2026年高考数学线性代数习题及答案

2026年高考数学线性代数习题及答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知向量a=(1,2)A.1B.2C.3D.4答案：B解析：由向量平行得1×4=2.已知向量a，b满足|a|=2，|A.−B.1C.5D.7答案：B解析：(a3.已知向量a=(2,−1)A.−B.1C.−D.1答案：A解析：a⋅b=2×4.在△ABC中，D为BC边中点，A.O在AD上且B.O在AD上且C.O是△AD.O是AD答案：D解析：由D为BC中点得OB+OC=2OD5.已知向量a=(1,m)A.4B.6C.8D.10答案：C解析：a+b=(46.已知非零向量a，b满足|a|=2|b|A.30B.60C.120D.150答案：B解析：由(a−b)⋅b=0，得7.已知A(1,2)，A.−B.1C.3D.−答案：B解析：AB=(2,−38.在△ABC中，N是AC上一点，且AN=13A.1B.2C.3D.4答案：C解析：由AN=13NC得AN=1二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分）1.已知向量a=(2A.aB.|C.aD.(答案：ABD解析：a⋅b=2−2=0，A正确；|a|=2.设e1A.e1+B.2e1C.e1+D.e1与答案：AD解析：B中后一向量是前一向量的−2倍，C中后一向量是前一向量的23.在空间直角坐标系中，已知A(1,0,A.|B.AC.△AD.平面ABC答案：ACD解析：AB=(−1,1,0)，|AB|=2三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）1.已知向量a=(3答案：3解析：|a|=2.已知向量a，b满足|a|=5，|b答案：4解析：|a+b3.在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，设AB答案：b解析：AE四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.（本小题满分13分）已知平面向量a=(1(1)求|2(2)当k为何值时，ka+b答案：(1)2a+b(2)ka+b=(k−3,2k解析：第(2)问通过坐标平行条件建立方程，再根据数量关系判断方向。2.（本小题满分15分）在△ABC中，D为BC上一点，且BD(1)用a,b表示(2)若|a|=3，|b答案：(1)AD(2)由题意a⋅$$|\vec{AD}|^2=\left(\frac{2}{3}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b}\right)^2

=\frac{4}{9}|\vec{a}|^2+\frac{4}{9}\vec{a}\cdot\vec{b}+\frac{1}{9}|\vec{b}|^2$$$$|\vec{AD}|^2=\frac{4}{9}\times9+\frac{4}{9}\times3+\frac{1}{9}\times4

=\frac{52}{9}$$因此|A解析：本题考查向量的三角形法则与数量积运算，先进行基底表示，再利用模长公式计算。3.（本小题满分15分）在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⟂平面ABCD，PA=(1)证明：BD(2)求直线PB与平面P答案：建立坐标系后：B(1)BD=(B所以BD(2)PB=(2,由PC=($$\begin{cases}

\vec{n}\cdot\vec{PC}=2x+2y-2z=0,\\

\vec{n}\cdot\vec{PD}=2y-2z=0.

\end{cases}$$取y=1，则z=1，设直线PB与平面PCD$$\sin\theta=\frac{|\vec{PB}\cdot\vec{n}|}{|\vec{PB}||\vec{n}|}

=\frac{|2\times0+0\times1+(-2)\times1|}{\sqrt{2^2+0^2+(-2)^2}\sqrt{0^2+1^2+1^2}}

=\frac{2}{2\sqrt{2}\times\sqrt{2}}

=\frac{1}{2}.$$所以直线PB与平面PCD解析：空间线面角通过直线的方向向量与平面法向量的夹角计算，注意线面角的正弦等于方向向量与法向量夹角余弦的绝对值。4.（本小题满分16分）在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点。以(1)求EA1与(2)求平面A1EC答案：由题意，各点坐标为：DD因为E为BB1中点，所以(1)EE(2)设平面A1EC由EA1=$$\begin{cases}

\vec{n}\cdot\vec{EA_1}=-2x+z=0,\\

\vec{n}\cdot\vec{EC}=-2y-z=0.

\end{cases}$$取x=1，则z=2，平面ABCD设平面A1EC与平面A$$\cos\theta=\frac{|\vec{m}\cdot\vec{n}|}{|\vec{m}||\vec{n}|}

=\frac{|0\times1+0\times(-1)+1\times2|}{1\times\sqrt{1^2+(-1)^2+2^2}}

=\frac{2}{\sqrt{6}}

=\frac{\sqrt{6}}{3}.$$所以平面A1EC与平面A解析：用空间向量求二面角时，先求两个平面的法向量，再用法向量夹角的余弦值表示二面角的大小。5.（本小题满分18分）已知向量a，b满足|a|=2，(1)求a与b的夹角θ；(2)若向量2a−b与a(3)设c=xa+yb，其中答案：(1)由|a7所以cosθ=1(2)由垂直得(展开得2由(1)知a⋅8化简得5−3k(3)设x=rcost，$$\begin{aligned}

|\vec{c}|^2&=|x\vec{a}+y\vec{b}|^2\\

&=x^2|\vec{a}|^2+2xy\vec{a}\cdot\vec{b}+y^2|\vec{b}|^2\\

&=4x^2+6xy+9y^2\\

&=r^2(4\cos^2t+9\sin^2t+6\sint\cost).

\end{aligned}$$又$$4\cos^2t+9\sin^2t+6\sint\cost

=\frac{13}{2}-\frac{5}{2}\cos2t+3\sin2t,$$其最大值为$$\frac{13}{2}+\sqrt{\le