2027届高考数学复习考点考法通关训练第39讲 复数讲义(解析卷)

第39讲复数·讲义（解析卷）

一、考情分析.....................................................................................................................................1

二、知识清单.....................................................................................................................................2

三、典题精讲.....................................................................................................................................3

考点一：复数的概念..............................................................................................................3

考点二：复数的相等与共轭复数..........................................................................................5

考点三：复数的运算..............................................................................................................6

考点四：复数的模..................................................................................................................9

考点五：复数的几何意义....................................................................................................10

考点六：与复数有关的最值问题........................................................................................12

考点七：复数的三角形式....................................................................................................14

四、高考真题...................................................................................................................................16

一、考情分析

1.考查频次与题型

年份题号与题型分值考察类型考察内容

2026第9题多选题6分直接复数的概念、模长、共轭复数及四则运算综合

2025第1题单选题5分直接复数的乘法运算与虚部的概念

2024第2题单选题5分直接复数的除法运算与解复数方程

近三年全国一卷对复数知识点的考查频率极高，每年均有一道独立的选择题直接考查.

题目多出现在试卷的前段，整体难度较低，属于必拿的基础得分题.

2.命题角度与特色

（1）聚焦基本概念与核心运算.真题主要围绕复数的代数形式展开，重点考查四则运

算（尤其是除法运算中的分母实数化）、虚部与实部的概念辨析、共轭复数以及模长的计

算.

（2）题型呈现多样化趋势.除了传统的单选题直接计算外，2026年出现了多选题形式，

在一道题中综合考查了复数的多个基础概念与性质，对知识掌握的全面性提出了要求.

3.备考策略

（1）夯实基础概念.必须清晰界定复数的实部、虚部（注意虚部不含虚数单位）、共

轭复数、模长等基本概念，避免概念混淆导致的失分.

（2）熟练掌握代数运算.高度熟练复数的加、减、乘、除四则运算法则，特别是除法

运算中分子分母同乘共轭复数的技巧，确保计算准确无误.

二、知识清单

1.复数的概念

（1）叫虚数单位，满足，当时，，，，

24�4�+14�+2

.ii=−1�∈�i=1i=ii=−1

4�+3（）形如的数叫复数，记作

i=2−i.

①复数�+�i(�,�∈�)与复平面上的点�+�一i∈一�对应，叫的实部，叫的虚

部；�=�+，�i(点�,组�∈成�实)轴；，叫�虚(�数,�；)且�，�叫纯虚数�，�纯虚

数对�应=点0组⇔成�虚∈轴�（不�包括原点）.两�个≠实0部相�等，虚部�互≠为0相反�数=的0复�数互为共轭复数.

②两个复数，相等（两复数对应同一点）.

�=�

③复数的模：�+复�数i�+�i(�,�,�,�的∈模�)，也就⇔是向量的模，即有向线段的长度，

�=�

其计算公式为�+�i(�,�∈�)，显然，��，��.

222222

2.复数的加、|减�|、=乘|�、+除�的i|=运算�法+则�|�|=|�−�i|=�+��⋅�=�+�

（1）.

（2）(�+�i)±(�+�i)=(�±�)+(�±�)i.

①(�+�i)⋅(�+�i)=(��−��)+(��+（�注�)i意）.

22222

②(�+�i)⋅(�.−�i)=�⋅�=�+�=|�|�≠|�|

③�其+中�=2�，叫的模；是的共轭复数.

22

（3）|�|=�+���=�（−�i�=�）+.�i(�,�∈�)

�+�i(�+�i)⋅(�−�i)(��+��)+(��−��)i22

22

（4）实�+�数i=的(全�+�部i)⋅运(�−算�i)律=（加法�和+�乘法的交�换+律�、≠结0合律、分配律及整数指数幂运算

法则）都适用于复数.

（5）常用复数运算结论：

①，.

22

②(1+i)，=2i(1，−i)=−.2i

1+i1−i1

③1−i=i1+i=−ii=−i.

��+1�+2�+3

（6i）+共i轭复+数i与模+的i运=算性0(�质∈：�)

①，，.

�1�1

12121212222

②�±�=�±�，�⋅�=�⋅�，�=�(�≠0).

�1|�1|��∗

12122

③|��|=|�||�|�2=|�2|(�≠0).�=|�|(�∈�)

3.复数的||�几1|何−意|�义2||≤|�1±�2|≤|�1|+|�2|

（1）复数对应平面内的点.

（2）复数�=�+�i(�,�∈�)对应平面向量�.(�,�)

�=�+�i(�,�∈�)��

（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点

都表示复数.

（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离.

4.复数的三角形�式=�+�i(�,�∈�)|�|�(�,�)

（1）复数的三角表示式：一般地，任何一个复数都可以表示成

形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为�=始�边+，�向i量所在射线�（(co射s�线+）

i为sin终�边)的角，叫做�复数��的辐角�.叫做复数��的三角表示�式�，

简称三角形式.�=�+�i�(cos�+isin�)�=�+�i

（2）辐角的主值：任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的

整数倍.规定在范围内的辐角的值为辐角的主值.通常记作，即2�

.复数0的≤代�数<形2式�可以转化为三�角形式，三角形式也可以转化a为rg代�数形0式≤.

arg�（<32）�三角形式下的两个复数相等：两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主

值分别相等.

（4）复数三角形式的乘法运算：

①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，

即.

�1(②co复s�数1+乘is法in运�1算)⋅的�2三(c角os表�2示+的isi几n�何2)意=义�1：�2复[c数os(�1+对�应2)的+向isi量n(�为1+�2)]，把向量

绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要�1,把�2绕点按顺�时�针1,�方�向2旋转角

��1），再�把它的模变为原来的�2倍，得�到2向<量0，表��示1的复�数就是积.

|�2|（5）复数三角形式的除法�运2算：两个复数�相�除，��商的模等于被除数的�1模�2除以除数的

模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，即

�1(cos�1+isin�1)

.�2(cos�2+isin�2)=

�1

5�2.[实co系s(�数1一−元�2二)+次i方sin程(�的1−复�数2)根]

（1）对于实系数一元二次方程，当

22

时，方程在复数集内有两个��互为+共��轭+的�虚=数0(根�,，�,�即∈�,�≠0).Δ=�−

2

−�±4��−�i

4��<（02）韦达定理在复数�集中依然成立：若为方程�=2�的两个根，则

2

，.�1,�2��+��+�=0

��

�1+�2=−��1�2=�

三、典题精讲

考点一：复数的概念

考法1：复数的分类与概念辨析

例1.（2026·江苏南京·一模）（多选）已知复数，，且，下列说

法正确的是（）�=�+�i�,�∈��≠0

A.是纯虚数B.是实数

2

C.�−�是虚数D.�若，则是实数

1

【答案】�A⋅Di|�|=1�+�

【思路】题目给出了复数的代数形式且虚部不为0，要求判断相关运算结果是实数还是纯虚数.切

入点是将各个选项中的复数表达式用表示出来，再根据实部和虚部的情况进行判断，特别要注

意这一隐含条件.�,�

【�解≠析0】A选项中，为纯虚数，故A正确.

B选项中，�−�=�+�i−(�−�，i)只=有2�i时，才是实数，故B错误.

22222

C选项中，�=(�+�i)=�−�+2，�只�i有�=时0为虚数�，为实数，故C错误.

D选项中，�⋅i=(�+�i)⋅i=−�+�i�≠为0实数，故D正�确=.0

1��

2

故选：AD.�+�=�+�⋅�=�+|�|=�+�=2�

【规律】处理复数概念辨析题，核心方法是设出复数的代数形式，进行代数运算后分离

实部与虚部.判断纯虚数时必须强调实部为0且虚部不为0，判断实�=数�时+只�需i虚部为0.

考法2：根据纯虚数或实数条件求参数

例2.（2025·江西·检测）已知复数满足，若为纯虚数，则＿＿＿＿＿＿.

【答案】

�|�|=2��=

【思路】±已2知i复数模长和其共轭复数为纯虚数，需先设出复数的代数形式.由共轭复数为纯虚数可

直接得出实部为0，再结合模长公式即可求出虚部，从而确定复数.

【解析】设，∵为纯虚数，∴，∵，∴，

2

故.�=�+�i(�,�∈�)�=�−�i�=0|�|=�=2�=±2

【�规=律±】2已i知复数类型（实数、纯虚数）求参数或复数，通用步骤是：先将复数化为标准代数形

式，再根据实数（虚部为0）或纯虚数（实部为0且虚部不为0）列出方程或方程组求解.

考法3：复数对应点所在象限的判断

例3.（2024·广东·检测）若，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应

的点位于（）(2+i)�=ii�

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【思路】题目给出了复数满足的方程，要求判断其对应点所在象限.破题关键是先利用复数的除法

运算求出的标准代数形式，再提取实部和虚部作为点的横、纵坐标进行判断.

【解析】�由可得，.

ii(2−i)1+2i12

复数在复平(2面+内i)对�应=的i点为�=，2+i该=点(2横+i)坐(2−标i)大=于5，=纵5+坐5标i大于，故位于第一象限.

12

故选�：A.(5,5)00

【规律】判断复数对应点所在象限，必须先将复数化简为的形式，其对应点坐标为

.根据的正负号即可确定象限，注意复平面与平面�直=角�坐+标�系i的一一对应关系.

(【�,考�)点一�方,�法总结】

1.概念辨析与参数求解：处理复数概念问题（如实数、纯虚数），核心方法是“设

元法”或直接化简，将其化为标准代数形式.

（1）若为实数，则.�=�+�i(�,�∈�)

（2）若�为纯虚数，�则=0且（切记不可遗漏虚部不为0的条件）.

2.几何意�义与象限判断�：=复0数�≠0与复平面内的点一一对应.判

断所在象限时，必须先通过复数的四�则=运�算+化�i(简�,为�标∈�准)形式，再根据实部(�和,�)虚部的正负号

确定.

考点二：复数的相等与共轭复数

考法4：利用复数相等求参数或复数

例4.（2025·安徽淮北·二模）若，则（）

A.B.3(�+�)+4(�−C�.)=6+8i|�|=D.

【答案】

A23222

【思路】方程中同时含有与，无法直接移项求解.常规切入点是设出复数的代数形式，

代入方程后分离出实部和虚�部�，利用复数相等的充要条件列方程组求解.�=�+�i

【解析】设，则，

�=�+�i(�,，�∈�)�=�−�i

∴由�+�=2�,�−�=2�i，∴，故，

3⋅2�+4⋅2�i=6�，+8�i=6+8i�=1,�=1�=1+i

22

∴故|�选|=：A.1+1=2

【规律】解决含有与的复数方程，最通用的方法是“设元法”，即设，转化为实数方

程组求解.复数相等�即实�部等于实部，虚部等于虚部.�=�+�i

考法5：共轭复数的概念与性质判断

例5.（2026·江苏南通·检测）（多选）设为复数（为虚数单位），下列命题正确的有

（）�i

A.若，则B.若，则C.若，则

2

D.若�∈��，=则��∈��∈�(1+i)�=1−i|�|=1

2

【答案】A�C+1=0�=i

【思路】本题全面考查复数的概念、运算及共轭性质.判断命题真假时，对于全称命题可尝试代数

推导或寻找反例，对于存在性或具体运算命题则直接进行化简计算.

【解析】对于A选项，若，则，A对.

对于B选项，若，不�妨∈�取�，=则�，但，B错.

22

�∈��=i�=−1∈��∉�

对于选项，若，则，故，对

C2C.

1−i(1−i)

对于D选项，若(1+i)�=，1−则i�=，1+解i=得(1+i)(1−，i)=D−错i.|�|=1

22

故选：AC.�+1=0�=−1�=±i

【规律】处理复数命题判断题，常利用特例法排除错误选项（如举纯虚数反例）.证明正确选项时，

熟练运用共轭复数的性质（如）和模长公式是关键.

考法6：实系数一元二次方程�∈的�复⇔数�根=�

例6.（2026·山东·一模）已知为实数，虚数是方程的根，则

2

的值为（）�,�1−i�+��+�=0

��A.B.C.D.

【答案】

−A4−224

【思路】已知实系数一元二次方程的一个虚根，根据实系数方程虚根成对出现的性质，可直接写

出另一个根.随后利用韦达定理建立根与系数的关系，即可求出参数.

【解析】∵实系数一元二次方程的虚根成对出现，且是方程的根，∴方程的

2

另一个根为.1−i�+��+�=0

根据韦达定理1可+i得，，解得.

且，(1解−得i)+(1.+i)=−��=−2

(1−i)(1+i)=�.�=2

故选：

∴��=(A−.2)×2=−4

【规律】实系数一元二次方程若有虚根，则两根必互为共轭复数.解题时首选韦达定理（两根之和

与两根之积）建立方程，避免直接代入虚根进行繁琐的复数运算.

【考点二方法总结】

1.复数相等方程的解法：处理含有与的方程，通用方法为“设元法”，设

，代入化简后利用复数相等的�充�要条件（实部等于实部，虚部等于虚部�）=转�化+

�为i(实�,数�∈方�程)组求解.

2.共轭复数的性质应用：判断抽象复数命题时，可利用特例法（如取纯虚数、实数

等）排除错误选项.推导时需熟记等核心性质.

3.实系数方程的虚根性质：�实∈系�数⇔一�元=二�次方程若有虚数根，则两根必然成对出现

且互为共轭复数.解题时优先利用韦达定理（两根之和与两根之积）建立实数方程，避免

繁琐的复数代入运算.

考点三：复数的运算

考法7：复数的代数形式四则运算

例7.（2025·安徽·一模）（多选）若为纯虚数，则复数可以为（）

�

A.B.�+3C.�D.

−12−6i−3+2i−12+8i−3+3i

【答案】A5D252

【思路】已知一个分式形式的复数为纯虚数，切入点是直接设该式等于（），然后通过代

数变形反解出的表达式，再结合选项中的复数代入验证或比对系数.�i�≠0

【解析】设�，则，

�

�+3=�i(�∈�,�≠0)�(1−�i)=3�i

22.

3�i3�i(1+�i)−3�+3�i3�3�

2222

∴�=1−�i=1+�=1+�=−1+�+1+�i

对于A选项，由，可得2，解得，合乎题意.

23�12

3�3�−12−6i2

22−1+�=−5

1+�1+�53�6

−+i=2�=−2

1+�=−5

对于选项，由，可得2，此时不存在，不合乎题意

B23�3.

3�3�−3+2i2

22−1+�=−2

1+�1+�23�

−+i=2�

1+�=1

对于C选项，由，可得2，此时不存在，不合乎题意.

23�12

3�3�−12+8i2

22−1+�=−5

1+�1+�53�8

−+i=2�

1+�=5

对于选项，由，可得2，解得，合乎题意

D23�3.

3�3�−3+3i2

22−1+�=−2

1+�1+�23�3

−+i=2�=1

故选：AD.1+�=2

【规律】遇到“某复数表达式为纯虚数”的条件，除了设硬算外，直接设整体为

（）往往能简化运算过程.注意最后必须检验分母不�为=0�或+参�i数不为0.

�考i法�8≠：0解复数方程

例8.（2025·广东·联考）已知复数，则（）

A.B.�=1−i�C(�.−i)=D.

【答案】

−B1+3i3−i1+i−1−i

【思路】给出了复数的具体值，要求计算一个含有及其共轭复数的代数式.直接写出共轭复数，

代入表达式中进行多项�式乘法展开即可.�

【解析】∵，∴.

故选：B.�=1−i�(�−i)=(1+i)(1−2i)=3−i

【规律】对于已知具体复数求代数式值的题目，直接代入并利用进行化简是最高效的方法.

2

注意复数乘法满足分配律.i=−1

考法9：复数运算与共轭、模长的综合

例9.（2026·广东佛山·二模）（多选）设，为复数，若，则（）

A.B.�1�2C.�1�2=iD.

1

【答案】�B1D=�2|�1|=|�2||�1+�2|=2�1⋅�2=−i

【思路】已知两个复数乘积为纯虚数，要求判断它们之间的关系.由于没有给出具体复数，切入点

是利用复数模的乘法性质和共轭复数的乘法性质进行整体推导，或者通过构造特殊的复数进行排

除.

【解析】对于A，易知当，时，，但，故A错误.

对于B，∵，∴�1=1�2=i�1�2，=则i�1≠�，2故=−Bi正确.

1

�1�2=i|�1�2|=|�1||�2|=|i|=1|�1|=|�2|

对于C，易知当，时，，此时，故C错误.

1117

对于D，∵�1=，2∴�2=2i�1�2=i，故D|�1正+确�.2|=|2+2i|=2≠2

故选：BD.�1�2=i�1�2=�1⋅�2=i=−i

【规律】处理抽象复数的关系判断，特例法（取满足条件的特殊复数代入）是排除错误选项的利

器；而证明正确选项则需熟练掌握模的性质（）和共轭的性质（）.

考法10：复数幂的周期性与数列求和|�1�2|=|�1||�2|�1�2=�1⋅�2

例10.（2026·浙江嘉兴·二模）（多选）已知是由复数组成的数列，

（为虚数单位），且，则（{��}）��+1=(��−

2026

3)⋅iA.i�1=1+i

1+3i

B.�2=2

C.�2+�3=3

D.|若�1−�2+�3−�4，+则⋯−�2026|=的1最01小3值5为

【答案】B|C�D−�2025|=1|�−�2026|5−1

【思路】题目给出了复数数列的递推公式，首先应化简以简化递推关系.随后通过计算前几项

2026

寻找数列的周期性，再利用周期性处理大项数的求和与距i离最值问题.

【解析】化简得到.

202621013

进一步��+1=(��−3)⋅i=，(��即−数3列)(i)周期=为3−2.��

已知��+2=3，−计�算�+得1=3−(3−��)=��，{��}，以此类推，奇数项都为，偶数

项都�为1=1+.i�2=3−�1=2−i�3=�1=1+i1+i

选项A中2−，i，A错误.

�22−i(2−i)(1−i)1−3i1+3i

选项B中，�1=1+i=(1+i)(，1−因i)=此2≠2，B正确.

选项C中，�2=�1=1+i�2+�3=(2−i)+(1+i)=3.

�1−�2+�3−，�4∴+总⋯和−为�2026=(�1−�2)+，(模�3长−�4)+⋯+(�2025−�2026)∵�1−�2=

(1+i)−(2−i)=−1+2，iC正确.1013(−1+2i)1013|−1+2i|=1013×

22

选(项−D1)中+，2=10135，表示复平面上以为圆心、半

径为1的圆，�2025=�1=是1圆+上i点�2到026=�2=的2距−离i.，|�两−定�2点025距|=离为1(1,1)

|�−�2026|，因此(2,−1)的最小值为，|�D20正26确−.�2025|=

22

故(选2−：1B)CD+.(−1−1)=5|�−�2026|5−1

【规律】遇到含有虚数单位高次幂的数列问题，第一步必定是利用的周期性（周期为4）进行降

幂化简.发现数列递推关系后，通过列举前几项寻找周期是解决此类综i合题的通用套路.

【考点三方法总结】

1.整体代换法：当已知某个复杂的复数分式为纯虚数（或实数）时，除了常规的设

外，直接设该整体等于（）或，再反解往往能大幅简化运算.

�=�2.+抽�i象复数运算技巧：判断抽�i象�复≠数0的模长�、共轭关�系时，特例法是快速排除错误

选项的利器.严格证明则需熟练运用性质，如、等.

|�1�2|=|�1||�2|�1�2=�1⋅�2

3.周期性与降幂：遇到含有的高次幂或复数数列问题，第一步是利用的周期性

（等）进行降幂化简.对于i递推数列，常通过计算前几项寻找周期规律i，进而解决

4�

大i项数=求1和问题.

考点四：复数的模

考法11：直接利用代数形式求模

例11.（2026·安徽·检测）已知复数与分别对应向量与，其中为坐

标原点，则＿＿＿＿＿＿.4−3i−2+i�����

【答案】|��|=

【思路】2题目13给出了复数及其对应的向量，要求求两点间的距离（向量模长）.切入点是先根据复

数的几何意义写出对应点的坐标，再利用向量减法求出目标向量的坐标，最后应用模长公式.

【解析】由题意得，，则，则.

【规律】复数与平面向��量=一(一4,对−3应),，��复=数(−2,1)对应向�量�=��.−求�复�平=面(上−两6,4点)间的|距��离|，=本2质13上

就是求两复数之差的模长，或对应向量的模�+长�.i(�,�)

考法12：利用复数方程求模

例12.（2026·安徽·联考）已知虚数满足，则（）

2

A.B.�|�|⋅(2C�.−1)=2−4�|2�D−.3|=

【答案】

3D42311

【思路】给出的方程中含有、和.常规思路是设转化为实数方程组；更巧妙的切入

点是对方程进行整体变形，利�用�共|轭�|复数的性质构造�出=关�+于�i或整体代数式的方程.

【解析】法一：设复数，由已知|�|，

22

�=�+�i(�,�∈�)(�+�)(2�−1−2�i)=2−4(�+�i)

从而，解得1，∴.

22

(�+�)(2�−1)=2−4��=2

2227|2�−3|=11

2�(�+�)=4�

法二：显然，则�=4，则，则.设

1122122

�≠2，从2�而−1=−，2|则�|⋅(2�−1)(2�−1)=−.2|2�−1|⋅|�||�|=2

2

2故�选−：1D=.�i(�∈�)�=7|2�−3|=|−2+�i|=11

【规律】解复杂的复数方程，除了万能的“设元法”外，要注意观察方程结构.若能通过整体取模、

两边同乘共轭复数等技巧进行变形，往往能大幅减少计算量.

考法13：复数模的综合运算与性质

例13.（2025·江西·模拟）（多选）已知复数满足，则下列结论正确的是

（）�|�|=6

A.可能为

B.�1−6i

的实部与虚部之积不大于

C.��=63

D.�在复平面内对应的点可能是

�(2,2)

【答案】BD

【思路】已知复数的模长，要求判断其相关性质.切入点是利用模长公式以及性质

222

.对于实部与虚部乘积的极值问题，自然联想到基本不等式.|�|=�+�

2

�【�解=析|�】|当时，，A错误.易知，B正确.设

2

�，=则1−6i，|�∵|=1+6=7，∴，C��正=确|.�∵|=6，�∴=D�正+确.

222222

�故i(选�,：�∈BD�.)�+�=6�+�≥2����≤32+(2)=6

【规律】复数模的平方等于该复数与其共轭复数的乘积，即，这是复数运算中极其重要

2

的降次与转化工具.同时，复数的实部与虚部平方和常与基本|不�|等=式�结�合考查最值.

考法14：复数模的最值（非几何法）

例14.（2026·湖北襄阳·二模）已知，若

，则的最小值为（�1）=1+i,�2=−1+i�=��1+(1−

�)�2,A(�.∈�)|�|B.C.D.

1

【答案】1A222

【思路】要求一个含有实数参数的复数模的最小值.切入点是先将该复数按实部和虚部整理成标准

代数形式，然后写出模长的表达式�，将其转化为关于的二次函数求最值.

【解析】由题意可得，�.

�=�(1+i)+(1−.�)(−1+i)=�+�i−1+i+�−�i=(2�−1)+i

222

∴当|�|=时(，2�−1)+1取得=最小(2�值−01，)此+时1取得最小值.

12

故�选=：2A.(2�−1)|�|0+1=1

【规律】求动复数模长的最值，若不便于使用几何意义，最直接的方法是代数化：将其转化为关

于某个实数参数的函数（通常是二次函数），利用配方法或导数求最值.

【考点四方法总结】

1.模长计算与转化技巧：

（1）熟练运用公式，它是复数方程中消去共轭符号、实现降次与转化的

2

重要工具.|�|=�⋅�

（2）解复杂复数方程求模时，除了设元法，应优先观察方程结构，尝试两边同时取

模长或同乘共轭复数进行整体变形.

2.模长的最值求法（代数法）：当不便于使用几何意义时，将复数化为标准代数形

式，写出模长的表达式，利用配方法（转化为二次函数最值）或基本不等式求解.

考点五：复数的几何意义

考法15：复数运算与对应点所在象限

例15.（2025·广东·检测）（多选）已知为虚数单位，复数满足，则（）

1+5i

A.的实部为3B.的虚部为2iC.��=1D+i.在复平面内

对应的点�在第四象限�i�⋅�=13�

【答案】ACD

【思路】题目给出了复数的分式表达式，要求分析其实部、虚部、模长及共轭复数的几何意义.首

要任务是利用复数除法（分子分母同乘分母的共轭复数）将化为标准代数形式，后续判断即可迎

刃而解.�

【解析】由于，则的实部为，的虚部为，不是

2322.

1+5i(1+5i)(1−i)1+5i−i−5i

�=1+i=(1+i)(1−i)=2=3+2i��i

由于，，在复平面内对应的点在第四

22

|1+5i|1+52

22

象限.|�|=|1+i|=1+1=13�⋅�=|�|=13�=3−2i(3,−2)

故选：ACD.

【规律】解决复数综合概念题，第一步永远是“标准化”，即通过四则运算将复数化为的

形式.注意虚部是一个实数，不包含.�+�i

考法16：复数与平面几何及向量i的结合

例16.（2026·山东东营·一模）在复平面内，把复数对应的向量绕原点沿顺时

针方向旋转，则旋转后的向量对应的复数为（3）−3i

A.�/3B.C.D.

【答案】

−A23i3+3i23i−3+3i

【思路】题目要求将复数对应的向量进行旋转.切入点是利用复数乘法的几何意义：向量绕原点旋

转角，等价于该复数乘以.注意顺时针旋转对应负角.

【�解析】复数对co应s�的+向is量in绕�原点顺时针旋转，相当于乘以复数

�

.�=3−3i�/3cos(−3)+isin(−

�13

∴3)旋=转2−后的2i复数为.

1333333233

故选：A.(3−3i)(2−2i)=2−2i−2i+2i=2−23i−2=−23i

【规律】复数乘法具有旋转放缩的几何意义.复数对应的向量绕原点逆时针旋转，得到的新向量

对应的复数为；顺时针旋转则角度�取.�

考法17：复数�(模cos的�几+i何sin意�)义（距离与轨迹）−�

例17.（2025·江西·联考）（多选）已知方程有且仅有一个复

|2+3i−�|=1,

数解，则实数的可能取值有（）|�−4−�|=|�−3i−�|

A�.�B.C.D.

1151965

【答案】8AC8−84

【思路】方程组包含两个复数模的等式，切入点是将其翻译为几何语言.第一个方程表示圆，第二

个方程表示两定点连线的中垂线（直线）.“有且仅有一个复数解”即直线与圆相切，利用圆心到

直线的距离等于半径求解.

【解析】由，得，即复数对应的点在以为圆心，1为

22

半径的圆上|.2+3i−�|=1(�−2)+(�−3)=1�(2,3)

由，得复数对应的点在点和连线的中垂线上，即直线

|�−4−�|=|�−3i上−.�|�(4+�,0)(�,3)

8∵�方−程6�组−有8且�−仅7有=一0个复数解，∴直线与圆相切，

即，即，解得或.

|8×2−6×3−8�−7|119

22

故选：8A+C(−.6)=1|9+8�|=10�=8−8

【规律】复数模的几何意义是解题利器：表示以为圆心、为半径的圆；

表示线段的中垂线.将复数方程|转�−化�为0|解=析�几何问�题0，能极大�简化运算.|�−�1|=

|【�−考�点2|五方法总�1结�2】

1.代数形式的标准化：分析复数的几何意义（如对应点所在象限）前，必须通过分

母实数化等四则运算，将其化为最简的形式.

2.模的几何意义转化：�+�i

（1）表示复平面内以点为圆心、为半径的圆.

（2）|�−�0|=�表示复平面内�0以为�端点的线段的中垂线.

将复数|方�程−�转1|化=为|�解−析�几2|何图形，结合数�形1,结�2合思想可极大简化运算.

3.乘法的旋转意义：复数对应的向量绕原点逆时针旋转角，得到的新向量对应的

复数为；若顺时�针旋转，则角度取.�

�(cos�+isin�)−�

考点六：与复数有关的最值问题

考法18：转化为圆上点到定点距离的最值

例18.（2026·湖北黄冈·检测）已知，且，为虚数单位，则的

最大值是（）�∈�|�−1|=1i|�−2i|

A.B.C.D.

【答案】

A5+15−125

【思路】已知复数满足圆的方程，求另一复数模的最大值.切入点是将目标式理解为圆上动

点到定点的距离，利用平面几何中圆外一点到圆上点距离的最大值公式|�（−2i|）求解.

【�解析】(0,2)表示以为圆心，为半径的圆，�+�

则圆心C|到�−点1|=1的距离