KC

时，

为正和负的实数，根据式（2.1-34）可知，它们分别表示波向z轴的正和负方向传播时的相移常数，对于相应的模式，波导呈现传输状态。根据式（2.2-25）可知（2.2-26a）称为工作波长（TEM波在无界介质中的波长），当介质给定时，它与工作频率是相对应的，通常所说电磁波（波源）的波长和频率，就是指

和

f而言的，它们与波导的形状和尺寸无关。上一页下一页返回2.2规则波导中的导行波

还可写为，

0

为电磁波在自由空间中的波长，

r

为介质的相对介电常数。（2）当K

＜

KC时，

为正和负的虚数，根据式（2.1-34）可知，它们分别表示波的幅值沿

z轴的负和正方向按指数规律衰减，沿z轴没有相位的变化，对于相应的模式，波导呈现截止状态。显然，此时应有下列关系（2.2-26b）需要指出的是，现在讨论的是无耗波导，因此，从理论上讲，波的衰减并不是由于波导本身的热损耗引起的，也就是说，这种衰减并不伴随着电磁波能量的损耗，而是由于电磁波不满足传播条件而引起的所谓电抗性衰减。因此，应把这种“衰减”与实际有耗波导中由于热损耗而引起的电磁波能量的衰减区别开来。上一页下一页返回2.2规则波导中的导行波处于截止状态的波导虽然不能传输电磁波，但却可以用它构成波导式截止衰减器或其他的一些微波元件。（3）当K=KC时，这是传输与截止的分界点，称为临界状态。显然，此时应有下列关系，即（2.2-27）（2.2-28）可见，截止频率也就是临界频率，

c

是临界（截止）角频率。同理，与fc

相对应的波长

c，称为临界波长或截止波长。

c的表示式为（2.2-29）式中的

v如式（2.1-6）所示，是电磁波（TEM波）在无界介质（与波导中填充的介质相同）中的传播速度。上一页下一页返回2.2规则波导中的导行波归纳上述的三种情况可以看出，对于某一类波型而言，若要在给定的波导内能够传输，则要求电磁波的工作波长

小于截止波长

c，或者说工作频率

f大于截止频率

fc。可见，这一类的波导具有高通滤波器的特性。（二）传播常数在前面讨论波动方程的求解过程时，曾引入了传播常数

，即式（2.1-27）

=

+j

式中的衰减常数

表示波导单位长度上波的幅值的衰减量，它与波导横截面的形状、尺寸、波导管壁内表面的材料、波导内填充的介质、传输的波型，以及工作频率（或工作波长）等因素有关。关于

的表示式，在讲到具体的波导时再详述。上一页下一页返回2.2规则波导中的导行波

表示波沿波导的轴向传播时单位距离内相位的变化量。假定波导是无耗的，则衰减常数-等于零，

=j

。（三）波的速度和波导波长（1）相速。波的相速是指波的等相位面沿波导的轴向（z）传播的速度，用vp

表示。从广义的角度讲，波导与传输线是同义语，因此，对于波在无耗波导中的相速，可以直接引用第1章的式（1.2-15）来求出，即vp=dz/dt=

/

（2.2-30）因已知，K=2/

，Kc=2/

c，则（2.2-31）上一页下一页返回2.2规则波导中的导行波（a）TEM波型的相速。对于传输TEM波型的导波系统，其截止波长

c

为无穷大，根据式（2.2-31）可知其相速

vp为（2.2-32）可见，相速vp也就是电磁波（TEM波）在无界介质中的传播速度，而且与频率无关（假定和与频率无关，实际上它们与频率有关。这里是近似的说法）。我们把具有这种特性的波型称为无色散波型；而有的波型（例如TE和TM），当波导的形状、尺寸和所填充的介质给定时，对于传输某一波型的电磁波而言，其相速vp（以及后面将要讨论的群速vg）则是随着频率而变化的。我们把具有这种特性的波型称为色散波型。“色散”一词是从光学中借用来的。上一页下一页返回2.2规则波导中的导行波根据光学知识可知，当一束白色光通过棱镜之后，可以分解为7种不同颜色的单色光，这种现象称为光的色散。这是由于同一种介质（真空，近似地讲还有空气，均除外）对不同频率的单色光的传播速度不同而造成的，而传播速度的不同是因为介质的折射率（）是随着频率而变化的。但应注意的是，波导中的色散并不是由波导中的填充介质（线性介质）造成的，而是由波导本身的特性（边界条件）所造成的，这与光学中所讲的产生色散的原因有本质上的区别。在波导中被传输信号的形状，由于色散的存在，在传输过程中会发生畸变，而且，波导波长也会发生变化。因此，在某些情况下，应该消除或尽量减少色散的影响。（b）TE和TM波型的相速。这两类波型的相速vp，即式（2.2-31）（2.2-33）上一页下一页返回2.2规则波导中的导行波这两类波型在波导中能够传输的条件是工作波长

小于截止波长

c，由此可知，此时的相速vp

大于光速

v。但是vp

并不是电磁波的能量沿波导轴的传播速度，能量沿z

轴的传播速度是不可能大于光速的。所谓相速，只是在行波状态下沿波导的轴z观察时，单一频率等幅振荡的正弦电磁波相位的变化速度，或者说，波的某一相位状态（例如，波峰或波谷）向前传播的速度。能量沿z轴的传播速度是下面将要讨论的群速vg，它小于光速

v。由式（2.2-33）可知，当波导横截面的形状、尺寸、波导中填充的介质给定时，相速vp是频率的函数。由此可见，TE和TM是色散波型。（2）波导波长。波导波长（导波长）或称相波长，是指在波导内沿其轴向传播的电磁波，它的相邻的两个同相位点之间的距离，用

g

表示。

g

与相速vp

相对应，若电磁波的频率是f，则，

g

为上一页下一页返回2.2规则波导中的导行波（2.2-34）电磁波沿波导轴向的相移常数

为（2.2-35）由此式可知，对于在导波系统中传输的TEM波，因其截止波长

c

为无穷大，所以

g

与工作波长

相等；对于TE和TM波型，在传输状态下

g

大于

，而且，

g

会随着频率而变化，这再次说明了这两类波型的色散特性。（3）群速。相速vp

实际是指其幅度、相位和频率均未受到调制时单一频率的正弦电磁波在行波状态下的速度而言的。上一页下一页返回2.2规则波导中的导行波从理论上讲，只有当波的周期性振荡在时间上无限延续、在空间传播中无限延伸时，相速才有意义，但是这种波不载有任何信息，而且，严格地讲，这种波在实际上是不可能实现的。若使波载有信息，则必须对波的参量（幅度、相位或频率）进行调制，而调制后的波就不再是单一频率的波，而是一个多频率成分的波。这种由多频率成分构成的“波群”的速度，称为群速，用vg

表示。所谓群速，实际上是指一群具有非常相近的角频率

和非常相近的相移常数

的波，在传播过程中所表现出的“共同”速度，这个速度代表能量的传播速度。群速vg

小于光速

v。为了导出群速vg

的表示式，可以用一个最简单的调幅波作为例子来加以说明。当波沿

z轴传播时，设在

z=0处和时间为

t

时有一调幅波输入，并沿

z轴的正方向往前传播。设载波的表示式为上一页下一页返回2.2规则波导中的导行波E（0，t）=E0cos

0t（2.2-36）式中，E0

为载波的振幅值；0

为角频率。用来对载波的振幅值进行调制的信号的表示式为E

（0，t）=E

cost（2.2-37）式中，E

为调制信号的振幅值；

（

<<

0）为角频率。则在z=0处和时间为

t时调幅波的表示式为（2.2-38）式中的M=E

/E0

称为调制系数。利用三角函数公式上一页下一页返回2.2规则波导中的导行波可将上式化为（2.2-39）可见，经过调制的波可以看做是由

0、

0+

和

0

-

三个频率成分（一个载频和两个旁频）所组成的波。设这三个频率的波的相移常数分别为

0、

+

和

-。当调制波从z=0处开始，传播了距离

z之后，它的表示式为（2.2-40）上一页下一页返回2.2规则波导中的导行波根据式（2.1-32），相移常数

为当

KC

和介质的

和

给定之后，

是角频率

的函数，写为

（

）。因为

<<

0（即频带很窄），所以，可以把

（

）在

0

处展开为泰勒级数的形式。从数学中已知，函数

f（x）在x=x0

处的泰勒级数的展开式为根据此式可得

（

）在

0处的泰勒级数的展开式为（2.2-41）上一页下一页返回2.2规则波导中的导行波式中的

0

即

（

0），因为

<<

0，所以，作为近似，只取该式的前二项，略去二次方以上的高次方项，因此有当

=

0+

时，可得（2.2-42）当

=

0

-

时，可得（2.2-43）将它们代入到式（2.2-40）中，加以整理，得（2.2-44）上一页下一页返回2.2规则波导中的导行波由此式可以看出，调幅波的幅值不仅随着时间、而且还随着距离而变化，即有一个随着调制信号而变化的波动状态在沿着

z轴的正方向传播（如图2.2-1中的包络线所示）。包络线的传播速度，也就是调制信号能量的传播速度，称为群速vg。图2.2-1是一个调幅波的示意图。需要说明的是，虽然可以将调幅波看做是由三个具有不同的频率和相位常数的波所组成的波群，然而群速却是这三个不同频率的波相叠加（相互干涉）后，作为调幅波的整体速度而出现的。因为振幅值等相位面（包络线上等相位点）的传播速度就是群速，所以，可令并对时间

t求导，即上一页下一页返回2.2规则波导中的导行波则群速vg

为（2.2-45）群速的公式虽然是从一个最简单的调幅波推导出的，但是它仍具有一般性。在很窄频带的情况下，利用傅里叶变换和逆变换也可以得到同样的结果。从上述的分析和推导过程可知，只有在组成信号的频带很窄（

<<

0）的情况下，才可以将式（2.2-41）中的高次方项略去，并从而得出式（2.2-42）和式（2.2-43），由此得到的群速才有意义；若组成信号的频带较宽，则式（2.2-41）中的高次方项就应该保留，这样就得不到群速的表示式，就是说，信号在传输过程中会发生畸变，群速也就失去了意义，这是因为波群（调幅波）中不同频率成分的波相速相差较大，以致它们在传输的过程中会很快地“散开”，难以再用一个“共同的”速度（群速）来描述“波群”的运动情况。上一页下一页返回2.2规则波导中的导行波已知在规则波导中的相移常数

为由此可得

为根据式（2.2-45）就可得出群速vg

的表示式（2.2-46）显然，在传输条件下，vg

小于

v，而且有vgvp=v2。对于无色散的TEM波型，则有vg=vp=v。上一页下一页返回2.2规则波导中的导行波（四）波型阻抗在第1章中曾讲过特性阻抗的概念，而且在讨论传输线上波的反射、驻波比和匹配，以及传输线的传输功率和损耗等问题时，都用到过这个参量。与此相类似，在规则波导中我们引入了波型阻抗的概念。在不计损耗的情况下，由式（2.2-21b）和式（2.2-24）可知，对于TE和TM波型而言，在行波状态下，电场的横向分量Et

和磁场的横向分量Ht

不仅构成了沿波导轴正

z方向传播的波，而且对于同一波型而言|Et|

与|Ht|

的比值（或Eu/Hv=-Ev/Hu）在波导横截面内处处相等，它与坐标

z无关，并具有阻抗的量纲。这个比值就称为波型阻抗ZW（有时也称为波阻抗或特性阻抗）。根据式（2.2-21b）和式（2.2-24）可以得到TE和TM模的波型阻抗ZW

分别为（2.2-47）上一页下一页返回2.2规则波导中的导行波（2.2-48）式中是电磁波（各种TEM波）在无界介质（

，

）中的波阻抗（介质的波阻抗）。从这两个表示式可以看出，在行波状态下（

＜

c），波型阻抗为纯实数。一般地讲，波型阻抗是指行波状态而言的，对于截止状态若仍采用这一术语的话，那么，在截止状态下（

＜

c），波型阻抗是一个负的（对于TE）或正的（对于TM）纯电抗，这说明波导已不能传输能量，而变为一个储能元件。ZTE

和

ZTM

的倒数

YTE

和YTM，称为波型导纳。对于TEM波，电在介质中的阻抗为（2.2-49）上一页下一页返回2.2规则波导中的导行波（五）传输功率根据电磁场理论，在讨论场中各点处能量（或功率）的传播情况时，可以用坡印廷矢量来加以描述。它是一个面功率（流）密度矢量，其方向就是场中各点处能量的传播方向，其数值表示单位时间内通过与能量传播方向相垂直的单位面积的能量（或功率）。因为我们现在讨论的是随时间做简谐振荡得交变电磁场，所以在规则波导横截面上任意一点处的坡印廷矢量，其数值（指坡印廷矢量的瞬时值，即瞬时功率密度矢量的值）在不同的时刻是不相同的，而且，在同一时刻，各点的坡印廷矢量的数值也不相同，即它不仅是时间的函数，而且还是空间位置的函数。上一页下一页返回2.2规则波导中的导行波在实际中用得较多的不是坡印廷矢量的瞬时值，而是它对于时间的平均值，因此，首先用电磁波的一个周期（T）作为积分区间，对瞬时坡印廷矢量积分，然后再除以周期T，就得到了波导横截面上任意一点处坡印廷矢量对于时间的平均值，也即该点处传播功率的平均值，最后在整个横截面上对这个平均值积分，就得到了通过波导横截面传输的对于时间的平均功率P。现以直角坐标系为例，导出传输功率

P的计算公式。仿照式（2.1-8），电场

E和磁场

H可表示为上一页下一页返回2.2规则波导中的导行波坡印廷矢量瞬时值的表示式为

S=E

×H，将上式代入其中，即可求出S

的具体表示式，表示式是三个分量相加的形式，其中在

x轴上的分量Sx

为

Sx对于时间的平均值为根据2.1中关于用复矢量表示简谐场时书写方式的约定，可将上式改写为注意，该式中的场量为复矢量，*表示共轭复矢量。经过类似推导过程，可求得其他两个分量对于时间的平均值分别为上一页下一页返回2.2规则波导中的导行波将三个分量相加，即得到坡印廷矢量

S对于时间的平均值为显然，坡印廷矢量对于时间平均值的复数表示式即为（2.2-50a）这是波导横截面中一点的平均功率密度（矢量），因此，在规则波导中，当不计损耗时，在行波状态下，电磁波沿波导轴

z正方向通过横截面

S传输的（对于时间的）平均功率

P（有功功率，下同），应为复数坡印廷矢量在横截面上积分量的实部，即上一页下一页返回2.2规则波导中的导行波（2.2-50b）式中，dS为横截面上的微面积元（可以看做矢量，其方向为微面积元的正法线方向），其大小为dS

因为沿波导轴正

z方向传播的功率，实际上只与场的横向分量有关，因此传输的平均功率

P又可写为下列形式（2.2-51）因为波型阻抗

ZW

的定义是|Et|

与|Ht|的比值，所以传输的平均功率

P还可以写为（2.2-52）上一页下一页返回2.2规则波导中的导行波当波导横截面的形状、尺寸，以及波导中填充的介质和传输波型场的表示式给定之后，即可按上述公式求出波导的传输功率。我们知道，通过波导横截面传输的平均功率，实际上意味着有能量沿着波导的轴向流动，因此就存在着一个能量流动的速度

ve。如果用W

表示波导单位长度内储存的能量（对时间）的平均值，那么，W乘以ve

就等于单位时间内通过波导横截面的能量，也就是通过波导横截面的平均功率。由此可得关系式ve=P/W（2.2-53）式中，W=We+Wm，表示电场能量，Wm

表示磁场能量。在行波状态下，We=Wm，因此W=2We

或W=2Wm。对于式（2.2-53），现以TM波型（用TE波型也可）来加以证明。在波导单位长度内储存的磁场能量的平均值Wm

为上一页下一页返回2.2规则波导中的导行波根据式（2.2-52），通过波导横截面的平均功率为因为

W=2Wm，所以一般地讲，并非在所有情况下能量的传播速度都等于群速，有时两者并不相等，但是，在通常使用的波导中两者是相等的。上一页下一页返回2.2规则波导中的导行波（六）损耗和衰减损耗是指波在传播过程中，其幅值“或功率#不断地减小的现象$有两种情况：一种情况是，如前面已讲过的，对于无耗波导，当

＞

c

时，波导已不能传输能量，也不消耗能量，只能储存能量，称为截止（电抗性）衰减；另一种情况是，对于实际应用的波导，波导壁的内表面并非是无耗的导体，高频电流在其上流过时会产生热损耗，另外，波导中填充的也并非是理想介质，也会产生热损耗，所有这些都会引起波的衰减。由以上所述可见，这两种情况的衰减，在产生的机理上是完全不同的。下面只讨论第二种情况的衰减。对于这种情况，当满足传播条件时（可近似地认为，传播条件与无耗波导的传播条件相同，即

＞

c），电磁波沿着波导的轴线方向，既有幅度的衰减，同时又有相位的变化，是一个具有衰减特性的波动。上一页下一页返回2.2规则波导中的导行波因此，当考虑到波导的损耗时，根据式（2.1-27）可知，传播常数是一个复数，即

=

+j

（2.2-54）式中的

为

=

c+

d（2.2-55）

c是由波导壁所引起的导体的衰减常数；

d

是由波导中填充介质所引起的介质的衰减常数。下面讨论

c

和

d

的计算方法。（1）

c

的计算$在波导中任取某一横截面作为参考面，设输入该面的功率为P0，那么，与该面相距单位长度处横截面上输出的功率P1则为P1=P0e-2

c（2.2-56）上一页下一页返回2.2规则波导中的导行波单位长度上损耗的功率PL

为PL=P0–P1=P0（1–e-2

c）≈2

cP0可知

c

为

c≈PL/2P0Np/m（2.2-57）式中的P0

用式（2.2-52）计算，PL

用下面推导出的公式计算。因为波导壁内表面并非理想导体，所以其上的表面电流实际上是在一层很薄的导体内流动（即体积电流）。为使问题简化，假设使层厚趋于零，则体积电流可近似地看做是面电流。据此，可以规定导体表面某点面电流密度矢量JS

的含义是：JS

的方向是通过该点的正电荷的流动方向；JS

的值（大小）是通过该点、并与JS

相垂直的单位长度上所通过的电流量，单位为A/m。上一页下一页返回2.2规则波导中的导行波假设在波导壁内表面上的微面积元为dS=dldz，dl

和dz

分别为沿波导横截面周界和沿波导的轴向（z）的微长度元，JS

为该微面积元上的表面电流密度矢量，则在dS

上损耗的功率dPL

为（2.2-58）因为在波导壁内表面上任意一点磁场的切向分量H

，其模（幅）值与该点的表面电流密度矢量的模值是相等的，所以dPL又可写为（2.2-59）则单位长度上损耗的功率PL

为（2.2-60）上一页下一页返回2.2规则波导中的导行波式中的RS

为（2.2-61a）称为导体的表面电阻率（

/□），单位为欧姆。我们知道，一个均匀平面波，当它从导体表面沿垂直方向开始向导体内部传播时，场强的模（或相应的高频电流的模）将按指数规律衰减，经过了距离

，模衰减为导体表面处的1/e≈0.368，这段距离（深度）称为趋肤深度。对于良导体（

1/

100），电磁波在其中的衰减常数

的近似值为（2.2-61b）根据趋肤深度的定义，则有上一页下一页返回2.2规则波导中的导行波（2.2-61c）式中，

1

和

1

分别为导体的电导率和磁导率；f

为频率，以Hz

计；

以m（米）计。根据电磁场理论可以证明（证明略），对于在导体内部按指数规律衰减的电流，从电流会造成热损耗的角度看，其效果可以用在

厚的导体层内均匀分布的电流来代替，即两者是等效的。因此，对于表面电阻率

RS

可以理解为单位长度、单位宽度、厚为

的导体块对于直流所呈现的电阻（

/□），符号

□

即此含义。据此，对于长为l、宽为

b的有限面积导体的表面电阻

R则可用下式计算R=RS

l/b（2.2-61d）根据（2.2-57）就可以把导体的衰减常数

c

写为上一页下一页返回2.2规则波导中的导行波（2.2-62）需要说明的是，这个公式中的磁场是利用了理想导体时求出的场分布的表示式。严格地讲，利用波导壁内表面的电导率为有限值时求出的场分布公式才是合理的，但是，求解是很困难的。因此，对于波导壁内表面大多是由良导体构成的情况而言，利用理想情况时求出的场分布表示式来计算

c，虽然是近似的，但仍可以满足实际应用中的精度要求。（2）

d的计算。在波导内由填充介质造成热损耗的原因有两种情况：一是由于实际的介质并非理想介质（

≠0），因而存在着由传导电流引起的损耗；上一页下一页返回2.2规则波导中的导行波二是由于介质中的带电粒子具有一定的质量和惯性，在微波段电磁场的作用下，很难随之同步振荡，而在时间上有滞后现象，对于简谐场而言，表现为相位上的滞后，即

D与

E关系式中的

不再是实数，而是一个复数

c，称为复介电常数，如下式所示（2.2-63）D与

E的关系式变为（2.2-64）复介电常数的实部

′表示介质的介电特性（即通常的所谓介电常数），虚部

″表示由于介质中带电粒子的滞后效应或谐振吸收效应而引起的损耗。上一页下一页返回2.2规则波导中的导行波在计算介质的衰减常数

d

时，应包括上述两种情况在介质中所造成的功率损耗。为此，可以利用式（2.1-1b）于介质中，并考虑到现在讨论的是简谐场，即（2.2-65）式中的

是介质的电导率。对于式中各量之间的关系也可以用图解的方法把它表示出来，如图2.2-2所示。由图或由式（2.2-65）均可看出，位移电流（位移电流密度为

J位）中的一部分（

″E）和传导电流（

E）是同相位的，这两部分电流在宏观上都表现为热损耗，就功率损耗的外部效果看，很难将两者的作用机理区分开来。为了同时考虑这两者的作用，可以把式（2.2-65）写为上一页下一页返回2.2规则波导中的导行波（2.2-66）把该式与式（2.1-13b），