2026年山东高二数学期末试题含答案

2026年山东高二数学期末试题含答案本试卷满分150分，考试用时120分钟。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。已知空间两点A(1,2,-1)，B(2,1,3)，则线段AB的中点到坐标原点的距离为（）A.√22/2B.√26/2C.3D.√11已知等差数列{aₙ}中，a₃+a₇=12，则该数列前9项和S₉的值为（）A.36B.48C.54D.72(2x-1/√x)⁶的展开式中的常数项为（）A.-60B.60C.-240D.240已知双曲线C:x²/m-y²/(m+3)=1（m>0）的离心率为2，则实数m的值为（）A.1B.3/2C.2D.3已知随机变量X服从二项分布B(n,p)，若E(X)=3，D(X)=2，则p的值为（）A.1/3B.2/3C.1/2D.3/4在正四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，边长为2，侧棱PA=2，则侧棱PA与底面ABCD所成角的大小为（）A.30°B.45°C.60°D.90°已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=xlnx，则曲线y=f(x)在x=-e处的切线方程为（）A.2x-y+e=0B.2x+y+e=0C.2x-y-3e=0D.2x+y-e=0已知a=e^0.05-1，b=ln1.05，c=√1.1-1，则a,b,c的大小关系为（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。下列关于空间向量的说法正确的有（）A.若两个非零向量a,b满足a=kb（k∈R），则a与b共线B.若向量AB与CD是共线向量，则A,B,C,D四点一定共线C.空间中三个向量a,b,c，若a//b，b//c，则一定有a//cD.若直线l的方向向量为u=(1,0,-1)，平面α的法向量为v=(2,0,-2)，则l⊥α下列关于概率统计的说法正确的有（）A.若随机变量X服从正态分布N(2,σ²)，且P(X≤4)=0.8，则P(X≤0)=0.2B.若两个变量的线性相关系数为r，则|r|越接近1，两个变量的线性相关程度越强

C.已知经验回归直线方程为ŷ=1.2x+0.6，当解释变量x每增加1个单位时，响应变量ŷ平均增加1.2个单位D.根据分类变量X与Y的样本数据计算得到的χ²统计量值越大，判断“X与Y有关系”的犯错误概率越大已知等比数列{aₙ}的公比为q，前n项和为Sₙ，下列命题正确的有（）A.若q>1，则数列{aₙ}是递增数列B.若0<q<1且a₁>0，则数列{aₙ}是递减数列C.若a₁>0，q>0，则对任意正整数n，都有Sₙ·Sₙ₊₂<Sₙ₊₁²D.若等比数列{aₙ}是递增数列，则公比q>1已知抛物线C:y²=4x的焦点为F，准线为l，过F的直线与C交于A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)两点，下列说法正确的有（）A.x₁x₂=1B.以线段AB为直径的圆与准线l相切C.若点P坐标为(2,1)，则|PA|+|AF|的最小值为3

D.过点P(2,0)作斜率为k(k≠0)的直线与C交于M,N两点，若Q(-2,0)，则QM⊥QN三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。从3名男生和4名女生中选3人参加社区志愿服务，要求所选3人中男生和女生都有，则不同的选法种数为____（用数字作答）。已知直线l:x+y-2=0与圆C:x²+y²=4交于A,B两点，则弦AB的长度为____。已知函数f(x)=x³-3ax²+3x+1在区间(2,3)上存在极值点，则实数a的取值范围是____。在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，将△ABD沿对角线BD折起，使得二面角A-BD-C的平面角为120°，则折起后所得三棱锥A-BCD的外接球的表面积为____。四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）已知等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，a₂=3，S₄=14，等比数列{bₙ}满足b₂=a₃，b₃=a₇。（1）求数列{aₙ},{bₙ}的通项公式；（2）若cₙ=aₙ·bₙ，求数列{cₙ}的前n项和Tₙ。18.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，AD=1，点E是棱PB的中点。（1）求证：AE⊥平面PBC；（2）求平面AEC与平面PCD的夹角的余弦值。19.（12分）某学校为调查高二年级学生每天体育锻炼的时间，随机抽取了100名学生进行统计，规定每天锻炼时间超过1小时的学生为“运动达人”，不超过1小时的为“非运动达人”，整理数据得到如下不完整的列联表：运动达人非运动达人合计男生40女生30合计100已知从这100名学生中随机抽取1人，抽到“运动达人”的概率为0.6。（1）完成上述列联表，依据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为“是否为运动达人与性别有关”？附：χ²=n(ad-bc)²/[(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]，α=0.01对应的临界值为6.635。（2）现从抽取的“运动达人”中按性别用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加市级体育竞赛，记抽取的3人中女生人数为X，求X的分布列和数学期望。20.（12分）已知椭圆C:x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）的离心率为√3/2，左、右焦点分别为F₁,F₂，点A为椭圆上一点，AF₁⊥F₁F₂，且△AF₁F₂的面积为√3/2。（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l:y=kx+2与椭圆C交于不同的两点M,N，点B坐标为(2,0)，若∠MBN为锐角，求实数k的取值范围。21.（12分）已知函数f(x)=e^x-ax-1（a∈R）。（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若f(x)≥0对任意x∈R恒成立，求实数a的值；（3）在（2）的条件下，求证：当x>0时，e^x>x²+1。22.（12分）已知函数f(x)=lnx-a(x-1)/(x+1)，a∈R。（1）若函数f(x)在x=1处的切线斜率为1/2，求a的值；（2）若函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，求a的取值范围；（3）当a=1时，证明：f(x)>0在(1,+∞)上恒成立，并判断方程2lnx=x-1/x在(0,+∞)上的实根个数，说明理由。参考答案一、单项选择题1.A2.C3.B4.B5.A6.B7.B8.B二、多项选择题9.AD10.ABC11.BC12.ABC三、填空题3014.2√215.(5/4,5/3)16.28π/3四、解答题解：（1）设等差数列{aₙ}的公差为d，由题意得：a

解得a1=2，d=1，因此an=2+(n−1)×1=nT

2

①-②得：−

因此Tn=n⋅（1）证明：向量AE=(1,0,1)，PB=（2）设平面AEC的法向量为n1=(xn

令x1=1，得z1=−1，y1=−2，即n

令z2=1，得y2=2，x2=0，即n2=(0,2,1)。

两个平面夹角的余弦值为|n1⋅n2||n1||nχ

因此依据小概率值α=0.01的独立性检验，有充分证据认为“是否为运动达人与性别有关”，该推断犯错误的概率不超过0.01。（2）运动达人中男、女生人数比为40:20=2:1，分层抽样抽取6人，其中男生4人、女生2人。X的可能取值为0,1,2：P

X的分布列为：X012P1/53/51/5数学期望E(X)=0×15+1×35+2×15=1。

20.解：（1）由离心率e=ca=32，得y

整理得(14+k2)x2+4kx+3=0，由直线与椭圆交于两点，得判别式Δ=16k2−4B

即3k2+8k+5>0，解得k>−1或k<−53。

当直线过B(2,0)时，0=2当a>0时，f(x)在x=lna处取得最小值f(lna)=a令h(x)=e^x-x²-1（x>0），则h’(x)=e^x-2x，令φ(x)=e^x-2x，φ’(x)=e^x-2，当x∈(0,ln2)时φ’(x)<0，φ(x)单调递减；当x∈(ln2,+∞)时φ’(x)>0，φ(x)单调递增。故φ(x)≥φ(ln2)=2-2