测量误差基本知识课件1

*測量誤差*

測量誤差基本知識

*測量誤差*5.1測量誤差概念一、測量誤差產生的原因二、測量誤差的分類三、多餘觀測四、偶然誤差的特性*測量誤差*一、測量誤差產生的原因儀器觀測者外界環境注意：誤差不可避免，可以減少和消除；粗差（瞄錯目標，讀錯讀數等）不允許，應注意檢核。觀測條件稱非等精度觀測稱等精度觀測相同，不相同，*測量誤差*二、測量誤差的分類1、系統誤差：1）定義：在相同的觀測條件下，對某量進行一系列的觀測，如誤差出現的符號和大小相同或按一定的規律變化。2）特性：累積性3）消除或削減措施（1）計算改正（2）合理的觀測方法（3）對儀器檢校*測量誤差*2、偶然誤差1）定義：在相同的觀測條件下，對某量進行一系列的觀測，如誤差出現的大小和符號均不一致（隨機誤差）例如：釐米分劃的水準尺讀數，毫米估計無規律。*測量誤差*三、多餘觀測定義：多餘必要的觀測，以提高觀測精度。例如：鋼尺丈量採用往返測： 往測，必要觀測； 返測，多餘觀測，用來檢核。 取平均值，提高成果品質。*測量誤差*四、偶然誤差的特性真誤差=真值-觀測值

i=X-li

(i=1,2,…,n)例如：測量三角形內角和產生的偶然誤差：

=180-l——閉合差*測量誤差*誤差區間

d

"

為正值

為負值備注誤差個數ni頻率ni/n

ni—d

n誤差個數ni頻率ni/n

ni—d

n0.0~0.50.5~1.01.0~1.51.5~2.02.0~2.52.5~3.03.0以上1913852100.1980.1350.0830.0520.0210.01000.3960.2710.1670.1040.0420.02102012942100.2080.1250.0940.0420.0210.01000.4170.2500.1880.0830.0420.0210

d

為組距

n為誤差的個數和480.50480.50（1）小誤差個數比大誤差多（2）絕對值相同的正、負誤差的個數大致相等（3）最大誤差不超過3.0"*測量誤差*（1）在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值有一定的限值；（有界性）（2）絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差出現的概率大；（單峰性）（3）絕對值相等的正、負誤差出現的概率相同；（對稱性）（4）同一量的等精度觀測，其偶然誤差的算術平均值，隨觀測次數n的無限增加而趨於零（抵償性）——偶然誤差的數學期望等於零偶然誤差的統計特性：*測量誤差*0.021直方圖橫坐標：真誤差

閉合差Y頻率組距O0.51.01.52.02.53.0-0.5-1.0-1.5-2.0-2.5-3.00.3960.2710.1670.1040.0420.4170.2500.1880.0830.0420.0210.135縱坐標：誤差區間

d

"

為正值

為負值頻率ni/n

ni—d

n頻率ni/n

ni—d

n0.0~0.50.5~1.01.0~1.51.5~2.02.0~2.52.5~3.03.0以上0.1980.1350.0830.0520.0210.01000.3960.2710.1670.1040.0420.02100.2080.1250.0940.0420.0210.01000.4170.2500.1880.0830.0420.0210和0.500.50*測量誤差*

(>0)—與觀測條件有關的參數，數理統計中稱為標準差。方差：正態分佈的數學方程式：*測量誤差*討論：當=0時，y取得極大值：(1)(2)

1<

2時,

y1極大>y2極大(3)測量中可用

作為衡量精度的一個標準。

(Ⅰ)(Ⅱ)o*測量誤差*5.2評定精度的標準精度：指誤差分佈的密集或離散的程度，即離散度的大小。衡量精度的指標：能夠反映誤差離散度大小的數字。一、中誤差二、相對誤差三、極限誤差*測量誤差*一、中誤差定義：按有限次觀測的偶然誤差求得的標準差為中誤差m。*測量誤差*二、相對誤差定義：觀測值中誤差的絕對值與觀測值之比。*測量誤差*三、極限誤差偶然誤差的概率：P{-

<<+}=0.683P{-2

<<+2

}=0.955P{-3

<<+3

}=0.997∵

極=3

3m∴

容

=2

2m或：

容

=3

3m*測量誤差*5.3觀測值的精度評定一、算術平均值二、觀測值的改正值三、按觀測值的改正值計算中誤差為什麼引入算術平均值？通常，真值（理論值）無法確定：

i=X

–li

用算術平均值代替真值：vi=x-li

從而用觀測值的改正數v代替

計算中誤差。*測量誤差*一、算術平均值設對某量進行了一組等精度觀測，其值為l1,l2,...,ln，真值為X，真誤差為

1,2,...,n,則：

1=X-l1

2=X–l2.................

n

=X–ln

[]=nX-[l]*測量誤差*[]limx=limX-——=X

n

n

n[][l]——=X-——=X–x

n

n

所以算術平均值x是最接近於真值的一個值，稱最可靠值(或最或然值）[l][]

x=——=X-——

n

n*測量誤差*

定義：算術平均值與觀測值之差；

vi=x-li

[v]=n

x-[l]=0二、觀測值的改正值*測量誤差*三、按觀測值的改正值計算中誤差

1=X-l1

2=X-l2.............

n=X-ln

則：

1=v1+

2=v2+

.................

n=vn+

令X-x=

1-v1=X-x

2-v2=X-x.....................

n

-vn

=X-xv1=x-l1v2=x-l2.............vn=x-ln-*測量誤差*[]=[vv]-2[v]+n

2=[vv]+n

2[vv]1

m2=——＋—m2

n

n[][vv][

]——=——+——

n

n

n2[

]

2=——

n20（當n

時）[

]2=——+—（

1

2+

1

3+...）

n2n21

2=—(12+22+...+n2+21

2+

2

1

3+...)

n2[l]nX-[l][X-l][]=X-x

=X-——=———=———=——

n

nnn[][vv]——=——+2

n

n*測量誤差*[vv]m2=——

n-1——白塞爾公式

算術平均值的中誤差：

l1+

l2+

...+ln

x=——————

n*測量誤差*算例：計算中誤差序號觀測值li△li改正值vivi2計算x、m、mx178°26′42″278°26′36″378°26′24″478°26′45″578°26′30″678°26′33″∑42″36″24″45″30″33″210″-7″-1″+11″-10″+5″+2″0″491121100254300*測量誤差*5.4誤差傳播定律及其應用一、誤差傳播定律：定義：闡述觀測值中誤差與其函數中誤差之間關係的定律設有一般函數：Z=F(x1,x2,...,xn)式中xi(i=1,2,...,n)為可直接觀測的未知量，觀測值為li，真誤差為

xi，Z為不便於直接觀測的未知量，真誤差為

Z取全微分：

F

F

FdZ=——dx1+——dx2+...+——dxn

x1

x2

xn因為

Z

、

xi很小，故可用

Z、

xi取代dZ和dxi*測量誤差*則：

Z=f1

x1+f2

x2+...+fn

xn設對各xi進行了k次觀測，則有

Z(1)=f1

x1(1)+f2

x2(1)+...+fn

xn(1)

Z(2)=f1

x1(2)+f2

x2(2)+...+fn

xn(2)

………

………

………

………

Z(k)=f1

x1(k)+f2

x2(k)+...+fn

xn(k)上式方程兩邊取平方，然後相加得：

F

F

F

則：

Z=——x1+——x2+...+——xn

x1

x2

xn設

n[Z2]=f12[x12]+f22[x22]+...+fn2[xn2]+

fifj

[xi

xj]

i=1,j=1

i

j

*測量誤差*[Z2][x12][x22][xn2]lim——=limf12——+f22——+...+fn2——

k

k

k

k

k

k

Z2=f12

12

+f22

22+...+fn2

n2當n為有限次時

mZ2=f12

m12

+f22

m22+...+fn2

mn2[Z2][x12][x22][xn2]n[xi

xj]——=f12——+f22——+...+fn2——+

fifj

———

k

k

k

k

i=1,j=1

k

i

j即：方程兩邊同除以k:[xi

xj]

因：lim———=0

k