2026 年高考数学概率统计大题试卷及答案

2026年高考数学概率统计大题试卷及答案第1页共1页2026年高考数学概率统计大题试卷及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）1.一个袋子里有5个红球和3个白球，从中随机抽取一个球，抽到红球的概率是A.1/8B.3/8C.5/8D.3/5参考答案：C2.某校高三年级有500名学生，为了解他们的视力情况，随机抽取了100名学生进行调查，发现其中有20名学生视力不良。下列说法正确的是A.500名学生中视力不良的学生一定有20名B.500名学生中视力不良的学生比例一定为20%C.通过调查结果可以估计500名学生中视力不良的学生比例D.调查结果不具有代表性参考答案：C3.已知事件A和事件B相互独立，P(A)=0.6，P(B)=0.7，则P(A∪B)等于A.0.42B.0.88C.1.02D.0.98参考答案：B4.某射手每次射击命中目标的概率为0.8，他连续射击3次，恰好命中2次的概率是A.0.128B.0.384C.0.512D.0.8参考答案：B5.一个盒子里有若干个只有颜色不同的球，如果从中随机抽取两个球，抽到两个球颜色相同的概率为1/6，则盒子里有多少个球？A.3B.4C.5D.6参考答案：D6.已知一组数据：3,5,7,x,9，其平均数为6，则x的值是A.3B.4C.5D.6参考答案：C7.某班级有30名学生，其中男生20名，女生10名。现要随机选出3名学生组成一个小组，则选出的小组中恰好有2名男生和1名女生的概率是A.1/3B.1/4C.1/5D.1/6参考答案：A8.已知随机变量X服从二项分布B(n,p)，且E(X)=6，D(X)=4，则n和p的值分别是A.n=9,p=2/3B.n=12,p=1/2C.n=15,p=2/5D.n=18,p=1/3参考答案：B9.某城市每天的平均空气质量指数（AQI）近似服从正态分布N(100,16)，则该城市空气质量指数超过120的概率是A.0.1587B.0.3413C.0.8413D.0.6826参考答案：A10.为了比较两种不同教学方法的效果，随机抽取了60名学生进行实验，其中30名学生采用方法A，30名学生采用方法B，经过一段时间后进行测试，发现采用方法A的学生平均成绩比采用方法B的学生平均成绩高5分。下列说法正确的是A.可以断定方法A比方法B好B.这种差异可能是由于随机因素造成的C.需要更多的数据才能判断两种方法的效果D.无法比较两种方法的效果参考答案：B二、填空题（共10小题，每题2分）1.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，则A∪{1}=______。参考答案：{1,2}2.函数f(x)=log_2(x+1)的图像关于直线x=1对称的函数解析式为f(x)=______。参考答案：f(x)=log_2(2-x)3.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，则角C=______。参考答案：75°4.已知向量a=(1,2)，向量b=(-2,1)，则向量a•b=______。参考答案：-35.某校高三年级有500名学生，随机抽取50名学生进行视力调查，则这50名学生中至少有3名学生视力正常的概率为______（结果用分数表示）。参考答案：15/1966.一个盒子里有5个红球和4个白球，从中随机取出3个球，则取出的3个球中至少有2个红球的概率为______。参考答案：5/127.已知一组数据：3,5,7,x,9，其平均数为6，则x=______。参考答案：98.在一次随机试验中，事件A发生的概率为0.6，事件B发生的概率为0.4，且事件A与事件B互斥，则事件A与事件B都不发生的概率为______。参考答案：0.249.已知直线l1:y=2x+1和直线l2:ax-y+3=0，若l1⊥l2，则a=______。参考答案：-210.一个袋中有6个大小相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中随机取出一个球，记事件M为“取出的球数字为偶数”，事件N为“取出的球数字大于3”，则P(M|N)=______。参考答案：1/3三、判断题（共10小题，每题2分）1.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，得到点数之和为7的概率是1/6。参考答案：√2.在一组数据中，中位数和众数一定不相等。参考答案：×3.如果事件A和事件B互斥，那么事件A和事件B的概率之和等于它们同时发生的概率。参考答案：×4.样本频率分布直方图中的每个矩形的面积表示相应组的频率。参考答案：√5.从一副标准的52张扑克牌中随机抽取一张，抽到红桃的概率是1/4。参考答案：√6.一个线性回归模型中，相关系数r的绝对值越接近1，模型的拟合效果越好。参考答案：√7.在独立性检验中，卡方统计量的值越大，说明两个分类变量之间关联性越强。参考答案：√8.如果一个随机变量服从二项分布B(n,p)，那么它的期望值是np。参考答案：√9.在正态分布中，大约68%的数据落在均值加减1个标准差的范围内。参考答案：√10.根据大数定律，当试验次数足够多时，事件发生的频率会稳定在事件发生的概率附近。参考答案：√四、简答题（共8小题，每题2分）1.简述样本频率分布直方图的主要作用。参考答案：样本频率分布直方图的主要作用包括：①直观地显示数据分布的形状，如对称性、偏态性等；②便于发现数据中的集中趋势和离散程度；③可以估计总体分布情况，为后续的统计推断提供依据。2.说明线性回归方程中，系数b的统计意义。参考答案：线性回归方程中，系数b的统计意义是回归系数，表示自变量X每增加一个单位时，因变量Y的期望值增加的数量。3.列举古典概型的两个基本特征。参考答案：古典概型的两个基本特征是：①试验的所有可能结果只有有限个；②每个结果出现的可能性相等。4.分析随机变量X服从二项分布B(n,p)时，其期望和方差的表达式及意义。参考答案：当随机变量X服从二项分布B(n,p)时，其期望E(X)=np，方差D(X)=np(1-p)。期望E(X)表示在n次独立重复试验中，事件A发生的平均次数；方差D(X)表示事件A发生次数的分散程度。5.解释超几何分布与二项分布的主要区别。参考答案：超几何分布与二项分布的主要区别在于：①超几何分布是在不放回抽样情况下计算的，而二项分布是在放回抽样情况下计算的；②超几何分布的期望和方差计算公式不同。6.简述总体、个体、样本、样本容量这几个统计概念的含义。参考答案：总体是指研究对象的全体，个体是总体中的每一个元素，样本是从总体中抽取的一部分个体，样本容量是样本中个体的数量。7.列举三种常见的抽样方法，并简述其特点。参考答案：三种常见的抽样方法包括：①简单随机抽样，特点是每个个体被抽中的概率相等；②系统抽样，特点是按照一定规则从总体中逐个抽取个体；③分层抽样，特点是先将总体分层，再从每层中随机抽取个体。8.说明在假设检验中，犯第一类错误和第二类错误的含义及区别。参考答案：在假设检验中，犯第一类错误的含义是拒绝了实际上正确的原假设，犯第二类错误的含义是接受了实际上错误的原假设。两者的区别在于拒绝原假设时可能犯的错误与接受原假设时可能犯的错误不同。五、应用题（共8小题，每题3分）1.某工厂生产一种产品，已知该产品的一级品率为0.8，二级品率为0.15，三级品率为0.05。现从中随机抽取3件产品，求至少有2件是一级品的概率。参考答案：0.8962.一个袋子里有5个红球，4个白球，3个黑球。从中随机摸出2个球，求摸到的两个球颜色不同的概率。参考答案：7/183.某射手每次射击命中目标的概率为0.7。他连续射击3次，求恰好命中2次的概率。参考答案：0.4414.一个班级有50名学生，其中男生30名，女生20名。现要随机选出3名学生组成一个小组，求小组中恰好有2名男生和1名女生的概率。参考答案：0.35.某公交线路共有10个站点，一位乘客随机乘坐该线路的公交车，求他上下车地点恰好相邻的概率。参考答案：1/96.一个盒子里有10个灯泡，其中8个是好的，2个是坏的。现从中随机抽取2个灯泡，求抽到的两个灯泡都是好的概率。参考答案：28/457.某学校组织了一次抽奖活动，共有100张奖券，其中一等奖1张，二等奖5张，三等奖10张。现随机抽取2张奖券，求抽到的两张奖券中至少有一张是二等奖的概率。参考答案：11/508.一个袋子里有3个硬币，分别是1元、5角、1角，现随机取出2个硬币，求取出的两个硬币总面值超过1元的概率。参考答案：1/3标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：C解析：从袋子里随机抽取一个球，抽到红球的概率是红球个数与总球个数的比值，即5/(5+3)=5/8。选项A、B、D的计算结果均不正确。2.参考答案：C解析：通过抽样调查可以估计总体的情况，但不能完全代表总体。选项A、B、D的说法均不正确。3.参考答案：B解析：由于事件A和事件B相互独立，根据概率的加法公式，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.6+0.7-0.6×0.7=0.88。选项A、C、D的计算结果均不正确。4.参考答案：B解析：射手连续射击3次，恰好命中2次的情况有C(3,2)×0.8^2×0.2=3×0.64×0.2=0.384。选项A、C、D的计算结果均不正确。5.参考答案：D解析：设盒子里有n个球，则抽到两个球颜色相同的概率为n(n-1)/(2n(n-1))=1/2，即n(n-1)/(2n(n-1))=1/6，解得n=6。选项A、B、C的计算结果均不正确。6.参考答案：C解析：根据平均数的定义，(3+5+7+x+9)/5=6，解得x=5。选项A、B、D的计算结果均不正确。7.参考答案：A解析：选出的小组中恰好有2名男生和1名女生的概率为C(20,2)×C(10,1)/(C(30,3))=190/406=1/3。选项B、C、D的计算结果均不正确。8.参考答案：B解析：根据二项分布的性质，E(X)=np=6，D(X)=np(1-p)=4，解得n=12，p=1/2。选项A、C、D的计算结果均不正确。9.参考答案：A解析：由于空气质量指数近似服从正态分布N(100,16)，则标准差σ=4，根据正态分布的性质，P(X120)=P(X100+2σ)=1-P(X≤100-2σ)=1-0.5=0.5-0.1587=0.1587。选项B、C、D的计算结果均不正确。10.参考答案：B解析：样本量较小，不能完全代表总体，这种差异可能是由于随机因素造成的。选项A、C、D的说法均不正确。二、填空题1.参考答案：{1,2}解析：集合A={x|x^2-3x+2=0}，解方程x^2-3x+2=0得x=1或x=2，所以A={1,2}。A∪{1}表示集合A与{1}的并集，即{1,2}∪{1}={1,2}。2.参考答案：f(x)=log_2(2-x)解析：函数f(x)=log_2(x+1)的图像关于直线x=1对称的函数解析式为f(x)=log_2(2-x)。因为对称轴为x=1，所以将x+1替换为2-x即可得到对称后的函数解析式。3.参考答案：75°解析：在△ABC中，内角和为180°，所以角C=180°-角A-角B=180°-60°-45°=75°。4.参考答案：-3解析：向量a=(1,2)，向量b=(-2,1)，则向量a•b=1×(-2)+2×1=-2+2=-3。5.参考答案：15/196解析：视力正常的学生人数为500×(1-0.2)=400人。至少有3名学生视力正常的概率为1-P(0名学生视力正常)-P(1名学生视力正常)-P(2名学生视力正常)。P(0名学生视力正常)为(400/500)^50≈0.128，P(1名学生视力正常)为C(50,1)×(400/500)×(100/500)^49≈0.345，P(2名学生视力正常)为C(50,2)×(400/500)^2×(100/500)^48≈0.382。所以至少有3名学生视力正常的概率为1-0.128-0.345-0.382=15/196。6.参考答案：5/12解析：从9个球中随机取出3个球的总取法数为C(9,3)=84。取出的3个球中至少有2个红球的取法数为C(5,2)×C(4,1)+C(5,3)=10×4+10=50。所以概率为50/84=5/12。7.参考答案：9解析：平均数为6，所以(3+5+7+x+9)/5=6，解得x=9。8.参考答案：0.24解析：事件A与事件B互斥，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.6+0.4=1。事件A与事件B都不发生的概率为1-P(A∪B)=1-1=0。但题目要求事件A与事件B都不发生的概率，所以为0.6×0.4=0.24。9.参考答案：-2解析：直线l1:y=2x+1的斜率为2，直线l2:ax-y+3=0的斜率为a。若l1⊥l2，则2×a=-1，解得a=-2。10.参考答案：1/3解析：事件M为“取出的球数字为偶数”，事件N为“取出的球数字大于3”。袋中有6个球，数字为偶数的球有3个（4,6），数字大于3的球有3个（4,5,6）。事件M∩N为“取出的球数字为偶数且大于3”，有2个球（4,6）。所以P(M|N)=P(M∩N)/P(N)=2/3÷3/6=1/3。三、判断题1.参考答案：√解析：抛掷一枚质地均匀的骰子两次，所有可能的结果有36种（6×6），其中点数之和为7的组合有（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）共6种，所以概率为6/36=1/6。2.参考答案：×解析：中位数和众数不一定不相等，例如在一组数据5,5,7,9中，中位数是7，众数是5，它们可以相等；又如在一组数据3,4,4,7中，中位数是4，众数也是4，它们也可以相等。3.参考答案：×解析：如果事件A和事件B互斥，说明它们不能同时发生，所以它们同时发生的概率为0，而它们概率之和是P(A)+P(B)，显然不等于0。4.参考答案：√解析：样本频率分布直方图中的每个矩形的面积等于该组的频率除以矩形的高度（即组距），由于矩形高度是固定的，所以每个矩形的面积就等于相应组的频率。5.参考答案：√解析：一副标准的52张扑克牌中有13张红桃，所以抽到红桃的概率是13/52=1/4。6.参考答案：√解析：相关系数r的绝对值越接近1，说明两个变量之间的线性关系越强，模型的拟合效果越好。7.参考答案：√解析：在独立性检验中，卡方统计量的值越大，说明观察频数与期望频数之间的差异越大，从而拒绝独立性的假设，即两个分类变量之间关联性越强。8.参考答案：√解析：根据二项分布的性质，期望值E(X)=np，其中n是试验次数，p是每次试验成功的概率。9.参考答案：√解析：根据正态分布的性质，大约68%的数据落在均值加减1个标准差的范围内，这是正态分布的典型特征。10.参考答案：√解析：根据大数定律，当试验次数足够多时，事件发生的频率会越来越接近事件发生的概率，即稳定在事件发生的概率附近。四、简答题1.参考答案：样本频率分布直方图的主要作用包括：①直观地显示数据分布的形状，如对称性、偏态性等；②便于发现数据中的集中趋势和离散程度；③可以估计总体分布情况，为后续的统计推断提供依据。解析：本题考查样本频率分布直方图的应用。直方图通过将数据分组并绘制矩形条形来表示各组的频率，能够直观反映数据的分布特征。其作用主要体现在：首先，能够清晰地展示数据的集中趋势和离散程度，例如通过观察直方图可以判断数据是集中在某个区间还是均匀分布；其次，直方图能够揭示数据分布的形状，如对称分布、左偏或右偏分布等，这对于后续的统计推断非常重要；最后，通过样本频率分布直方图可以估计总体的分布情况，为参数估计和假设检验等统计推断方法提供基础。这些作用使得直方图成为统计学中一种非常常用的数据可视化工具。2.参考答案：线性回归方程中，系数b的统计意义是回归系数，表示自变量X每增加一个单位时，因变量Y的期望值增加的数量。解析：本题考查线性回归方程中系数的意义。线性回归方程通常表示为Y=a+bx，其中a是截距，b是斜率，即回归系数。系数b反映了自变量X和因变量Y之间的线性关系强度和方向。具体来说，b的值表示当自变量X增加一个单位时，因变量Y的期望值会发生多大的变化。如果b为正，说明X和Y正相关，即X增加时Y也倾向于增加；如果b为负，说明X和Y负相关，即X增加时Y倾向于减少；如果b为0，说明X和Y之间没有线性关系。因此，系数b是线性回归分析中非常重要的参数，它直接反映了自变量对因变量的影响程度。3.参考答案：古典概型的两个基本特征是：①试验的所有可能结果只有有限个；②每个结果出现的可能性相等。解析：本题考查古典概型的定义。古典概型是概率论中最基本的一种概率模型，它满足两个基本特征。首先，试验的所有可能结果只有有限个，这意味着样本空间是有限的，可以用列举法来描述所有可能的结果。例如，抛一枚硬币只有两种可能结果：正面或反面；掷一个六面骰子有六种可能结果：1、2、3、4、5、6。其次，每个结果出现的可能性相等，即每个基本事件的概率都是相同的。这是古典概型的关键特征，它使得我们可以通过计算基本事件的数量来得到任何事件的概率。如果这两个特征不满足，则不能称为古典概型。4.参考答案：当随机变量X服从二项分布B(n,p)时，其期望E(X)=np，方差D(X)=np(1-p)。期望E(X)表示在n次独立重复试验中，事件A发生的平均次数；方差D(X)表示事件A发生次数的分散程度。解析：本题考查二项分布的期望和方差。二项分布是描述n次独立重复试验中事件A发生次数的概率分布，其中每次试验事件A发生的概率为p。根据概率论的知识，二项分布的期望和方差有明确的表达式。期望E(X)表示在n次试验中事件A发生的平均次数，其计算公式为E(X)=np。方差D(X)表示事件A发生次数的分散程度，其计算公式为D(X)=np(1-p)。期望反映了事件A发生的平均趋势，而方差则反映了事件A发生次数的波动情况。这两个参数对于理解和分析二项分布非常重要。5.参考答案：超几何分布与二项分布的主要区别在于：①超几何分布是在不放回抽样情况下计算的，而二项分布是在放回抽样情况下计算的；②超几何分布的期望和方差计算公式不同。解析：本题考查超几何分布和二项分布的区别。超几何分布和二项分布都是描述离散型随机变量概率分布的模型，但它们适用于不同的抽样方式。超几何分布适用于不放回抽样，即每次抽取一个元素后不再放回，下一次抽取时样本空间会减少。例如，从一副扑克牌中不放回地抽取5张牌，抽到的红桃数量就服从超几何分布。而二项分布适用于放回抽样，即每次抽取一个元素后放回，下一次抽取时样本空间保持不变。例如，抛一枚硬币10次，正面出现的次数就服从二项分布。由于抽样方式的不同，超几何分布和二项分布的期望和方差计算公式也不同。超几何分布的期望为E(X)=np，方差为D(X)=np(1-p)(N-n)/(N-1)，而二项分布的期望和方差如上一题所述。6.参考答案：总体是指研究对象的全体，个体是总体中的每一个元素，样本是从总体中抽取的一部分个体，样本容量是样本中个体的数量。解析：本题考查统计学中的基本概念。在统计学中，我们通常研究某个总体，即所有研究对象的集合。总体可以是有限的，也可以是无限的。个体是总体中的每一个元素，例如，如果我们研究某个班级学生的身高，那么每个学生就是一个个体。为了了解总体的特征，我们通常从总体中抽取一部分个体作为样本进行观察和研究。样本是从总体中抽取的一部分个体，它应该能够代表总体的特征。样本容量是样本中个体的数量，它的大小会影响统计推断的精度和可靠性。这些基本概念是统计学的基础，理解它们对于进行正确的统计推断非常重要。7.参考答案：三种常见的抽样方法包括：①简单随机抽样，特点是每个个体被抽中的概率相等；②系统抽样，特点是按照一定规则从总体中逐个抽取个体；③分层抽样，特点是先将总体分层，再从每层中随机抽取个体。解析：本题考查常见的抽样方法。抽样方法是统计学中从总体中抽取样本的方法，不同的抽样方法适用于不同的研究场景。简单随机抽样是最基本的一种抽样方法，它是指从总体中随机抽取样本，每个个体被抽中的概率相等。简单随机抽样的优点是操作简单，但可能存在抽样偏差，尤其是在总体分布不均匀的情况下。系统抽样是另一种常见的抽样方法，它是指按照一定规则从总体中逐个抽取个体，例如，可以每隔10个抽取一个个体。系统抽样的优点是操作简单，且可以保证样本的分布比较均匀，但可能存在周期性偏差。分层抽样是将总体分成若干层，每层内部的个体比较相似，不同层之间的个体差异较大，然后再从每层中随机抽取个体。分层抽样的优点是可以提高样本的代表性，尤其是在总体内部差异较大时。8.参考答案：在假设检验中，犯第一类错误的含义是拒绝了实际上正确的原假设，犯第二类错误的含义是接受了实际上错误的原假设。两者的区别在于拒绝原假设时可能犯的错误与接受原假设时可能犯的错误不同。解析：本题考查假设检验中的错误类型。假设检验是统计学中用来判断关于总体的假设是否成立的方法。在假设检验中，我们通常有一个原假设H0和一个备择假设H1，然后通过样本数据来检验原假设是否成立。在假设检验中，可能会犯两种错误：第一类错误和第二类错误。第一类错误是指拒绝了实际上正确的原假设，即本来H0是正确的，但我们却错误地拒绝了它。犯第一类错误的概率用α表示，也称