2027届高考数学复习考点考法通关训练第35讲 平面向量的概念与坐标运算讲义(解析卷)_第1页
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文档简介

第35讲平面向量的概念与坐标运算·讲义(解析卷)

一、考情分析.....................................................................................................................................1

二、知识清单.....................................................................................................................................2

三、典题精讲.....................................................................................................................................5

考点一:平面向量的基本概念..............................................................................................5

考点二:平面向量的线性表示..............................................................................................6

考点三:平面向量共线定理的应用......................................................................................8

考点四:平面向量基本定理及应用......................................................................................8

考点五:平面向量的直角坐标运算....................................................................................11

考点六:向量共线的坐标表示............................................................................................13

考点七:平面向量的新定义问题........................................................................................15

四、高考真题...................................................................................................................................16

一、考情分析

1.考查频次与题型

年份题号与题型分值考察类型考察内容

2026第2题单选题5分直接平面向量基本定理

2025第6题单选题5分直接向量的加减法运算及几何意义

2024第3题单选题5分直接向量的坐标运算与垂直条件

近三年全国一卷中,平面向量的概念与坐标运算每年均有考查,题型均为单选题,分

值为5分。考查内容涵盖了平面向量基本定理、向量的线性运算及其几何意义、向量的坐

标运算与垂直条件,属于基础题。

2.命题角度与特色

(1)侧重基础与概念:主要考查向量的线性运算、坐标表示以及共线、垂直的充要

条件,难度较低。

(2)注重几何直观与实际情境:如2025年结合帆船比赛的实际情境,考查向量加减

法的几何意义及模长计算,强调数学知识的实际应用能力。

3.备考策略

(1)熟练掌握平面向量的加减法、数乘运算的几何意义及坐标运算法则,确保基础

运算零失误。

(2)牢记向量共线与垂直的坐标表示公式,能够熟练进行代数与几何的相互转化。

(3)深刻理解平面向量基本定理,能够利用基底准确表示未知向量,并能结合实际

情境构建向量模型解决问题。

二、知识清单

1.向量的有关概念

(1)定义:既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的长度(或模).

(2)向量的模:向量的大小,也就是向量的长度,记作.

(3)特殊向量:����|��|

①零向量:长度为的向量,其方向是任意的.

②单位向量:长度等0于个单位的向量.

③平行向量:方向相同或1相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定:与任一向

量平行.0

④相等向量:长度相等且方向相同的向量.

⑤相反向量:长度相等且方向相反的向量.

2.向量的线性运算和向量共线定理

(1)向量的线性运算

运算定义法则(或几何意义)运算律

①交换律

求两个向量

加法②结合律(

和的运算�+�=�+�

(

三角形法则平行四边形法则�+�)+�=

求与的�+�+�)

相反向量

减法�的和�的(

运算叫做

−��−�=�+−�)

与的差三角形法则

�

()

�1

求实数与((

(2)当时,与的方向相同;当

数乘向量的积|��|=|�||�|(

�时,与的方向相反;���)=��)�

的运算�>0���(

�当时,�+�)�=��+��

�<0���

��+�)=��+��

【易错提醒】�=0��=0

(1)向量表达式中的零向量写成,而不能写成.

(2)两个向量共线要区别于两条0直线共线,两个0向量共线满足的条件是:两个向量

所在直线平行或重合,而在直线中,两条直线重合与平行是两种不同的关系.

(3)要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件,运用平行四边形法则时两个

向量的起点必须重合,和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量;运

用三角形法则时两个向量必须首尾相接,否则就要把向量进行平移,使之符合条件.

(4)向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如:,

,��−��.=����−��=

�3.�平面�向�量=基��本+定�理�和⇔性�质�−��=��⇔��−��=��+��=��

(1)共线向量基本定理

如果(,则;反之,如果且,则一定存在唯一的实数,

使.�(=口�诀�:�数∈乘�即)得平�行∥,�平行必有数乘�)∥.��≠0�

�=(�2�)平面向量基本定理

如果和是同一个平面内的两个不共线向量,那么对于该平面内的任一向量,都

存在唯一�的1一�对2实数,使得,我们把不共线向量叫做表示�这一

平面内所有向量的一�组1,基�2底,记为�=�1�1,+�2�2叫做向量关于�基1,�底2的分解

式.{�1,�2}�1�1+�2�2�{�1,�2}

①推论1:若,则.

②推论2:若�=�1�1+�2�2=�3,�1则+�4�2�1.=�3,�2=�4

【易错提醒】由平�面=向�量1�基1+本�定2�理2=可0知:只�1要=向�量2=0与不共线,平面内的任一向量都

可以分解成形如的形式,并且这样的�1分解�2是唯一的.叫做�的

一个线性组合.平�面=向�量1�基1+本�定2�理2又叫平面向量分解定理,是平面向�量1�正1+交�分2�解2的理�论1,依�2

据,也是向量的坐标表示的基础.

(3)线段定比分点的向量表达式

在中,若点是边上的点,且(,则向量.在

��+���

向量线△性表𝐴示�(运算)�有关的�问�题中,若能�熟�练=利�用��此结�论≠−,1往)往能有“�化�腐=朽为1+神�奇”

之功效,建议熟练掌握.

(4)三点共线定理

平面内三点共线的充要条件是:存在实数,使,其中

,为平面�内,�一,�点.此定理在向量问题中经常用到�,,�应熟�练�掌=握��.�+����+

�=1�三点共线等价于以下任一条件:

�①,�存,�在唯一的实数,使得;

②存在唯一的实数�,使得��=���;

③存在唯一的实数�,使得��=�(�+���;

④存在,�使得��=1−�).��+���

(5)中�线+向�量=定1理��=���+���

在中,若点是边的中点,则中线向量(,反之亦正确.

1

4.平面△向量𝐴的�数量积与�投影����=2��+��)

(1)向量的夹角:已知两个非零向量和,作,,则

(叫做向量与的夹角.当�时�,两向�量�同=向�;�当�=�时,∠�两�向�量=反向;

�当0≤时�≤,两�)向量垂直,�记�作.�=0�=�

�

�=(22)数量积的定义:已知�两⟂�个非零向量和,它们的夹角为,则数量叫

做与的数量积(或内积),记作,即��.规定:�零向量与|任�||一�|向co量s�的

数�量积�为.�⋅��⋅�=|�||�|cos�

(3)0投影:

①投影量(数量投影):叫做向量在向量上的投影量,计算公式为

.|�|cos���

�⋅�

|�|cos�=|�|

②投影向量:向量在向量上的投影向量为(.

��⋅�

2

(4)数量积的性质�:�|�|cos�⋅|�|=|�|)�

①或.

2

②�若⋅�=为|�非|零向|�量|=,则�⋅�.

③�,�(当且仅�⟂当�⇔�时⋅�等=号0成立).

(5|)�⋅数�|量≤积|�的||�运|算律:�∥�

①交换律:.

②数乘结合�律⋅:�(=�⋅�((.

③分配律:(��)⋅�=��⋅�).=�⋅��)

5.平面向量的坐标表�+示�及)坐⋅�标=运�算⋅�+�⋅�

(1)平面向量的坐标表示

在平面直角坐标中,分别取与轴,轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底,

那么由平面向量基本定理可知,对�于平面�内的一个向量,有且只有一对实数�,�使

,我们把有序实数对(叫做向量的坐标,记�作(.�,��=

��+(��2)向量的坐标表示和以�,坐�)标原点为起�点的向量是一�一=对应�的,�),即有

向量(向量点(.

(3)设�,�)⇔(��,⇔(��,�),则(,(

,�即=两个�向1,量�1的)和�与=差的�2坐,�标2)分别�等+于�这=两个�向1+量�相2,应�1坐+标�2的)和�与−差�.=�1−

�2,�1若−�2)(,为实数,则(,即实数与向量的积的坐标,等于用该实

数乘原�来=向量�的,�相)应�坐标.��=��,��)

(4)设(,(,则(,即一个向

量的坐标等于�该向�1量,�的1)有向�线�段2,的�2终)点的�坐�标=减��去−始�点�坐=标.�2−�1,�2−�1)

6.平面向量的直角坐标运算

(1)已知点(,(,则(,

��1,�1)��2,�2)��=�2−�1,�2−�1)|��|=

((.

22

2121

�(−2)�已)知+�(−�),(,则:

①线性运算�:=�1,�1()�=�2,�2),(.

②数量积:�±�=�1±�.2,�1±�2)��=��1,��1)

�⋅�=�1�2+�1�2

③模长:.

22

|�|=�1+�1

④夹角公式:.

�⋅��1�2+�1�2

cos�=|�||�|=2222

⑤共线与垂直的充要条件:�1+�1�2+�2

;

�∥�⇔�1�2−�2�1=0(为非零向量).

【防�坑⟂警�示⇔】�1�2+�1�2=0�,�

(1)向量的数量积不满足结合律,即((,因为前者是与共线的向

量,后者是与共线的向量.�⋅�)�≠��⋅�)�

(2)由�且,不能推出,只能推出(.

(3)向�量⋅的�模=满�⋅足�三�角≠不0等式:�=��⟂�−,�)当且仅当共线

时等号成立.||�|−|�||≤|�±�|≤|�|+|�|�,�

三、典题精讲

考点一:平面向量的基本概念

考法1:辨析平面向量的基本概念

例1.(2026·山东济南·二模)已知为非零向量,则“与共线”是“与共

线”的�,��+��−���

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【思路】判断充要条件,需分别证明充分性和必要性.从已知向量共线的定义出发,利用待定系数

法进行推导.

【解析】∵向量为非零向量,若与共线,则存在实数,使得,整

理得�,�.非�零+,�∴�−�与不同时为0�,∴向量�+与�=共�线(�.反−之�),若

与共(1线−,�设)�+(�+,1则)�=0∵�,�,1−��+1,显然与�共�线.∴“与�

�共线”是�“=�与�共线�+”�的=充(要�+条1件)�.�−�=(�−1)��+��−��+�

�【−考�点一方法总�结�】

1.证明向量共线的充要条件时,常设或利用线性组合的系数关系进行推导.

�=��

考点二:平面向量的线性表示

考法2:化简向量的线性表达式

例2.(2026·广东深圳·二模)在平行四边形中,,则

A.𝐴��B.��=2����=

5212

C.−3��+3��D.−3��+3��

1252

【答案】3A��+3��3��+3��

【思路】目标是求,已知条件是平行四边形和边上的比例关系.可以利用向量加法的三角形法则,

将转化为��,再逐步用基底和表示.

【�解�析】∵��+������

2222

��=��+��=.−��+3��=−��+3(��+��)=−��+3��+3��=−��+

2252

3【�规�律−3】�平�面=−向3量�线�+性3表�示�的核心是“目标拆解”,利用三角形法则或平行四边形法则,将未知

向量向已知基底方向逐步转化.

考法3:利用基底表示目标向量

例3.(2026·江苏南京·二模)已知四边形为正方形,为线段上一点(不包括

端点,),则𝐴�����

�A.���,=B.,

C.�(��+��),�∈(0,1)D.�(��+��),�∈(0,2)

【答案】�A(��−��)�∈(0,1)�(��−��)�∈(0,2)

【思路】点在线段上,说明与同向共线,可设,再结合正方形的性质将用

边向量表示�.��������=�����

【解析】∵为线段上一点(不包括端点,),如图,∴存在,使得

�.�����∈(0,1)��=���=

�(��+��)

【规律】点在线段上(不含端点)可转化为向量的数乘关系,系数.

考法4:利用向量线性表示求参数�∈(0,1)

例4.(2025·江西萍乡·一模)在中,是上一点,满足,是的

中点,若,则△𝐴������=2�����

A.��=𝐴�+𝐴�B.�+�=C.D.

5755

6848

【答案】A

【思路】已知的基底表示,需要求系数和.可从出发,利用中点性质将其转化为和的

线性组合,再利��用转化为基底.������

【解析】∵��=2��,则,,∴.

11211115

【规律】利用��平=面2向(�量�基+本��定)理=求2(参��数+,3通��常)从=几2�何�图+形3�出�发,推�=导2目标�向=量3的基�底+表�示=,6对比

系数即可求解.

例5.(2026·江西九江·二模)在平行四边形中,,分别是,的中点.若

,则𝐴��������

��=A�.��+����−�B=.C.D.

3113

【答案】−C4−444

【思路】目标是求关于基底和的表达式.可先将用和表示,再将用和表示,

代入即可.������������������

【解析】∵是的中点,.又是的中点,

11

�����=��+,��∴=��+,2��=,��+2(��.+��)���

1131311

�【�规=律�】�基+底2(转��换−问2题��的)=关键4�是�找+到2�新�旧基�底=之间4的�线=性2关�系−,�通=过4代入消元实现基底的统一.

考法5:利用向量线性运算求模长

例6.(2026·浙江宁波·二模)已知正方形的边长为,则

A.B.𝐴��C.1|��+��D−.��|=

【答案】

0D122

【思路】要求向量的模,先观察括号内的向量表达式能否化简.利用正方形的性质,将转化为

,化简后再求模长.��

�【�解−析�】�∵在正方形中,∴

,则𝐴����=��+��.=��−����+��−��=��+��−(��−

�【�规)=律2】�求�多个|向��量+和�差�的−模��长|=,|首2�选�化|=简2向量表达式,将其转化为单个已知模长的向量,再进

行计算.

考法6:结合几何性质解决向量综合问题

例7.(2026·福建厦门双十中学·检测)已知点是的重心,点是所在平面

内一点.若,且�△(𝐴��),△则𝐴�

A.��=�1��+�1����=�2��+�2�B�.�1,�2,�1,�2∈�

C.�1=3�2,�1=3�2D.�2=3�1,�2=3�1

【答案】

�C1+�1=3(�2+�2)�2+�2=3(�1+�1)

【思路】已知点是重心,隐含条件为.将第二个表达式中的和用

表示,�再消去,对比系数�.�+��+��=�����

�【�解,�析�】,�∵�已知点是��的重心,则,即

�△𝐴���+��+��=���=−��−��.��=�2��+

�2��=�2(��−��)+�2(��−��)=�2��+�2��−(�2+�2)��=�2��+�2��+(�2+

.又,∴,

�2)(��+,�∴�)=(2�2+�2)��+(.�2+2�2)����=�1��+�1���1=2�2+�2�1=

�【2规+律2�】2三角�形1+重�心1=的3向(�量2+性�质2)是实现向量转化的重要桥梁.

【考点二方法总结�】��+��+��=�

1.平面向量的线性表示与化简:

(1)平面向量线性表示的核心是“目标拆解”,利用三角形法则或平行四边形法则,

将未知向量向已知基底方向逐步转化.

(2)基底转换问题的关键是找到新旧基底之间的线性关系,通过代入消元实现基底

的统一.

(3)求多个向量和差的模长,首选化简向量表达式,将其转化为单个已知模长的向

量,再进行计算.

2.结合几何性质的向量问题:

(1)点在线段上(不含端点)可转化为向量的数乘关系,系数.

(2)利用平面向量基本定理求参数,通常从几何图形出发,推�导∈目(标0,1向)量的基底表

示,对比系数即可求解.

(3)三角形重心的向量性质是实现向量转化的重要桥梁.

���+��+��=�

考点三:平面向量共线定理的应用

考法7:利用向量共线定理求参数

例8.(2026·山东淄博·二模)已知向量,不共线,且,,

若与共线,则实数的值为���=��+��=2�+(2�−3)�

�A�.�B.C.或D.或

111

【答案】2C−22−2−22

【思路】已知两向量共线,可设,代入已知表达式,利用不共线,列出关于和的方程

组求解.�=���,���

【解析】∵与共线,∴存在实数,使得,即

.,不�共线�,∴�,消去�=得����+�=�,[2�解+得(2�−3或)�]=2��.+�(2�−

�=2�21

3)�∵���2�−3�−2=0�=2�=−2

【考点三方法总结】1=�(2�−3)

1.若不共线,且,则必有且.

�,���+��=��+���=��=�

考点四:平面向量基本定理及应用

考法8:利用平面向量基本定理求参数

例9.(2026·湖南邵阳·联考)在平行四边形中,点在线段上,且.若

2

,其中,则𝐴�����𝐴=3��

��=���+����,�∈��+�=

A.B.C.D.

1221

【答案】−D3−333

【思路】目标是求的基底表示.利用三角形法则,再结合已知比例关系将用基

底表示.����=��−����

【解析】∵,∴,,

221212

.��=��−��=��−3��=��−3(��+��)=3��−3���=3�=−3

1

�【+规�律=】−向3量的线性表示常以图形为载体,利用向量的加减法法则进行首尾相接的拆分.

考法9:利用平面向量基本定理与三点共线定理求参数

例10.(2026·河南濮阳·二模)如图,在等边三角形中,,点是靠近的三

等分点,过的直线分别交射线于不同的两点𝐴,�𝐴=6,�,�则下

列选项中不�正确的是𝐴,���,���=�����=���

A.B.

217

C.��=3��+3��D.cos∠�的�最�=小值21为

128

【答案】2B�+�=3�+�3

【思路】逐项分析.A项利用三等分点性质推导;B项利用余弦定理计算;C项利用三点共线定理

推导系数关系;D项利用C项结论结合基本不等式求最值.

【解析】对于A,∵是靠近的三等分点,∴

11

,A正确.�对于B,�在中,��=,��+��=��+3��=��+3(��−��)=,

2122∘

3𝐴+3,�由�余弦定理得△�����=6��=6,+2B错−误2.×对6于×C2,×由co题s6意0得=27

222

��+��−��28+16−367

��=4,∵,co,s∠�三��点=共线,2��∴⋅��=2×27×,4即=14,C正确.对于D,��=

21211

3���+3������3�+3�=12�+�=3�+

,当且仅当,即,

21121�4�1�4�83

�时=等3(号�成+立�),(2D�正+确�).=3(4+�+�)≥3(4+2�⋅�)=3�=2��=4�=

3

【2规律】三点共线,若,则必有.

例11.(2026�·,浙�,江�宁波十校��·=联�考��)+(�多��选)如图所�+示�,=已1知,点,满足

,,与交于点,交于点,△𝐴�,则��

11

��=2����=3����𝐴��������=���

A.B.

122

C.��=5��+5��D.��=5��

222

【答案】�D=5��=5��+5��

【思路】已知交点比例,求向量的线性表示.可设和,

联立方程组求出系数.��=���+(1−�)����=���+(1−�)��

【解析】对于A,由共线,存在使,由

�

�,�,����=���+(1−�)��=2��+(1−�)���,�,�

共线,存在使,联立系数相等:�,解得:

1−�2=�

���=���+(1−�)��=���+3��1−��=

,,因此:,故选项A错误.对于B,1−�=3

422121

5�=5�,�=5��+5����,=若��−��=(,5则��:+5��)−

311123

��=−5��+5����=��−��=3,��显−然�系�数=不−相��等+,3选��项B错��误=.对5于��C,由于−5��+,

12122

且5��在=5(上−,��故+设3��)=−5��+15��,则,结合��=���

2

�����=���+(1−�)����=���=����+�(1−�)����=5��+

,得:2,解得,选项C错误.对于D,由

1��=5321

5��1�=5��=��−��=(5��+5��)−

�(1−,�∴)=5,故选项D正确.

242422

�【�规=律5】��“−爪5子��型”图��形=中5,(�利�用−双��重)三−点5�共�线=列5�方�程+组5�是�求解交点向量表示的通法.

考法10:利用平面向量基本定理与三点共线定理求最值

例12.(2026·安徽铜陵·模拟)在中,点为边的中点,过点的直线与,

两边(或其延长线)分别交于点△,𝐴,�设�,���,�则�

12

的��最小值为����=�����=���(�>0,�>0)�+�

A.B.C.D.

13

【答案】2C+21+22+22+2

【思路】已知三点共线,可利用三点共线定理得到的关系式,再利用乘“1”法结合基本

不等式求最值�.,�,��,�

【解析】∵是的中点,∴.由于三点共线,∴

11111

,其中�����=2𝐴+2��=2�𝐴+2����,�,�,2当�+且仅

11212113��3��3

2�=1�>0,�>0.�+�=(�+�)(2�+2�)=2+2�+�≥2+22�⋅�=2+2

当,即时等号成立.∴的最小值为.

��123

2�=��=22−2,�=4−22�+�2+2

【规律】三点共线定理常与基本不等式结合,解题步骤为:找共线得关系式乘“1”展开用

基本不等式求最值.→→

例13.(2026·山东济宁·二模)是的重心,过点且不过顶点的直线分别

交边,于点,,记�和△𝐴�的面积分别为�,则△�的��最小值是___�_.

�1

122

【答案𝐴】����△𝐴�△𝐴��,��

2+3

【思路】利2用重心性质和三点共线定理,设,,得到的关系.再将面积比转

化为的表达式,利用换元法和基本不等式�求�最=值��.���=����,�

【解�析,�】设,,∵是的重心,∴

��=�����=���.�三△点𝐴共�线,∴,即.分别在边

111111�

��=3上𝐴,+∴3��=3�𝐴+3�𝐴,∵�解,得�,�.又(S_13�=S+{3\t�ri=an1gleAM�G=}=3�\f−r1ac∵{�1},{�3}S{\triangle

1

A𝐴M,B�}�=\frac{10}{<3}�x≤S{1\t,r0ia<ngl�e≤AB1C}),2<�≤1,∴

11�1�

�2=�△𝐴�=3�△𝐴�=3(1−�)�△𝐴��2=1−�=

令,则,∴�+1�+1,

2.22.

�3�−��+1�13(2)−23�+4�+131

�

1−3�−1=2�−1�=2�−1∈(0,1]�=2�2=�=4�=4�+4�+1∵�∈(0,1]

∴,当且仅当,即时等号成立.∴的最小

313132+3313�1

4�+4�+1≥24�⋅4�+1=2+1=24�=4��=3�2

值为.

2+3

【规律2】面积比问题常转化为边长比(即向量的系数比),结合三点共线关系式,利用代数方法

求最值.

【考点四方法总结】

1.平面向量基本定理与三点共线的综合应用:

(1)向量的线性表示常以图形为载体,利用向量的加减法法则进行首尾相接的拆分.

(2)三点共线,若,则必有.

(3)“爪�子,型�,”�图形中,利��用=双�重��三+点�共�线�列方程组�是+求�解=交1点向量表示的通法.

(4)三点共线定理常与基本不等式结合,解题步骤为:找共线得关系式乘“1”

展开用基本不等式求最值.→

(→5)面积比问题常转化为边长比(即向量的系数比),结合三点共线关系式,利用

代数方法求最值.

考点五:平面向量的直角坐标运算

考法11:进行平面向量的坐标线性运算

例14.(2026·广东华南师大附中·检测)在平面直角坐标系中,点的位置如图所

示,则_____.(用坐标表示)�,�,�,�

2��−��=

【答案】

【思路】(根11据,1图)形写出各点的坐标,直接代入坐标进行向量的线性运算.

【解析】由图可得,∴,则

.�(1,0),�(5,2),�(4,1),�(1,4)��=(4,2),��=(−3,3)2��−��=

【规律】网格图中的向量问题,首选建立直角坐标系,将几何运算转化为坐标的代数运算

(11,1).

考法12:利用坐标运算求向量的模

例15.(2026·广东佛山·二模)设向量,,则

A.B.�=(3,−7C).�=(−5,8)|�−D.�|=

【答案】

5D81517

【思路】已知两向量坐标,求差向量的模.先求出差向量的坐标,再代入模长公式.

【解析】∵,∴.

【规律】向量�−坐�标=运(8算,−中1,5)|�−�|=是6基4础+,22需5熟=练17掌握.

22

考法13:建系坐标化解决|几�|何=问�题+�

例16.(2026·山东潍坊·二模)已知正方形的边长为,点满足,

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