2027届江苏省苏州昆山、太仓市数学九年级第一学期期末达标检测试题含解析

2027届江苏省苏州昆山、太仓市数学九年级第一学期期末达标检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，将△ABC沿DE折叠，使点C落在△ABC边上C’处，并且C'D//BC，则CD的长是（）A． B． C． D．2．关于反比例函数，下列说法正确的是（）A．函数图像经过点（2，2）； B．函数图像位于第一、三象限；C．当时，函数值随着的增大而增大； D．当时，．3．反比例函数y=在每个象限内的函数值y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＜0 B．m＞0 C．m＞﹣1 D．m＜﹣14．以半径为2的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则（）A．不能构成三角形 B．这个三角形是等腰三角形C．这个三角形是直角三角形 D．这个三角形是钝角三角形5．一元二次方程x2－8x－1＝0配方后可变形为（）A．（x＋4）2＝17 B．（x＋4）2＝15 C．（x－4）2＝17 D．（x－4）2＝156．如图，△ABC中，D为AC中点，AF∥DE，S△ABF：S梯形AFED=1：3，则S△ABF：S△CDE=（）A．1：2 B．2：3 C．3：4 D．1：17．在单词mathematics(数学)中任意选择一个字母，字母为“m”的概率为（）A． B． C． D．8．已知P是△ABC的重心，且PE∥BC交AB于点E，BC＝，则PE的长为（）.A． B． C． D．9．把两条宽度都为的纸条交叉重叠放在一起，且它们的交角为，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为（）．A． B．C． D．10．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（）A．∠AED=∠B B．∠ADE=∠C C． D．11．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：112．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，∠ADC=30°．①四边形ACED是平行四边形；②△BCE是等腰三角形；③四边形ACEB的周长是；④四边形ACEB的面积是1．则以上结论正确的是（）A．①② B．②④ C．①②③ D．①③④二、填空题（每题4分，共24分）13．圆内接正六边形的边长为6，则该正六边形的边心距为_____．14．如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FK1K2K3K4K5K6K7…叫做“正六边形的渐开线”，其中弧FK1、弧K1K2、弧K2K3、弧K3K4、弧K4K5、弧K5K6、…的圆心依次按点A、B、C、D、E、F循环，其弧长分别为l1、l2、l3、l4、l5、l6、…．当AB＝1时，l3=________，l2019＝_________．15．如图，点为等边三角形的外心，连接.①___________.②弧以为圆心，为半径，则图中阴影部分的面积等于__________．16．从甲、乙、丙、丁4名三好学生中随机抽取2名学生担任升旗手，则抽取的2名学生是甲和乙的概率为

________．17．如图，平行四边形的顶点在轴正半轴上，平行于轴，直线交轴于点，，连接，反比例函数的图象经过点．已知，则的值是________．18．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠OAB的正弦值是_____．三、解答题（共78分）19．（8分）已知抛物线与轴交于点．(1)求点的坐标和该抛物线的顶点坐标；(2)若该抛物线与轴交于两点，求的面积；(3)将该抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，求平移后的抛物线的解析式（直接写出结果即可）．20．（8分）抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点C，连接BC．（1）如图1，求直线BC的表达式；（2）如图1，点P是抛物线上位于第一象限内的一点，连接PC，PB，当△PCB面积最大时，一动点Q从点P从出发，沿适当路径运动到轴上的某个点G处，再沿适当路径运动到轴上的某个点H处，最后到达线段BC的中点F处停止，求当△PCB面积最大时，点P的坐标及点Q在整个运动过程中经过的最短路径的长；（3）如图2，在（2）的条件下，当△PCB面积最大时，把抛物线向右平移使它的图象经过点P，得到新抛物线，在新抛物线上，是否存在点E，使△ECB的面积等于△PCB的面积．若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．21．（8分）元旦游园活动中，小文，小美，小红三位同学正在搬各自的椅子准备进行“抢凳子”游戏，看见李老师来了，小文立即邀请李老师参加，游戏规则如下：将三位同学的椅子背靠背放在教室中央，四人围着椅子绕圈行走，在行走过程中裁判员随机喊停，听到“停”后四人迅速抢坐在一张椅子上，没有抢坐到椅子的人淘汰，不能进入下一轮游戏.（1）下列事件是必然事件的是.A．李老师被淘汰B．小文抢坐到自己带来的椅子C．小红抢坐到小亮带来的椅子D．有两位同学可以进入下一轮游戏（2）如果李老师没有抢坐到任何一张椅子，三位同学都抢坐到了椅子但都没有抢坐到自己带来的椅子（记为事件），求出事件的概率，请用树状图法或列表法加以说明.22．（10分）如图，抛物线过原点，且与轴交于点．（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；（2）已知为抛物线上一点，连接，，，求的值；（3）在第一象限的抛物线上是否存在一点，过点作轴于点，使以，，三点为顶点的三角形与相似，若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．23．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，记∠ABC＝α，点D为射线BC上的动点，连接AD，将射线DA绕点D顺时针旋转α角后得到射线DE，过点A作AD的垂线，与射线DE交于点P，点B关于点D的对称点为Q，连接PQ．（1）当△ABD为等边三角形时，①依题意补全图1；②PQ的长为；（2）如图2，当α＝45°，且BD＝时，求证：PD＝PQ；（3）设BC＝t，当PD＝PQ时，直接写出BD的长．（用含t的代数式表示）24．（10分）如图，已知三个顶点的坐标分别为，在给出的平面直角坐标系中；（1）画出绕点顺时针旋转后得到的；并直接写出，的坐标；（2）计算线段旋转到位置时扫过的图形面积.25．（12分）如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个码头，A在B的正东方向，一艘小船从A码头沿它的北偏西60°的方向行驶了20海里到达点P处，此时从B码头测得小船在它的北偏东45°的方向．求此时小船到B码头的距离（即BP的长）和A、B两个码头间的距离（结果都保留根号）．26．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，连接OE.过点C作CF//BD交OE的延长线于点F，连接DF.求证：（1）△ODE≌△FCE;（2）四边形OCFD是矩形．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、A【分析】先由求出AC，再利用平行条件得△AC'D∽△ABC，则对应边成比例，又CD=C′D，那么就可求出CD.【详解】∵∠B=90°，AB=6，BC=8，∴AC==10，∵将△ABC沿DE折叠，使点C落在AB边上的C'处，∴CD=C'D，∵C'D∥BC，∴△AC'D∽△ABC，∴，即，∴CD=，故选A.本题考查了翻折变换(折叠问题)，相似三角形的判定与性质，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.2、C【解析】直接利用反比例函数的性质分别分析得出答案．【详解】A、关于反比例函数y=-，函数图象经过点（2，-2），故此选项错误；B、关于反比例函数y=-，函数图象位于第二、四象限，故此选项错误；C、关于反比例函数y=-，当x＞0时，函数值y随着x的增大而增大，故此选项正确；D、关于反比例函数y=-，当x＞1时，y＞-4，故此选项错误；故选C．此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握相关函数的性质是解题关键．3、D【解析】∵在每个象限内的函数值y随x的增大而增大，∴m＋1＜0，∴m＜－1．4、C【分析】由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，问题得解．【详解】解：如图1，∵OC＝2，∴OD＝2×sin30°＝1；如图2，∵OB＝2，∴OE＝2×sin45°＝；如图3，∵OA＝2，∴OD＝2×cos30°＝，则该三角形的三边分别为：1，，，∵12＋（）2＝（）2，∴该三角形是直角三角形，故选：C．本题主要考查多边形与圆，解答此题要明确：多边形的半径、边心距、中心角等概念，根据解直角三角形的知识解答是解题的关键．5、C【分析】常数项移到方程的右边，再在两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得．【详解】解：∵，∴，即，故选：C．本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解方程的步骤和完全平方公式是解题的关键．6、D【分析】本题考查了平行四边形性质，相似三角形的性质和判定的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方．【详解】△ABC中，∵AF∥DE，∴△CDE∽△CAF，∵D为AC中点，∴CD：CA=1：2，∴S△CDE：S△CAF=（CD：CA）2=1：4，∴S△CDE：S梯形AFED=1：3，又∵S△ABF：S梯形AFED=1：3，∴S△ABF：S△CDE=1：1．故选D．本题考查了中点的定义，相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质得出S△CDE：S△CAF=1：4是解题的关键．7、B【分析】根据概率公式进行计算即可．【详解】在单词“mathematics”中，共11个字母，其中有2个字母“m”，故从中任意选择一个字母，这个字母为“m”的概率是．故选：B．本题考查概率的计算，熟记概率公式是解题关键．8、A【分析】如图，连接AP，延长AP交BC于D，根据重心的性质可得点D为BC中点，AP=2PD，由PE//BC可得△AEP∽△ABD，根据相似三角形的性质即可求出PE的长.【详解】如图，连接AP，延长AP交BC于D，∵点P为△ABC的重心，BC=，∴BD=BC=，AP=2PD，∴，∵PE//BC，∴△AEP∽△ABD，∴，∴PE===.故选：A.本题考查三角形重心的性质及相似三角形的判定与性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1；正确作出辅助线，构造相似三角形是解题关键．9、A【分析】如图，过A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，垂足为E，F，证明△ABE≌△ADF，从而证明四边形ABCD是菱形，再利用三角函数算出BC的长，最后根据菱形的面积公式算出重叠部分的面积即可．【详解】解：如图所示：过A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，垂足为E，F，

∴∠AEB=∠AFD=90°，

∵AD∥CB，AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵纸条宽度都为1，

∴AE=AF=1，

在△ABE和△ADF中，

∴△ABE≌△ADF（AAS），

∴AB=AD，

∴四边形ABCD是菱形．

∴BC=AB，

∵=sinα，

∴BC=AB=，

∴重叠部分（图中阴影部分）的面积为：BC×AE=1×=．

故选：A．本题考查菱形的判定与性质，以及三角函数的应用，关键是证明四边形ABCD是菱形，利用三角函数求出BC的长．10、D【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．根据此，分别进行判断即可．【详解】解：由题意得∠DAE=∠CAB，A、当∠AED=∠B时，△ABC∽△AED，故本选项不符合题意；B、当∠ADE=∠C时，△ABC∽△AED，故本选项不符合题意；C、当=时，△ABC∽△AED，故本选项不符合题意；D、当=时，不能推断△ABC∽△AED，故本选项符合题意；故选D．本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．11、B【分析】可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BFA，∵DE：EC=3：1，∴DE：DC=3：4，∴DE：AB=3：4，∴S△DFE：S△BFA=9：1．故选B．12、A【分析】①证明AC∥DE，再由条件CE∥AD，可证明四边形ACED是平行四边形；②根据线段的垂直平分线证明AE=EB，可得△BCE是等腰三角形；③首先利用含30°角的直角三角形计算出AD=4，CD=2，再算出AB长可得四边形ACEB的周长是10+2；④利用△ACB和△CBE的面积之和，可得四边形ACEB的面积．【详解】解：①∵∠ACB=90°，DE⊥BC，

∴∠ACD=∠CDE=90°，

∴AC∥DE，

∵CE∥AD，

∴四边形ACED是平行四边形，故①正确；

②∵D是BC的中点，DE⊥BC，

∴EC=EB，

∴△BCE是等腰三角形，故②正确；

③∵AC=2，∠ADC=30°，∴AD=4，CD=∵四边形ACED是平行四边形，

∴CE=AD=4，

∵CE=EB，

∴EB=4，DB=∴CB=∴AB=∴四边形ACEB的周长是10+，故③错误；④四边形ACEB的面积：，故④错误，故选：A．本题主要考查了平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法．等腰三角形的判定方法，属于中考常考题型．二、填空题（每题4分，共24分）13、3【分析】根据题意画出图形，利用等边三角形的性质及锐角三角函数的定义直接计算即可．【详解】如图所示，连接OB、OC，过O作OG⊥BC于G．∵此多边形是正六边形，∴△OBC是等边三角形，∴∠OBG=60°，∴边心距OG=OB•sin∠OBG=6(cm)．故答案为：．本题考查了正多边形与圆、锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，熟知正六边形的性质是解答本题的关键．14、π673π【分析】用弧长公式，分别计算出l1，l2，l3，…的长，寻找其中的规律，确定l2019的长．【详解】解：根据题意得：l1=，l2=，l3=，则l2019=.故答案为：π；673π.本题考查的是弧长的计算，先用公式计算，找出规律，则可求出ln的长．15、120【分析】①连接OC利用等边三角形的性质可得出，可得出的度数②阴影部分的面积即求扇形AOC的面积，利用面积公式求解即可.【详解】解：①连接OC，∵O为三角形的外心，∴OA=OB=OC∴∴∴.②∵∴∴阴影部分的面积即求扇形AOC的面积∵∴阴影部分的面积为：.本题考查的知识点有等边三角形外心的性质，全等三角形的判定及其性质以及扇形的面积公式，利用三角形外心的性质得出OA=OB=OC是解题的关键.16、​【分析】采用列举法求概率．【详解】解：随机抽取的所有可能情况为：甲乙；甲丙；甲丁；乙丙；乙丁；丙丁六种情况，则符合条件的只有一种情况，则P（抽取的2名学生是甲和乙）=1÷6=．故答案为：本题考查概率的计算，题目比较简单．17、1【分析】设D点坐标为（m，n），则AB＝CD＝m，由平行四边形的性质可得出∠BAC＝∠CEO，结合∠BCA＝∠COE＝90°，即可证出△ABC∽△ECO，根据相似三角形的性质可得出BC•EC＝AB•CO＝mn，再根据S△BCE＝3，即可求出k＝1，此题得解．【详解】解：设D点坐标为（m，n），则AB＝CD＝m，∵CD平行于x轴，AB∥CD，∴∠BAC＝∠CEO．∵BC⊥AC，∠COE＝90°，∴∠BCA＝∠COE＝90°，∴△ABC∽△ECO，∴AB:CE＝BC:CO，∴∴BC•EC＝AB•CO＝mn．∵反比例函数y＝kx（x＞0）的图象经过点D，∴k＝mn＝BC•EC＝2S△BCE＝1．故答案为：1．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，由△ABC∽△ECO得出k＝mn＝BC•EC是解题的关键．18、【解析】如图，过点O作OC⊥AB的延长线于点C，则AC=4，OC=2，在Rt△ACO中，AO=，∴sin∠OAB=．故答案为．三、解答题（共78分）19、（1）（0，5）；；（2）15；（3）【分析】(1)令x=0即可得出点C的纵坐标，从而得出点C的坐标；利用配方法将抛物线表达式进行变形即可得出顶点坐标(2)求出A，B两点的坐标，进而求出A与B的距离，由C点坐标可知OC的长，即可得出答案(3)根据平移的规律结合原抛物线表达式即可得出答案.【详解】解：（Ⅰ）当时，，故点，则抛物线的表达式为：，故顶点坐标为：；(2)令，解得：或，则，则；(3)∵∴平移后的抛物线表达式为：本题考查的知识点是二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，此题较为基础，易于掌握.20、（1）（2）点Q按照要求经过的最短路径长为（3）存在，满足条件的点E有三个，即（，），（，）,（，）【分析】（1）先求出点，，的坐标，利用待定系数法即可得出结论；（2）先确定出，再利用三角形的面积公式得出，即可得出结论；（3）先确定出平移后的抛物线解析式，进而求出，在判断出建立方程即可得出结论．【详解】解：（1）令，得，∴，．∴A（，0），B（，0）．令，得．∴C(0,3)．设直线BC的函数表达式为，把B（，0）代入，得．解得，．所以直线BC的函数表达式为．（2）过P作PD⊥轴交直线BC于M．∵直线BC表达式为，设点M的坐标为，则点P的坐标为．则．∴．∴此时，点P坐标为（，）．根据题意，要求的线段PG+GH+HF的最小值，只需要把这三条线段“搬”在一直线上．如图1，作点P关于轴的对称点，作点F关于轴的对称点，连接，交轴于点G,交轴于点H．根据轴对称性可得，．此时PG+GH+HF的最小值=．∵点P坐标为（，），∴点的坐标为（，）．∵点F是线段BC的中点，∴点F的坐标为（，）．∴点的坐标为（，）．∵点，P两点的横坐相同，∴⊥轴．∵，P两点关于轴对称，∴⊥轴．∴．∴．即点Q按照要求经过的最短路径长为．（3）如图2，在抛物线中，令，，或，由平移知，抛物线向右平移到，则平移了个单位，，设点，过点作轴交于，直线的解析式为，，的面积等于的面积，，由（2）知，，，，或或或（舍，，或，或，．综上所述，满足条件的点E有三个，即（，），（，）,（，）．此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，利用轴对称确定最短路径，平移的性质，解绝对值方程，解本题的关键是确定出和．21、（1）D；（2）图见解析，【分析】（1）根据随机事件、必然事件和不可能事件的定义求解可得；（2）根据题意画出树状图列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．【详解】解：（1）、王老师被淘汰是随机事件；、小明抢坐到自己带来的椅子是随机事件；、小红抢坐到小亮带来的椅子是随机事件；、共有3张椅子，四人中只有1位老师，所以一定有2位同学能进入下一轮游戏；故是必然事件.故选：；（2）解：设小文，小美，小红三位同学带来的椅子依次排列为a、b、c，画树状图如下由树状图可知，所有等可能结果共有6种，其中第4种、第5种结果符合题意，∴P（A）＝.此题考查了概率和用树状图法与列表法求概率．树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．22、（1）抛物线的解析式为；顶点的坐标为；（2）3；（3）点的坐标为或．【分析】（1）用待定系数法即可求出抛物线的解析式，进而即可求出顶点坐标；（2）先将点C的横坐标代入抛物线的解析式中求出纵坐标，根据B,C的坐标得出，，从而有，最后利用求解即可；（3）设为．由于，所以当以，，三点为顶点的三角形与相似时，分两种情况：或，分别建立方程计算即可．【详解】解：（1）∵抛物线过原点，且与轴交于点，∴，解得．∴抛物线的解析式为．∵，∴顶点的坐标为．（2）∵在抛物线上，∴．作轴于，作轴于，则，，∴，．∴．∵，．∴．（3）假设存在．设点的横坐标为，则为．由于，所以当以，，三点为顶点的三角形与相似时，有或∴或．解得或．∴存在点，使以，，三点为顶点的三角形与相似．∴点的坐标为或．本题主要考查二次函数与几何综合，掌握二次函数的图象和性质，相似三角形的性质是解题的关键．23、（1）①详见解析；②1；（1）详见解析；（3）BD＝．【分析】（1）①根据题意画出图形即可．②解直角三角形求出PA，再利用全等三角形的性质证明PQ＝PA即可．（1）作PF⊥BQ于F，AH⊥PF于H．通过计算证明DF＝FQ即可解决问题．（3）如图3中，作PF⊥BQ于F，AH⊥PF于H．设BD＝x，则CD＝x﹣t，，利用相似三角形的性质构建方程求解即可解决问题．【详解】（1）解：①补全图形如图所示：②∵△ABD是等边三角形，AC⊥BD，AC＝1∴∠ADC＝60°，∠ACD＝90°∴∵∠ADP＝∠ADB＝60°，∠PAD＝90°∴PA＝AD•tan60°＝1∵∠ADP＝∠PDQ＝60°，DP＝DP．DA＝DB＝DQ∴△PDA≌△PDQ（SAS）∴PQ＝PA＝1．（1）作PF⊥BQ于F，AH⊥PF于H，如图：∵PA⊥AD，∴∠PAD＝90°由题意可知∠ADP＝45°∴∠APD＝90°﹣45°＝45°＝∠ADP∴PA＝PD∵∠ACB＝90°∴∠ACD＝90°∵AH⊥PF，PF⊥BQ∴∠AHF＝∠HFC＝∠ACF＝90°∴四边形ACFH是矩形∴∠C