线性代数 第二章

线性代数www。themegAllery。com第2章矩阵矩阵的概念及特殊矩阵逆矩阵矩阵的初等变换与初等矩阵矩阵的运算分块矩阵矩阵的秩1234652.1矩阵的概念及特殊矩阵3特殊矩阵2矩阵的相等1矩阵的概念2.1.1矩阵的概念定义1由m×n

个数Aij(i=1，2，…，m；j=1，2，…，n)按给定顺序排成的m行n

列的数表称为m

行n

列矩阵，简称m×n

矩阵，其中，Aij称为矩阵的第i

行第j

列的元素。m×n

矩阵可以表示为(Aij)或(Aij)m×n，一般用大写的黑体英文字母A，B，C，…表示矩阵。规定(A11)1×1=A11。2.1.2矩阵的相等定义2行数与列数分别相等的矩阵称为同型矩阵。例如，矩阵是同型矩阵。定义3设矩阵A=(aij)m×n与矩阵B=(bij)m×n为同型矩阵，如果它们对应元素相等，即则称矩阵A

与矩阵B

相等，记为A=B。(2.1.1)在式(2.1.1)中，当且仅当A=1，b=2，c=3，d=4时，有A=B。2.1.3特殊矩阵根据矩阵的形状矩阵三角矩阵方阵单位矩阵数量矩阵对角矩阵零矩阵根据矩阵的元素行矩阵列矩阵只有一列的矩阵称为列矩阵，如只有一行的矩阵称为行矩阵(或行向量)，如矩阵A=(a1，a2，

…，

an)是行矩阵。1．行矩阵2．列矩阵3．方阵为n

阶方阵或n

阶矩阵,简记为A=(aij)n.元素a11，a22，…，ann

所在的直线称为方阵的主对角线。行数与列数相等的矩阵称为方阵，如式(2.1.1)中的矩阵A

与B

是2×2矩阵，一般称为二阶方阵或二阶矩阵，如元素全为零的矩阵称为零矩阵，m×n

零矩阵记为Om×n或O。4．零矩阵注意:不同型的零矩阵是不相等的，如！但O2≠O3！主对角线上的元素全为1，其他元素全为零的n

阶方阵称为n阶单位矩阵，记为En，简记为E，即5．单位矩阵注意:不同阶的单位矩阵是不相等的。！主对角线上的元素相等，其他元素全为零的n阶方阵称为数量矩阵(或纯量矩阵)，如6．数量矩阵不在主对角线上的元素全为零的n

阶方阵称为对角矩阵，如7．对角矩阵主对角线以下(或上)的元素全为零的n阶方阵称为上(或下)三角矩阵，如8．三角矩阵121为n

阶上三角矩阵，而2则为下三角矩阵。2.2矩阵的运算2.2.1矩阵的加法2.2.2数与矩阵的乘法2.2.3矩阵与矩阵的乘法2.2.4矩阵的转置2.2.5方阵的行列式矩阵的运算2.2.1矩阵的加法定义1设矩阵A=(aij)，B=(bij)都是m×n

矩阵，A

与B

的和记作A+B，规定：注意:只有两个同型矩阵才可以相加。两个同型矩阵相加是把它们的对应元素相加，它们的和矩阵仍是同型矩阵。例如，若有三阶方阵A=(aij)3×3，B=(bij)3×3，则！矩阵加法满足以下运算规律(设A，B，C

都是m×n

矩阵):(1)交换律A+B=B+A；(2)结合律(A+B)+C=A+(B+C)。矩阵A=(aij)m×n的全部元素都变号后得到一个新矩阵(–aij)m×n，称为A

的负矩阵，记作–A，显然有由矩阵加法和负矩阵的概念定义矩阵减法：减去一个矩阵等于加上这个矩阵的负矩阵，即2.2.2数与矩阵的乘法定义2数λ

与矩阵A=(aij)m×n的乘积，记作λA

或Aλ，规定为：注意:数λ乘矩阵A

是矩阵A

中的每一个元素都乘以数λ。当λ=–1时，(–1)×A=

–A

是矩阵A的负矩阵。数与矩阵乘法满足以下运算规律(设A,B

都是m×n矩阵；λ，μ

都是数)：！例1设矩阵求2A-3B。解2.2.3矩阵与矩阵的乘法定义3设矩阵A=(aij)是一个m×s

矩阵，矩阵B=(bij)s×n是一个s×n矩阵，矩阵A与B

的乘积是一个m×n

矩阵C=(cij)，其中：称矩阵C

为矩阵A

与B

的乘积矩阵,记作C=AB。注意:(1)只有当矩阵A

的列数等于矩阵B

的行数时,矩阵A

与矩阵B

的乘积AB

才有意义;(2)乘积矩阵AB

的行数等于矩阵A

的行数,AB

的列数等于矩阵B

的列数;(3)乘积矩阵AB

的第i行第j列元素cij等于矩阵A

的第i

行元素与矩阵B

的第j列对应元素相乘，然后相加。！例2设矩阵求乘积矩阵AB

和BA。解例3设矩阵求AB，BA，AC。解(1)两个矩阵相乘一般不能交换顺序,即使在可乘的情况下,也不能随便变换顺序,即AB≠BA。因此,两个矩阵相乘时,AB

称为A

左乘B;而BA

称为A

右乘B.对于两个n

阶方阵A,B,如果AB=BA,则称方阵A

与B为可交换矩阵。矩阵乘法与大家熟悉的乘法存在根本差别：(2)矩阵乘法一般不能随便消去同一个非零矩阵,即虽然A≠O,且AB=AC,但是不能得出B=C。(3)两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵(BA=O),但不能得出A=O

或B=O。矩阵乘法满足以下运算规律(设矩阵A,B,C

对所涉及的运算可行):(1)结合律(2)左乘分配律、左乘分配律对于单位阵E，容易验证：或简写成可见，单位阵E

在矩阵乘法运算中的作用类似于数1。对于方阵A，由于A

的列数等于行数，因此，可以归纳地给出方阵的幂运算:其中，k

为正整数.这就是说Ak

就是k

个A连乘.由于矩阵乘法满足结合律，所以方阵的幂运算满足以下运算规律:其中，k，l为正整数。又因为矩阵乘法不满足交换律，所以对于两个n

阶方阵A

与B，一般来说,有设A，B

都是n

阶方阵，那么而因此数学中的乘法公式必须谨慎使用。！例4设m

次多项式记，称f(A)为方阵A

的m次多项式。已知解由得即n个变量x1，x2，…，xn

与m

个变量y1，y2，…，ym

之间的关系式表示从一个变量x1，x2，…，xn

到变量y1，y2，…，ym

的线性变换，它可用矩阵表示为简记作其中矩阵A

是变量X→Y

的线性变换矩阵。设有两个线性变换Y=AX

和Z=BY。矩阵A

是X→Y

的线性变换矩阵，矩阵B

是Y→Z的线性变换矩阵，可得Z=B(AX)=(BA)X，从而矩阵BA是X→Y

的线性变换矩阵。例5设有两个线性变换，与求从变量x1，x2，x3

到变量z1，z2，z3

的线性变换。解由题设可得将x1，x2，x3

到y1，y2，y3

的线性变换代入y1，y2，y3

到z1，z2，z3

的线性变换中去，得由矩阵乘法得从而得从x1，x2，x3

到z1，z2，z3

的线性变换为即2.2.4矩阵的转置设m×n

矩阵把矩阵A

的行换成同序号的列，得到一个n×m

矩阵定义4称为A

的转置矩阵，记作AT。例如，矩阵的转置矩阵为如果A=(dij)m×n，AT=(dij)n×m

，那么，矩阵AT

中的第i行第j

列元素dij就等于矩阵A中第j

行第i列元素Aji，即dij=Aji(i=1，2，…，n；j=1，2，…，m)。(2)(A+B)T=AT+BT(3)(λA)T=λAT(λ

为数)(4)(ABT)=BTAT(1)(AT)T=A矩阵的转置运算满足运算规律这里仅证明运算规律(4)。证设矩阵A=(aij)m×s，B=(bij)s×n，记AB=C=(cij)m×n，BTAT=D=(dij)n×m.由矩阵与矩阵相乘的定义，得C

的第j

行第i

列的元素而BT

的第i行为(b1i，b2i，…，bsi)，AT

的第j列为因为D

的第i

行第j列元素由转置运算的定义知(AB)T=CT，于是D=CT，即BTAT=(AB)T。定义5设A=(aij)是n阶矩阵，如果AT=A，

即aij=aji

(i，j=1，2，…，n)，则称A

为对称矩阵；如果AT=-A，

即aij=-aji

(i，j=1，2，…，n)，则称A

为反对称矩阵。显然，在反对称矩阵中，主对角线上的元素均为零。例如为对称矩阵，为反对称矩阵。由定义可知，对称矩阵的和、数量乘积仍为对称矩阵;反对称矩阵的和、数量乘积仍为反对称矩阵。例6设A

为n

阶反对称矩阵，B

为n

阶对称矩阵，试证AB

–BA

为对称矩阵。证由定义可知，AT=

–A，BT=B，于是所以AB

–BA

为对称矩阵。2.2.5方阵的行列式定义6设A是n

阶方阵，由方阵A

的元素按原来的位置构成的行列式。称为方阵A

的行列式，记作|A|或detA(2)|λA|=λn|A|(3)|AB|=|A||B|(1)|AT|=|A|方阵的行列式满足运算规律(设A，B

为n

阶方阵，λ

是数):运算规律(3)说明，虽然两个方阵相乘一般不能交换，但例如，矩阵从而|A|=2，|B|=–1，由运算规律(3)可得于是得但即2.3逆矩阵2正交矩阵1逆矩阵的概念2.3.1逆矩阵的概念在代数运算中，如果A≠0，其倒数A-1为等式在矩阵的乘法运算中，对于任意n

阶方阵A，都有这里单位矩阵E

与数1在数的乘法中的作用非常相似。那么，对于n

阶方阵A≠O，是否存在n

阶方阵B，使得AB=BA=E

呢?如果存在这样的方阵B，那么A

要满足什么条件?如何利用A

把B

求出来?为此引进逆矩阵的概念。定义1设A

是n

阶方阵，若有一个n

阶方阵B，使得则B

称为A

的逆矩阵，A

称为可逆矩阵，或非奇异矩阵。(2.3.1)

注意:由定义可知，可逆矩阵一定是方阵，并且它的逆矩阵亦为同阶方阵;定义中A

与B的地位是等同的，所以B

也是可逆矩阵，并且A

是B

的逆矩阵。定理1若A

是一个n

阶可逆矩阵，则它的逆矩阵是唯一的。证设A

有两个逆矩阵B

与C，即于是所以逆矩阵是唯一的。由于可逆矩阵的逆矩阵是唯一的，用A-1表示A

的逆矩阵，于是有下面研究在什么条件下方阵是可逆的，以及如果A

可逆，怎样求A-1.定义2设A=(aij)n×n，Aij为行列式|A|中元素Aij的代数余子式，称为矩阵A

的伴随矩阵。设A

为n

阶矩阵，则有同理，A*A=|A|E。于是得到方阵A

与它的伴随矩阵A*之间的重要关系式。(2.3.2)定理2n

阶方阵A

可逆的充分必要条件是|A|≠0，且A

可逆时，有(2.3.3)其中，A*为A

的伴随矩阵。证必要性：因为A

可逆，于是A-1存在，且这样|A||A-1|=|E|，因此|A|≠0。充分性：当|A|≠0时，由式(2.3.2)得：于是矩阵A

可逆，且例1设，求A-1。解故A

可逆。又则所以推论设A

与B

都是n

阶方阵，若AB=E，则A，B

都可逆，并且A-1=B，B-1=A证因为AB=E，所以|AB|=|E|=1，从而|A|≠0，|B|≠0.因此A，B

都可逆。由定理2可知，A-1，B-1存在。在AB=E

两端左乘A-1，得A-1=B.同理，B-1=A。例2设方阵A

满足AX=A+X，证明A–E

可逆，并求其逆。证由得即则所以A–E

可逆，且下面给出可逆矩阵的一些性质性质1若A

可逆，则A-1可逆，且(A-1)-1=A。证

因为AA-1=E，由定理2的推论可知A-1可逆，并且(A-1)-1=A.性质1若n

阶矩阵A，B

都可逆，则AB可逆，且(AB)-1=B-1A-1证

因为A，B

都可逆，所以A-1，B-1都存在。又因由定理2的推论可知，AB

可逆，并且(AB)-1=B-1A-1性质2可以推广到多个可逆矩阵的情形：设A1，A2，…，Am

均为n阶可逆矩阵，则A1A2…Am

也可逆，并且性质3若A

可逆，则|A-1|=|A|-1证因为AA-1=E，所以|A||A-1|=1.于是|A-1|=|A|-1。性质4若A

可逆，则(AT)-1=(A-1)证因为AT(A-1)T=(A-1A)T=ET=E，由定理2的推论可知，AT

可逆，并且(AT)-1=(A-1)T。性质5性质6性质7若A可逆，数k≠0，则若A

可逆，且AB=O，则B=O若A可逆，且AB=AC，则B=C例3设A

为n

阶可逆矩阵，证明A

的伴随矩阵A*可逆，且证因为矩阵A

可逆，且，所以又因为|A|≠0，A-1可逆，故A*可逆，且利用矩阵的逆，可以给出第1章中克莱姆法则的另一种证法。由矩阵乘法，非齐次线性方程组(1.6.1)可写为(2.3.4)其中为线性方程组的系数矩阵，当|A|=D≠0时，矩阵A

可逆，用A-1左乘式(2.3.4)两边，得(2.3.5)即这样就得到方程组(1.6.1)的解，并且是唯一解。还可以把上面的方法推广到一般形式的矩阵方程:其中，A，B

均为可逆矩阵，则上述矩阵方程分别有唯一解例4解线性方程组解方程组的矩阵形式为AX=b，其中由于故A

可逆，应用式(2.3.5)，有于是方程组的解为x=0，y=–1，z=3例5解矩阵方程2X=AX+B，其中解由得因为所以矩阵2E–A

可逆。由式(2.3.5)，有2.3.2正交矩阵定义3设A

为实数域R上的方阵，如果它满足AAT=ATA=E，则称A

为正交矩阵。例如定理3实数域R上的方阵A

为正交矩阵的充分必要条件是A-1=AT正交矩阵的性质(1)若A

为正交矩阵，则|A|=1或|A|=–1;(2)正交矩阵的逆矩阵及转置矩阵仍为正交矩阵;(3)若A，B

是同阶正交矩阵，则AB

也是正交矩阵;(4)正交矩阵的每行(列)元素的平方和等于1，不同两行(列)的对应元素乘积之和等于0.证这里仅证性质(3)和(4)。(3)由于A，B

是正交矩阵，所以AAT=E，BBT=E，从而即AB

为正交矩阵。(4)设A=(aij)n

为正交矩阵，则根据矩阵乘法与矩阵相等的定义，有同理可证性质(4)成立。例6设A

为正交矩阵，B

为与A

同阶的对称矩阵，且(A–B)2=E。化简：解由于所以A-B

可逆，且于是2.4分块矩阵分块矩阵的概念1分块矩阵的运算2分块对角矩阵32.4.1分块矩阵的概念定义1用若干条横线与若干条纵线将矩阵分成若干小块，每个小块称为矩阵的子块;以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。例如按下述分法分块令则矩阵是矩阵A

的分块矩阵。若将A

按如下分法分块令则矩阵也是矩阵A

的分块矩阵。2.4.2分块矩阵的运算

1.分块矩阵的数乘将m×n

矩阵A

分成r×s的分块矩阵若λ

为实数，则2.分块矩阵的加法将m×n

矩阵A

与B

按相同的分块法分别分成r×s的分块矩阵则

3.分块矩阵的乘法设A

为m×l矩阵，B

为l×n

矩阵，按A

的列的分法与B

的行的分法相同的分块法把A与B

分成则AB=C=(Cij)r×s，其中例1设试利用分块矩阵的乘法计算AB。解把矩阵A

与B

分别分成则在利用分块矩阵的乘法讨论AB

时，下面的特殊情形值得注意。设A

为m×l矩阵，B

为l×n

矩阵，将右矩阵B

按列分块:则若AB=O，则，从而即是矩阵方程的解，也就是说B

的列是的解。4.分块矩阵的转置将m×n

矩阵A

分成r×s的分块矩阵则A

的转置矩阵2.4.3分块对角矩阵定义2形如的分块矩阵称为分块对角矩阵(或准对角矩阵)，简记为其中，Ai(i=1，2，…，r)为方阵。例如:是分块对角矩阵，其中分块对角矩阵具有类似于对角矩阵的运算性质:设n

阶矩阵A

与B

采用相同的分块法，分别得到分块矩阵则有下述性质:性质1，性质2性质3性质4性质5性质6k为正整数若均可逆，则其中λ为实数例2设求A-1。解对A

进行分块因为所以例3设用分块矩阵计算AB。解将矩阵A，B

作如下分块则因为所以例4设，

且m阶矩阵B

和n

阶矩阵C

均可逆，试证明分块矩阵A

可逆，并求A-1

证将|A|中的第n+1列与第1列至第n

列逐列交换到第1列，再将第n+2列与第2列至第n+1列逐列交换到第2列，……，最后将第n+m

列与第m

列至第n+m-1列逐列交换到第m列，共进行了mn次列交换，有所以A

可逆。设由得由B，C

可逆，解得则由例4可得，当Ai(i=1，2，…，r)均可逆时，有2.5矩阵的初等变换与初等矩阵1矩阵的初等变换与矩阵的等价2初等矩阵3求可逆矩阵逆矩阵的初等变换法2.5.1矩阵的初等变换与矩阵的等价1.矩阵的初等变换与矩阵等价的概念定义1对矩阵的以下三类变换称为矩阵的初等行(或列)变换:(1)交换矩阵的两行(或列);(2)矩阵的某一行(或列)乘不为零的数k;(3)将矩阵的某一行(或列)乘数k

加到另一行(或列)上去。定义1若矩阵A

经过有限次初等行变换变成矩阵B，则称矩阵A

与B

行等价，记作例如，若则A→B。矩阵的等价具有以下性质:性质1反身性:A→A性质2对称性:如果A→B，那么B→A性质3传递性:如果A→B，B→C，那么A→C2.矩阵的行阶梯形与矩阵的行最简形定义3若矩阵A

的非零行的第一个非零元素的列标随着行标的增加而严格增加，则称矩阵A

为行阶梯形矩阵.若矩阵A

是行阶梯形矩阵，且其非零行的第一个非零元素为1，而该元素所在列的其他元素全为0，则称矩阵A

为行最简形矩阵。例1试问下列矩阵哪些是行阶梯形矩阵，哪些是行最简形矩阵?解根据定义3知，矩阵A，B，C

为行阶梯形矩阵，矩阵A，B

为行最简形矩阵。矩阵D

不是行阶梯形矩阵。定理1任意矩阵经过有限次初等行变换可以变成行阶梯形矩阵和行最简形。例2设矩阵对A

作行初等变换，化A

为行阶梯形矩阵。解B

为行阶梯形矩阵。对B

继续施以行初等变换，得则矩阵R

为行最简形矩。若对R

使用初等列变换，有定义4形如的矩阵称为标准形矩阵，其中Er

是r

阶单位矩阵。由例2有下述定理：定理2

任意矩阵经过有限次初等变换都可以变成标准形矩阵。2.5.2初等矩阵由单位矩阵经过一次初等变换所得到的方阵，称为初等矩阵。定义5由三类初等变换，可得到如下三类初等矩阵。(1)交换矩阵E(i，j):交换单位矩阵的第i行(列)与第j

行(列)所得到的方阵。rirjcicirirjcici显然，|E(i，j)|=-1，则E(i，j)可逆，且E-1(i，j)=E(i，j)。可以证明:(2)倍乘矩阵E(i(k)):矩阵的第i行(或列)乘不为零的数k

所得到的方阵。ricirici显然，|E(i，j)|=k，则E(i(k))可逆，且可以证明:(3)倍加矩阵E(i，j(k)):将矩阵的第j

行(或第i列)乘数k加到第i

行(或第j

列)上去所得到的方阵。rirjcicirirjcici显然，|E(i，j(k))|=1，则E(i，j(k))可逆，且E-1(i，j(k))=E(i，j(-k)).可以证明:由以上讨论，有下述定理：(1)初等矩阵都可逆，且其逆矩阵为同类的初等矩阵定理3(2)设A

为m×n

矩阵，对A

作一次初等行变换，相当于在A

的左边乘一个相应的m

阶初等矩阵;对A

作一次初等列变换，相当于在A

的右边乘一个相应的n阶初等矩阵定理4

n阶矩阵A

可逆的充分必要条件是A

可表示成有限个初等矩阵的乘积，即A=P1P2…Ps，其中，Pi(i=1，2，…，s)为初等矩阵。证

先证充分性。设A=P1P2…Ps，因初等矩阵可逆，有限个可逆矩阵的乘积仍可逆，故A

可逆。

再证必要性。设n阶方阵A

可逆，且A的标准形矩阵为F，由F→A

知，F

经有限次初等变换可化为A，即有初等矩阵P1，P2，…，Ps，使因为A可逆，P1，…，Ps

也都可逆，故标准形矩阵F

可逆。假设中的r<n，则|F|=0，与F

可逆矛盾，因此必有r=n，即F=E，从而2.5.3求可逆矩阵逆矩阵的初等变换法设n

阶矩阵A

可逆。由分块矩阵的乘法，有又由于A-1可逆，由定理4得，存在s个n

阶初等矩阵P1，P2，…，Ps，使得则由定理3，得(2.5.1)设A

为n

阶可逆矩阵，由式(2.5.1)得到利用初等行变换求逆矩阵的方法，其步骤如下:(1)写出n×2n

矩阵(A┊En);(2)利用初等行变换将(A┊En)变成行最简形(3)写出A

的逆矩阵A-1例3设求A-1。解因所以对于矩阵方程AX=B，如果A

可逆，则X=A-1B，有所以可得利用初等行变换求解矩阵方程AX=B

的方法例4设求矩阵X，使AX=B。解因为所以A

可逆。所以!本例用初等行变换求解方程AX=B。对矩阵方程XA=B

来说，若A

可逆，则X=BA-1。与上述类似，为求BA-1，只需对作初等列变换，在把A

化为E

的同时，将B

化成BA-1。或者，为解矩阵方程XA=B，可先解矩阵方程ATXT=BT。对矩阵作行变换得即2.6矩阵的秩矩阵秩的概念矩阵秩的计算矩阵秩的性质1232.6.1矩阵秩的概念定义1在m×n

矩阵A

中，任意选取k

行k

列(k≤min{m，n})交叉处的k2

个元素，不改变它们在A

中原来的顺序所构成的k阶行列式称为矩阵A的k

阶子式。根据组合的知识，m×n

矩阵A

共有个k

阶子式。定义2若矩阵A

中存在一个r

阶子式Dr

不等于零，而所有的r+1阶子式(如果存在的话)全等于零，则不等于零的r

阶子式Dr

称为矩阵A

的最高阶非零子式。定义3矩阵A

的最高阶非零子式的阶数称为矩阵A

的秩，记为R(A)。例1求矩阵的秩。解A

的左上角的二阶子式，因此R(A)≥2。A

的三阶子式共有4个，且所以R(A)=2。2.6.2矩阵秩的计算定理1初等变换不改变矩阵的秩.由定理1，可得求矩阵A

的秩R(A)的方法:则R(A)=R(B)=行阶梯形矩阵B

的非零行的行数。例2求矩阵的秩。解由于所以R(A)=3。例3设矩阵，试问λ

为何值时，R(A)=1，R(A)=2，R(A)=