2027届河南开封市名校高三高考联考模拟数学试题（含解析）

试卷第=page11页（共=sectionpages33页）试卷第=page11页（共=sectionpages33页）河南开封市名校2027届高三上学期联考模拟预测数学试题（120分钟150分）1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效.3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效.4．本试卷共19题，总分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集，集合，则（

）A． B．C． D．2．已知一组数据3，7，11，7，13，15，则该组数据的第40百分位数为（

）A．7 B．9 C．11 D．123．已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．4．已知非零向量，满足，，与的夹角为120°，则（

）A． B． C．7 D．105．在中，，，，为的中点，，与交于点，则（

）A． B． C． D．6．古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示，即，设，则（

）A． B． C． D．7．“”是“”的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件8．已知椭圆的焦距为是上的任意一点，过点作两条直线与圆相切，切点分别为.若当最大时，，则的离心率为（

）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知复数（，为虚数单位），则（

）A．当时，B．当为纯虚数时，C．在复平面内对应的点恒在直线上D．当时，10．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的若干种价格进行试销，统计了连续5个月的月销售量y（单位：千件）与售价x（单位：元／件）的情况如下表所示.则（

）售价x（元/件）1011121314月销售量y（千件）109975参考公式：①；②；③.参考数据：，，，.A．y关于x的线性回归方程为：B．相关系数（小数点后保留两位）C．当售价为15元/件时，预测月销售量为3.4千件D．在线性回归方程的估计下，样本点的残差为11．已知实数m，n满足，且，则（

）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知，且，则________．13．数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132，则这个数列的第1项是___________．14．已知集合，集合，现有甲，乙两名同学玩一种游戏，甲、乙两人分别从集合，中随机抽取个不同的元素各构成最大的三位数和，若，则甲获得胜利．甲获得胜利的概率为______．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．在中，内角，，的对边分别为，，，，．(1)求；(2)若为边上一点，，，证明：．16．为研究大学生使用学习工具的情况与自主思考能力是否有关联，随机调查某校100名大学生，数据如下：单位：人使用学习工具的情况自主思考能力合计强一般经常使用222850不经常使用341650合计5644100(1)依据小概率值的独立性检验，分析大学生使用学习工具的情况是否与自主思考能力有关．(2)小余之前从未使用过学习工具，他计划开始尝试使用学习工具进行学习，他在第天使用学习工具的概率为，设每天是否使用学习工具进行学习相互独立．设小余前3天中使用学习工具进行学习的天数为，求的分布列与期望．参考公式：，．参考数据：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.84110.82817．已知是数列的前项和，且满足．(1)求数列的通项公式；(2)在平面直角坐标系中，已知点，定义点（其中），记．（i）求的值；（ii）证明：．18．已知椭圆（），为轴上的一点，椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点．(1)若，且，求椭圆的离心率；(2)若且，，是上两个不同的点（，，不共线），求的最大值；(3)设经过点的直线交椭圆于，两点（点，均在轴上方），若对于任意的，都存在直线，使得，求实数的取值范围．19．已知函数，．(1)判断函数的单调性．(2)若方程有两个根．①求实数的取值范围；②证明：．答案第=page11页（共=sectionpages22页）答案第=page11页（共=sectionpages22页）1．C【详解】∵全集，集合，∴.2．A【分析】先将数据从小到大排序，再根据百分位数的定义计算对应位置，即可求得第40百分位数．【详解】首先将该组数据从小到大排列为：，数据总个数，因为，因此该组数据的第40百分位数为排列后的第3个数据7．3．A【详解】由题意得，，则.4．D【分析】利用向量数量积的分配律展开表达式，结合数量积定义，将展开求解即可.【详解】.5．C【分析】利用表示，再利用平面向量的数量积求出夹角的余弦值即为所求.【详解】由，，可得，因为为的中点，所以，则，即，，因为，所以，则，即，，且，因此，.故选：C.

6．D【分析】根据给定条件，切化弦，再利用二倍角公式及诱导公式计算即得.【详解】依题意，.故选：D7．C【分析】分别求解两个不等式，再通过判断两个解集之间的包含关系，确定条件类型.【详解】由，得，所以“”是“”的充分不必要条件．故选：C.8．A【分析】根据切线性质可得垂直关系，进而根据锐角三角函数得，即可求解为短轴端点时，最小，根据三角形边角关系即可求解，进而根据齐次式即可求解离心率.【详解】设坐标原点为，由题意知，，故.因为，当最大时，最大，即最大，故只需最小，当为短轴端点时，最小，此时，，所以，所以，即，化简得，得，故.故选：A9．BC【分析】根据共轭复数和纯虚数的定义可判断A,B,求出复数对应的点可判断C，利用复数的乘法运算可判断D.【详解】对于A，当时，，，A不正确；对于B，，当为纯虚数时，，即，B正确；对于C，，在复平面内对应的点的坐标为，因为，所以C正确；对于D，当时，，，D不正确.10．ABD【分析】由已知公式求得线性回归方程可判断ACD，由相关系数计算公式可判断B.【详解】计算均值：，，选项A：根据公式，，线性回归方程为，A正确；选项B：相关系数，B正确；选项C：代入回归方程：，预测月销售量为千件，不是千件，C错误；选项D：时，，残差，D正确.11．ACD【分析】根据题意可得，即，构造函数，利用其单调性和函数值确定，进而等量代换将双未知量变为单未知量，即可一一求解.【详解】由可得，，即，则有，也即，设函数，则，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，且当时，；当时，；因为，所以，即，所以，即，A正确；，B错误；设，在恒成立，且，所以存在唯一使得，由可得，，所以，，设在上单调递增，所以，所以，C正确；，设，，令，，易得函数在单调递增，且，所以函数在单调递减，且，所以恒成立，所以单调递增，所以，即，所以正确，故D正确；故选:ACD.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于利用同构思想，将原等式化为，进而构造函数，利用单调性和函数值确定，进而利用等量代换，即可求解.12．【详解】由，所以．13．20或180【分析】利用等差等比数列通项，建立方程组可求解，即可【详解】设前三项的公比为，后三项的公差为，则数列的各项依次为，，80，，．于是得，解方程组，得或，所以这个数列是20，40，80，96，112或180，120，80，16，，则这个数列的第1项是20或18014．【分析】甲若抽到数字6，则构成的最大三位数一定大于乙；甲若没抽到6，那么甲和乙构成的最大三位数都等可能地取自同样的10个值，此时可由对称性求概率.【详解】由题意得甲从集合中抽取3个不同元素，共有种抽法，乙从集合中抽取3个不同元素，共有种抽法，情况一：甲抽到数字，甲抽到6的抽法数为，此时甲构成的最大三位数的百位一定是，而乙构成的最大三位数最大只能是，所以一定有故这种情况下不符合题意；此时情况二：甲没有抽到数字，甲没有抽到6的抽法数也为，这时甲实际上也是从集合中抽取3个不同元素，与乙的抽法范围完全相同，因此，甲和乙构成的最大三位数都等可能地取自同样的10个值，且地位对称，所以在这种情况下：又因为共有10个不同的最大三位数，故于是综上情况一和情况二，可得：故甲获胜的概率为.15．(1)(2)由（1）知，因为，所以，由及，得，所以，所以，由余弦定理，得，即，所以，解得，整理得，又，所以为等边三角形，又，所以．【详解】（1）由及，得；由正弦定理，得，所以，又，所以．（2）略16．(1)依据小概率值的独立性检验，认为大学生使用AI学习工具的情况与自主思考能力有关.(2)的分布列为：0123期望.【分析】（1）根据独立性检验计算值，再判断即可；（2）由题可知的可能取值为，再利用独立事件乘法公式得到对应概率，列出分布列求出期望即可.【详解】（1）零假设为：大学生使用AI学习工具的情况与自主思考能力无关.，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为大学生使用AI学习工具的情况与自主思考能力有关.（2）由题意，的可能取值为，，，，，故的分布列为0123.17．(1)(2)（i）；（ii）由题意可知：，则，先证明以下结论：．因为，且，所以，故．因为，则，原式得证．【分析】（1）根据求解即可；（2）（i）由题知，，则，再利用和差公式求值即可；（ii）先证，即，，求出即可证明．【详解】（1）时，，时，，化简得：，经检验得，时也满足，故．（2）（i）由题意：，则，所以，即．（ii）略18．(1)(2)(3)【分析】（1）由条件求出，即得椭圆的离心率；（2）结合条件判断当与椭圆相切时，最大，设切线方程，将其与椭圆方程联立，根据判别式等于零求得，再利用到角公式计算即得；（3）设，与椭圆方程联立，由推得，根据向量数量积的坐标公式化简计算，推得存在，使得成立，即得代入，得对恒成立，求解不等式，即得参数的取值范围.【详解】（1）因，则，则，，则椭圆的离心率为；（2）因，则，此时，在椭圆的外部，显然当与椭圆相切时，最大.设过点的直线方程为，将其与联立，消去，得，由化简得，因，代入解得，即直线的斜率分别为，由到角公式可得，则，故的最大值为；（3）依题意设，代入，消去，整理得，由化简得①.设，则（*），，将（*）代入，化简得，依题意，存在，使得②成立，因恒成立，故只需对恒成立，则恒成立.此外，还需满足①式，由②得，将其代入①，整理得：对恒成立，因，则，即，解得，因，则，因点，均在轴上方，则对恒成立（当时取，当时取均能保证为正数），则.综上，实数的取值范围为.19．(1)在上单调递减，在上单调递增(2)①②证明见解析【分析】（1）先对函数求导，然后根据导数的正负判断函数的单调区间即可；（2）①将方程分离参数得，构造函数，由导数判断函数的单调性，从而得到最小值，即可求得的取值范围；②先构造函数证明，再构造证得，结合的单调性推出，即，联立两步结论，代回原式即可完成不等式证明.【详解】（1）因为，，所以．由，得；由，得所以函数在上单调递减，在上单调递增．（2）①方程，即，，则．设，，则方程有两个根，即函数的图象与直线有两个不同的交点．因为