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文档简介
第35讲平面向量的概念与坐标运算·讲义(解析卷)
一、考情分析.....................................................................................................................................1
二、知识清单.....................................................................................................................................2
三、典题精讲.....................................................................................................................................5
考点一:平面向量的基本概念..............................................................................................5
考点二:平面向量的线性表示..............................................................................................6
考点三:平面向量共线定理的应用......................................................................................8
考点四:平面向量基本定理及应用......................................................................................8
考点五:平面向量的直角坐标运算....................................................................................11
考点六:向量共线的坐标表示............................................................................................13
考点七:平面向量的新定义问题........................................................................................15
四、高考真题...................................................................................................................................16
一、考情分析
1.考查频次与题型
年份题号与题型分值考察类型考察内容
2026第2题单选题5分直接平面向量基本定理
2025第6题单选题5分直接向量的加减法运算及几何意义
2024第3题单选题5分直接向量的坐标运算与垂直条件
近三年全国一卷中,平面向量的概念与坐标运算每年均有考查,题型均为单选题,分
值为5分。考查内容涵盖了平面向量基本定理、向量的线性运算及其几何意义、向量的坐
标运算与垂直条件,属于基础题。
2.命题角度与特色
(1)侧重基础与概念:主要考查向量的线性运算、坐标表示以及共线、垂直的充要
条件,难度较低。
(2)注重几何直观与实际情境:如2025年结合帆船比赛的实际情境,考查向量加减
法的几何意义及模长计算,强调数学知识的实际应用能力。
3.备考策略
(1)熟练掌握平面向量的加减法、数乘运算的几何意义及坐标运算法则,确保基础
运算零失误。
(2)牢记向量共线与垂直的坐标表示公式,能够熟练进行代数与几何的相互转化。
(3)深刻理解平面向量基本定理,能够利用基底准确表示未知向量,并能结合实际
情境构建向量模型解决问题。
二、知识清单
1.向量的有关概念
(1)定义:既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的长度(或模).
(2)向量的模:向量的大小,也就是向量的长度,记作.
(3)特殊向量:� � � � |� � |
①零向量:长度为的向量,其方向是任意的.
②单位向量:长度等0于个单位的向量.
③平行向量:方向相同或1相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定:与任一向
量平行. 0
④相等向量:长度相等且方向相同的向量.
⑤相反向量:长度相等且方向相反的向量.
2.向量的线性运算和向量共线定理
(1)向量的线性运算
运算定义法则(或几何意义)运算律
①交换律
求两个向量
加法②结合律(
和的运算 � + � = � + �
(
三角形法则平行四边形法则 � +�)+ � =
求与的 � +�+ � )
相反向量
减法 � 的和�的(
运算叫做
− � � − � = � +− � )
与的差三角形法则
�
()
� 1
求实数与((
(2)当时,与的方向相同;当
数乘向量的积|� � |=|�|| � |(
�时,与的方向相反;�� � )=��) �
的运算�>0� � � (
� 当时,�+�) � =� � +� �
�<0� � �
� � + � )=� � +� �
【易错提醒】�=0� � =0
(1)向量表达式中的零向量写成,而不能写成.
(2)两个向量共线要区别于两条 0直 线共线,两个0向量共线满足的条件是:两个向量
所在直线平行或重合,而在直线中,两条直线重合与平行是两种不同的关系.
(3)要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件,运用平行四边形法则时两个
向量的起点必须重合,和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量;运
用三角形法则时两个向量必须首尾相接,否则就要把向量进行平移,使之符合条件.
(4)向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如:,
,� � −� � .=� � � � −� � =
�3 . � 平 面� 向 � 量=基� � 本 +定� 理 � 和⇔性� 质 � −� � =� � ⇔� � −� � =� � +� � =� �
(1)共线向量基本定理
如果(,则;反之,如果且,则一定存在唯一的实数,
使. �( =口�诀 � :�数∈乘�即)得平 � 行∥, � 平行必有数乘 � )∥. � � ≠ 0 �
� =(�2 �) 平面向量基本定理
如果和是同一个平面内的两个不共线向量,那么对于该平面内的任一向量,都
存在唯一� 的 1 一� 对 2 实数,使得,我们把不共线向量叫做表示 � 这一
平面内所有向量的一�组1,基�2底,记为 � =�1� 1 ,+�2� 2 叫做向量关于� 基1 ,� 底 2 的分解
式.{� 1 ,� 2 }�1� 1 +�2� 2 � {� 1 ,� 2 }
①推论1:若,则.
②推论2:若 � =�1� 1 +�2� 2 =�3,� 1 则+�4� 2 �1.=�3,�2=�4
【易错提醒】由平 � 面=向�量1� 基1 +本�定2� 理2 =可 0 知:只�1要=向�量2=0与不共线,平面内的任一向量都
可以分解成形如的形式,并且这样的� 1分 解� 2 是唯一的.叫做 � 的
一个线性组合.平 � 面=向�量1� 基1 +本�定2� 理2 又叫平面向量分解定理,是平面向�量1� 正 1 +交�分2� 解 2 的理� 论1 ,依� 2
据,也是向量的坐标表示的基础.
(3)线段定比分点的向量表达式
在中,若点是边上的点,且(,则向量.在
� � +�� �
向量线△性表𝐴示�(运算)�有关的�问�题中,若能� 熟 � 练=利�用� � 此结�论≠−,1往)往能有“� 化 � 腐=朽为1+神�奇”
之功效,建议熟练掌握.
(4)三点共线定理
平面内三点共线的充要条件是:存在实数,使,其中
,为平面�内,�一,�点.此定理在向量问题中经常用到�,,�应熟� 练 � 掌=握�� . � +�� � �+
�=1�三点共线等价于以下任一条件:
�①,�存,�在唯一的实数,使得;
②存在唯一的实数�,使得� � =�� � ;
③存在唯一的实数�,使得� � =� ( � +�� � ;
④存在,�使得� � =1−�).� � +�� �
(5)中�线+向�量=定1理� � =�� � +�� �
在中,若点是边的中点,则中线向量(,反之亦正确.
1
4.平面△向量𝐴的�数量积与�投影��� � =2� � +� � )
(1)向量的夹角:已知两个非零向量和,作,,则
(叫做向量与的夹角.当 � 时 �, 两向� 量 � 同=向 � ;� 当 � = � 时,∠�两�向�量=反向;
�当0≤时�≤,两�)向量垂直 ,� 记 � 作.�=0�=�
�
�=(22)数量积的定义:已知 � 两⟂ �个 非零向量和,它们的夹角为,则数量叫
做与的数量积(或内积),记作,即 � � .规定:�零向量与|任 � ||一 � |向co量s�的
数 �量 积 � 为. � ⋅ � � ⋅ � =| � || � |cos�
(3)0投影:
①投影量(数量投影):叫做向量在向量上的投影量,计算公式为
.| � |cos� � �
� ⋅ �
| � |cos�=| � |
②投影向量:向量在向量上的投影向量为(.
� � ⋅ �
2
(4)数量积的性质 � : � | � |cos�⋅| � |=| � |) �
①或.
2
② �若 ⋅ � =为| �非 |零向| � 量|=,则 � ⋅ � .
③ � , � (当且仅 � ⟂当 � ⇔ � 时⋅ �等 =号0成立).
(5| )� ⋅数 � |量≤积| � 的|| � 运|算律: � ∥ �
①交换律:.
②数乘结合 �律 ⋅: � (= � ⋅ � ((.
③分配律:(� � )⋅ � =� � ⋅ � ).= � ⋅� � )
5.平面向量的坐标表 � +示 �及 )坐⋅ � 标=运 � 算⋅ � + � ⋅ �
(1)平面向量的坐标表示
在平面直角坐标中,分别取与轴,轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底,
那么由平面向量基本定理可知,对�于平面�内的一个向量,有且只有一对实数 �,� 使
,我们把有序实数对(叫做向量的坐标,记 � 作(.�,� � =
� �+(� �2)向量的坐标表示和以�,坐�)标原点为起 � 点的向量是一 � 一=对应�的,�),即有
向量(向量点(.
(3)设�,�)⇔(� � , ⇔(��,�),则(,(
, �即 =两个�向1,量�1的)和 � 与=差的�2坐,�标2)分别 �等 +于 � 这=两个�向1+量�相2,应�1坐+标�2的)和 � 与−差 � .=�1−
�2,�1若−�2)(,为实数,则(,即实数与向量的积的坐标,等于用该实
数乘原 �来 =向量�的,�相)应�坐标.� � =��,��)
(4)设(,(,则(,即一个向
量的坐标等于�该向�1量,�的1)有向�线�段2,的�2终)点的� 坐 � 标=减� � 去 −始� 点 � 坐=标.�2−�1,�2−�1)
6.平面向量的直角坐标运算
(1)已知点(,(,则(,
��1,�1)��2,�2)� � =�2−�1,�2−�1)|� � |=
((.
22
2121
�(−2)�已)知+�(−�),(,则:
①线性运算 � :=�1,�1() � =�2,�2),(.
②数量积: � ± � =�1±�.2,�1±�2)� � =��1,��1)
� ⋅ � =�1�2+�1�2
③模长:.
22
| � |=�1+�1
④夹角公式:.
� ⋅ � �1�2+�1�2
cos�=| � || � |=2222
⑤共线与垂直的充要条件:�1+�1�2+�2
;
� ∥ � ⇔�1�2−�2�1=0(为非零向量).
【防 �坑 ⟂警 � 示⇔】�1�2+�1�2=0 � , �
(1)向量的数量积不满足结合律,即((,因为前者是与共线的向
量,后者是与共线的向量. � ⋅ � ) � ≠ � � ⋅ � ) �
(2)由 � 且,不能推出,只能推出(.
(3)向 �量 ⋅的 � 模=满 � ⋅足 � 三 �角 ≠不 0 等式: � = � � ⟂ � −, � )当且仅当共线
时等号成立.|| � |−| � ||≤| � ± � |≤| � |+| � | � , �
三、典题精讲
考点一:平面向量的基本概念
考法1:辨析平面向量的基本概念
例1.(2026·山东济南·二模)已知为非零向量,则“与共线”是“与共
线”的�,��+��−���
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【思路】判断充要条件,需分别证明充分性和必要性.从已知向量共线的定义出发,利用待定系数
法进行推导.
【解析】∵向量为非零向量,若与共线,则存在实数,使得,整
理得�,�.非�零+,�∴�−�与不同时为0�,∴向量�+与�=共�线(�.反−之�),若
与共(1线−,�设)�+(�+,1则)�=0∵�,�,1−��+1,显然与�共�线.∴“与�
�共线”是�“=�与�共线�+”�的=充(要�+条1件)�.�−�=(�−1)��+��−��+�
�【−考�点一方法总�结�】
1.证明向量共线的充要条件时,常设或利用线性组合的系数关系进行推导.
� =� �
考点二:平面向量的线性表示
考法2:化简向量的线性表达式
例2.(2026·广东深圳·二模)在平行四边形中,,则
A.𝐴��B.� � =2� � � � =
5212
C.−3� � +3� � D.−3� � +3� �
1252
【答案】3A� � +3� � 3� � +3� �
【思路】目标是求,已知条件是平行四边形和边上的比例关系.可以利用向量加法的三角形法则,
将转化为� � ,再逐步用基底和表示.
【� 解 � 析】∵� � +� � � � � �
2222
� � =� � +� � =.−� � +3� � =−� � +3(� � +� � )=−� � +3� � +3� � =−� � +
2252
3【� 规 � 律−3】� 平 � 面=−向3量� 线� +性3表� 示� 的核心是“目标拆解”,利用三角形法则或平行四边形法则,将未知
向量向已知基底方向逐步转化.
考法3:利用基底表示目标向量
例3.(2026·江苏南京·二模)已知四边形为正方形,为线段上一点(不包括
端点,),则𝐴�����
�A.�� � ,=B.,
C.�(� � +� � ),�∈(0,1)D.�(� � +� � ),�∈(0,2)
【答案】�A(� � −� � )�∈(0,1)�(� � −� � )�∈(0,2)
【思路】点在线段上,说明与同向共线,可设,再结合正方形的性质将用
边向量表示�.��� � � � � � =�� � � �
【解析】∵为线段上一点(不包括端点,),如图,∴存在,使得
�.�����∈(0,1)� � =�� � =
�(� � +� � )
【规律】点在线段上(不含端点)可转化为向量的数乘关系,系数.
考法4:利用向量线性表示求参数�∈(0,1)
例4.(2025·江西萍乡·一模)在中,是上一点,满足,是的
中点,若,则△𝐴����� � =2� � ���
A.� � =𝐴 � +𝐴 � B.�+�=C.D.
5755
6848
【答案】A
【思路】已知的基底表示,需要求系数和.可从出发,利用中点性质将其转化为和的
线性组合,再利� � 用 转化为基底.� � � � � �
【解析】∵� � =2� � ,则,,∴.
11211115
【规律】利用� � 平 =面2向(� 量 � 基+本� �定 )理=求2(参� �数 +,3通� �常 )从=几2� 何 � 图+形3� 出 � 发,推�=导2目标�向=量3的基�底+表�示=,6对比
系数即可求解.
例5.(2026·江西九江·二模)在平行四边形中,,分别是,的中点.若
,则𝐴��������
� � =A�.� � +�� � �−�B=.C.D.
3113
【答案】−C4−444
【思路】目标是求关于基底和的表达式.可先将用和表示,再将用和表示,
代入即可.� � � � � � � � � � � � � � � � � �
【解析】∵是的中点,.又是的中点,
11
���� � =� � +,� � ∴=� � +,2� � =,� � +2(� � .+� � )���
1131311
�【 � 规=律� 】 � 基+底2(转� � 换−问2题� � 的)=关键4� 是 � 找+到2� 新 � 旧基�底=之间4的�线=性2关�系−,�通=过4代入消元实现基底的统一.
考法5:利用向量线性运算求模长
例6.(2026·浙江宁波·二模)已知正方形的边长为,则
A.B.𝐴��C.1|� � +� � D −.� � |=
【答案】
0D122
【思路】要求向量的模,先观察括号内的向量表达式能否化简.利用正方形的性质,将转化为
,化简后再求模长.� �
� 【 � 解−析� 】 � ∵在正方形中,∴
,则𝐴��� � =� � +� � .=� � −� � � � +� � −� � =� � +� � −(� � −
� 【 � 规)=律2】� 求 � 多个|向� � 量 +和� 差 � 的−模� � 长|=,|首2� 选 � 化|=简2向量表达式,将其转化为单个已知模长的向量,再进
行计算.
考法6:结合几何性质解决向量综合问题
例7.(2026·福建厦门双十中学·检测)已知点是的重心,点是所在平面
内一点.若,且�△(𝐴��),△则𝐴�
A.� � =�1� � +�1� � � � =�2� � +�2� B � .�1,�2,�1,�2∈�
C.�1=3�2,�1=3�2D.�2=3�1,�2=3�1
【答案】
�C1+�1=3(�2+�2)�2+�2=3(�1+�1)
【思路】已知点是重心,隐含条件为.将第二个表达式中的和用
表示,�再消去,对比系数� . � +� � +� � =�� � � �
� 【 � 解,� 析 � 】,� ∵� 已知点是� � 的重心,则,即
�△𝐴�� � +� � +� � =�� � =−� � −� � .� � =�2� � +
�2� � =�2(� � −� � )+�2(� � −� � )=�2� � +�2� � −(�2+�2)� � =�2� � +�2� � +(�2+
.又,∴,
�2)(� � +,� ∴ � )=(2�2+�2)� � +(.�2+2�2)� � � � =�1� � +�1� � �1=2�2+�2�1=
�【2规+律2�】2三角�形1+重�心1=的3向(�量2+性�质2)是实现向量转化的重要桥梁.
【考点二方法总结�】� � +� � +� � =�
1.平面向量的线性表示与化简:
(1)平面向量线性表示的核心是“目标拆解”,利用三角形法则或平行四边形法则,
将未知向量向已知基底方向逐步转化.
(2)基底转换问题的关键是找到新旧基底之间的线性关系,通过代入消元实现基底
的统一.
(3)求多个向量和差的模长,首选化简向量表达式,将其转化为单个已知模长的向
量,再进行计算.
2.结合几何性质的向量问题:
(1)点在线段上(不含端点)可转化为向量的数乘关系,系数.
(2)利用平面向量基本定理求参数,通常从几何图形出发,推�导∈目(标0,1向)量的基底表
示,对比系数即可求解.
(3)三角形重心的向量性质是实现向量转化的重要桥梁.
�� � +� � +� � =�
考点三:平面向量共线定理的应用
考法7:利用向量共线定理求参数
例8.(2026·山东淄博·二模)已知向量,不共线,且,,
若与共线,则实数的值为 � � � =� � + � � =2 � +(2�−3) �
� A � .�B.C.或D.或
111
【答案】2C−22−2−22
【思路】已知两向量共线,可设,代入已知表达式,利用不共线,列出关于和的方程
组求解. � =� � � , � ��
【解析】∵与共线,∴存在实数,使得,即
.,不 � 共 线� ,∴�,消去 � =得� � � � + � =�,[2 �解 +得(2�−3或) � ]=2� �. +�(2�−
�=2�21
3) � ∵ � � �2�−3�−2=0�=2�=−2
【考点三方法总结】1=�(2�−3)
1.若不共线,且,则必有且.
� , � � � +� � =� � +� � �=��=�
考点四:平面向量基本定理及应用
考法8:利用平面向量基本定理求参数
例9.(2026·湖南邵阳·联考)在平行四边形中,点在线段上,且.若
2
,其中,则𝐴�����𝐴=3��
� � =�� � +�� � �,�∈��+�=
A.B.C.D.
1221
【答案】−D3−333
【思路】目标是求的基底表示.利用三角形法则,再结合已知比例关系将用基
底表示.� � � � =� � −� � � �
【解析】∵,∴,,
221212
.� � =� � −� � =� � −3� � =� � −3(� � +� � )=3� � −3� � �=3�=−3
1
�【+规�律=】−向3量的线性表示常以图形为载体,利用向量的加减法法则进行首尾相接的拆分.
考法9:利用平面向量基本定理与三点共线定理求参数
例10.(2026·河南濮阳·二模)如图,在等边三角形中,,点是靠近的三
等分点,过的直线分别交射线于不同的两点𝐴,�𝐴=6,�,�则下
列选项中不�正确的是𝐴,���,�� � =�� � � � =�� �
A.B.
217
C.� � =3� � +3� � D.cos∠�的�最�=小值21为
128
【答案】2B�+�=3�+�3
【思路】逐项分析.A项利用三等分点性质推导;B项利用余弦定理计算;C项利用三点共线定理
推导系数关系;D项利用C项结论结合基本不等式求最值.
【解析】对于A,∵是靠近的三等分点,∴
11
,A正确.�对于B,�在中,� � =,� � +� � =� � +3� � =� � +3(� � −� � )=,
2122∘
3𝐴+3,�由�余弦定理得△�����=6��=6,+2B错−误2.×对6于×C2,×由co题s6意0得=27
222
��+��−��28+16−367
��=4,∵,co,s∠�三��点=共线,2��∴⋅��=2×27×,4即=14,C正确.对于D,� � =
21211
3�� � +3�� � ���3�+3�=12�+�=3�+
,当且仅当,即,
21121�4�1�4�83
�时=等3(号�成+立�),(2D�正+确�).=3(4+�+�)≥3(4+2�⋅�)=3�=2��=4�=
3
【2规律】三点共线,若,则必有.
例11.(2026�·,浙�,江�宁波十校� �· =联�考� �) +(�多� � 选 )如图所�+示�,=已1知,点,满足
,,与交于点,交于点,△𝐴�,则��
11
� � =2� � � � =3� � ��𝐴������� � =�� �
A.B.
122
C.� � =5� � +5� � D.� � =5� �
222
【答案】�D=5� � =5� � +5� �
【思路】已知交点比例,求向量的线性表示.可设和,
联立方程组求出系数.� � =�� � +(1−�)� � � � =�� � +(1−�)� �
【解析】对于A,由共线,存在使,由
�
�,�,��� � =�� � +(1−�)� � =2� � +(1−�)� � �,�,�
共线,存在使,联立系数相等:�,解得:
1−�2=�
�� � =�� � +(1−�)� � =�� � +3� � 1−��=
,,因此:,故选项A错误.对于B,1−�=3
422121
5�=5� , � =5� � +5� � � � ,=若� � −� � =(,5则� � : +5� � )−
311123
� � =−5� � +5� � � � =� � −� � =3,� �显 −然� 系 � 数=不−相� � 等+,3选� � 项B错� � 误 =.对5于� � C,由于−5� � +,
12122
且5� � 在=5(上−,� �故 +设3� � )=−5� � +15� � ,则,结合� � =�� �
2
���� � =�� � +(1−�)� � � � =�� � =��� � +�(1−�)� � � � =5� � +
,得:2,解得,选项C错误.对于D,由
1��=5321
5� � 1�=5� � =� � −� � =(5� � +5� � )−
�(1−,�∴)=5,故选项D正确.
242422
�【 � 规=律5】� � “ −爪5子� � 型 ”图� �形 =中5,(� 利 � 用−双� � 重 )三−点5� 共 � 线=列5� 方 � 程+组5� 是 � 求解交点向量表示的通法.
考法10:利用平面向量基本定理与三点共线定理求最值
例12.(2026·安徽铜陵·模拟)在中,点为边的中点,过点的直线与,
两边(或其延长线)分别交于点△,𝐴,�设�,���,�则�
12
的��最小值为��� � =�� � � � =�� � (�>0,�>0)�+�
A.B.C.D.
13
【答案】2C+21+22+22+2
【思路】已知三点共线,可利用三点共线定理得到的关系式,再利用乘“1”法结合基本
不等式求最值�.,�,��,�
【解析】∵是的中点,∴.由于三点共线,∴
11111
,其中�����=2𝐴+2��=2�𝐴+2����,�,�,2当�+且仅
11212113��3��3
2�=1�>0,�>0.�+�=(�+�)(2�+2�)=2+2�+�≥2+22�⋅�=2+2
当,即时等号成立.∴的最小值为.
��123
2�=��=22−2,�=4−22�+�2+2
【规律】三点共线定理常与基本不等式结合,解题步骤为:找共线得关系式乘“1”展开用
基本不等式求最值.→→
例13.(2026·山东济宁·二模)是的重心,过点且不过顶点的直线分别
交边,于点,,记�和△𝐴�的面积分别为�,则△�的��最小值是___�_.
�1
122
【答案𝐴】����△𝐴�△𝐴��,��
2+3
【思路】利2用重心性质和三点共线定理,设,,得到的关系.再将面积比转
化为的表达式,利用换元法和基本不等式� 求 � 最=值�� . � � � =�� � �,�
【解�析,�】设,,∵是的重心,∴
� � =�� � � � =�� � . �三△点𝐴共�线,∴,即.分别在边
111111�
��=3上𝐴,+∴3��=3�𝐴+3�𝐴,∵�解,得�,�.又(S_13�=S+{3\t�ri=an1gleAM�G=}=3�\f−r1ac∵{�1},{�3}S{\triangle
1
A𝐴M,B�}�=\frac{10}{<3}�x≤S{1\t,r0ia<ngl�e≤AB1C}),2<�≤1,∴
11�1�
�2=�△𝐴�=3�△𝐴�=3(1−�)�△𝐴��2=1−�=
令,则,∴�+1�+1,
2.22.
�3�−��+1�13(2)−23�+4�+131
�
1−3�−1=2�−1�=2�−1∈(0,1]�=2�2=�=4�=4�+4�+1∵�∈(0,1]
∴,当且仅当,即时等号成立.∴的最小
313132+3313�1
4�+4�+1≥24�⋅4�+1=2+1=24�=4��=3�2
值为.
2+3
【规律2】面积比问题常转化为边长比(即向量的系数比),结合三点共线关系式,利用代数方法
求最值.
【考点四方法总结】
1.平面向量基本定理与三点共线的综合应用:
(1)向量的线性表示常以图形为载体,利用向量的加减法法则进行首尾相接的拆分.
(2)三点共线,若,则必有.
(3)“爪�子,型�,”�图形中,利� � 用=双�重� � 三 +点�共� 线� 列方程组�是+求�解=交1点向量表示的通法.
(4)三点共线定理常与基本不等式结合,解题步骤为:找共线得关系式乘“1”
展开用基本不等式求最值.→
(→5)面积比问题常转化为边长比(即向量的系数比),结合三点共线关系式,利用
代数方法求最值.
考点五:平面向量的直角坐标运算
考法11:进行平面向量的坐标线性运算
例14.(2026·广东华南师大附中·检测)在平面直角坐标系中,点的位置如图所
示,则_____.(用坐标表示)�,�,�,�
2� � −� � =
【答案】
【思路】(根11据,1图)形写出各点的坐标,直接代入坐标进行向量的线性运算.
【解析】由图可得,∴,则
.�(1,0),�(5,2),�(4,1),�(1,4)� � =(4,2),� � =(−3,3)2� � −� � =
【规律】网格图中的向量问题,首选建立直角坐标系,将几何运算转化为坐标的代数运算
(11,1).
考法12:利用坐标运算求向量的模
例15.(2026·广东佛山·二模)设向量,,则
A.B. � =(3,−7C). � =(−5,8)| � −D. � |=
【答案】
5D81517
【思路】已知两向量坐标,求差向量的模.先求出差向量的坐标,再代入模长公式.
【解析】∵,∴.
【规律】向 量� −坐 � 标=运(8算,−中1,5)| � − � |=是6基4础+,22需5熟=练17掌握.
22
考法13:建系坐标化解决| 几� |何=问�题+�
例16.(2026·山东潍坊·二模)已知正方形的边长为,点满足,
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