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文档简介

一、常系数线性微分方程组微分方程组

由几个微分方程联立而成的方程组称为微分方程组．注意：这几个微分方程联立起来共同确定了几个具有同一自变量的函数．常系数线性微分方程组

微分方程组中的每一个微分方程都是常系数线性微分方程叫做常系数线性微分方程组．步骤:１．从方程组中消去一些未知函数及其各阶导数，得到只含有一个未知函数的高阶常系数线性微分方程．常系数线性微分方程组的解法２．解此高阶微分方程,求出满足该方程的未知函数.３．把已求得的函数带入原方程组,一般说来，不必经过积分就可求出其余的未知函数．例1

解微分方程组

由(2)式得设法消去未知函数，解两边求导得，把(3),(4)代入(1)式并化简,得解之得通解再把(5)代入(3)式,得原方程组的通解为用表示对自变量求导的运算例如，用记号可表示为注意:是的多项式可进行相加和相乘的运算．例2

解微分方程组解类似解代数方程组消去一个未知数,消去(１)(２)(３)(４)(５)即非齐线性方程其特征方程为解得特征根为易求一个特解于是通解为(６)将(６)代入(３)得方程组通解为注意：在求得一个未知函数的通解以后，再求另一个未知函数的通解时，一般不再积分．解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换可化为常系数微分方程.二、欧拉方程的方程(其中形如叫欧拉方程.为常数)特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的方次数相同．作变量变换将自变量换为用表示对自变量求导的运算上述结果可以写为将上式代入欧拉方程，则化为以为自变量的常系数线性微分方程.求出这个方程的解后，把换为，即得到原方程的解.一般地，例3求欧拉方程的通解．解作变量变换原方程化为即或(1)方程(1)所对应的齐次方程为其特征方程特征方程的根为所以齐次方程的通解为设特解为代入原方程，得所给欧拉方程的通解为三、小结２．注意求出其中一个解，再求另一个解时，宜用代数法，不要用积分法．避免处理两次积分后出现的任意常数间的关系．１．注意微分算子D的使用；欧拉方程解法思路

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