广东省佛山市禅城区2027届数学九年级第一学期期末学业质量监测试题含解析

广东省佛山市禅城区2027届数学九年级第一学期期末学业质量监测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB于点D，BC=3，AC=4，tan∠BCD的值为（）A．； B．； C．； D．；2．在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象如图所示，现给出以下结论：①；②；③；④（为实数）其中结论错误的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．如图，将绕点A按顺时针旋转一定角度得到，点B的对应点D恰好落在BC边上.若，则CD的长为（）A．1 B． C． D．24．如图，D是等边△ABC边AD上的一点，且AD：DB=1：2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC、BC上，则CE：CF=（）A． B． C． D．5．如图，在菱形中，，且连接则（）A． B．C． D．6．如图，点P在△ABC的边AC上，下列条件中不能判断△ABP∽△ACB的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．AB2＝AP•AC D．CB2＝CP•CA7．2的相反数是（）A． B． C． D．8．有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是偶数的概率为A． B． C． D．9．如图，在四边形ABCD中，ADBC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD＝2∠ACB，若DG＝3，EC＝1，则DE的长为()A．2 B． C．2 D．10．某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高米，底面半径米，则圆锥的侧面积是多少平方米（结果保留）．（）A． B． C． D．二、填空题(每小题3分,共24分)11．若m+n=3，则2m2+4mn+2n2-6的值为________．12．分解因式：x3y﹣xy3=_____．13．已知圆锥的侧面积为20πcm2，母线长为5cm，则圆锥底面半径为______cm．14．图形之间的变换关系包括平移、______、轴对称以及它们的组合变换．15．如果关于的方程有两个相等的实数根，那么的值为________，此时方程的根为_______．16．已知实数m，n满足等式m2+2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0，那么求的值是_____．17．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是______．18．已知线段是线段和的比例中项，且、的长度分别为2和8，则的长度为_________．三、解答题(共66分)19．（10分）如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．判断△ABC的形状，并证明你的结论；20．（6分）如图，在Rt△ABC中，，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，若BC＝6，sinA＝，求DE的长．21．（6分）列一元二次方程解应用题某公司今年1月份的纯利润是20万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的纯利润是22.05万元．假设该公司2、3、4月每个月增长的利润率相同．（1）求每个月增长的利润率；（2）请你预测4月份该公司的纯利润是多少？22．（8分）某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元，市场调查发现，这种双肩包每天的销售量(个)与y销售单价x(元)有如下关系:，设这种双肩包每天的销售利润为w元．(1)这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少元?(2)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元?23．（8分）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点及点O都在格点上（每个小方格的顶点叫做格点）．（1）以点O为位似中心，在网格区域内画出△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC位似（A′、B′、C′分别为A、B、C的对应点），且位似比为2：1；（2）△A′B′C′的面积为个平方单位；（3）若网格中有一格点D′（异于点C′），且△A′B′D′的面积等于△A′B′C′的面积，请在图中标出所有符合条件的点D′．（如果这样的点D′不止一个，请用D1′、D2′、…、Dn′标出）24．（8分）解下列方程（1）（2）25．（10分）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务.已知平面上两点，则所有符合且的点会组成一个圆.这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆.阿氏圆基本解法：构造三角形相似.（问题）如图1，在平面直角坐标中，在轴，轴上分别有点，点是平面内一动点，且，设，求的最小值.阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在上取点，使得；第二步：证明；第三步：连接，此时即为所求的最小值.下面是该题的解答过程(部分)：解：在上取点，使得，又.任务：将以上解答过程补充完整.如图2，在中，为内一动点，满足，利用中的结论，请直接写出的最小值.26．（10分）（1）计算：（2）已知，求的值

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、A【分析】根据余角的性质，可得∠BCD=∠A，根据等角的正切相等，可得答案．【详解】由∠ACB=90°，CD⊥AB于D，得

∠BCD=∠A

tan∠BCD=tan∠A=，

故选A．此题考查锐角三角函数的定义，利用余角的性质得出∠BCD=∠A是解题关键．2、B【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】①由抛物线可知：，，对称轴，∴，∴，故①错误；②由对称轴可知：，∴，，故②错误；③关于的对称点为，∴时，，故③正确；④当时，y的最小值为，∴时，，∴，故④正确故选：B.本题考查了二次函数图象与系数的关系，结合图象得出系数之间的关系是解题的关键.3、D【分析】由直角三角形的性质可得AB=2，BC=2AB=4，由旋转的性质可得AD=AB，可证△ADB是等边三角形，可得BD=AB=2，即可求解．【详解】解：∵AC=，∠B=60°，∠BAC=90°

∴AB=2，BC=2AB=4，

∵Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，

∴AD=AB，且∠B=60°

∴△ADB是等边三角形

∴BD=AB=2，

∴CD=BC-BD=4-2=2

故选：D．本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．4、B【详解】解：由折叠的性质可得，∠EDF=∠C=60º,CE=DE,CF=DF再由∠BDF+∠ADE=∠BDF+∠BFD=120º可得∠ADE=∠BFD，又因∠A=∠B=60º，根据两角对应相等的两三角形相似可得△AED∽△BDF所以，设AD=a，BD=2a，AB=BC=CA=3a，再设CE==DE=x，CF==DF=y，则AE=3a-x，BF=3a-y，所以整理可得ay=3ax-xy，2ax=3ay-xy，即xy=3ax-ay①，xy=3ay-2ax②；把①代入②可得3ax-ay=3ay-2ax，所以5ax=4ay，，即故选B．本题考查相似三角形的判定及性质．5、D【分析】菱形ABCD属于平行四边形，所以BCAD，根据两直线平行同旁内角互补，可得∠BAD与∠ABC互补，已知∠BAD=120°，∠ABC的度数即可知，且∠BCE=90°，CE=BC可推BCE为等腰直角三角形，其中∠CBE=45°，∠ABE=∠ABC-∠CBE，故∠ABE的度数可得．【详解】解：∵在菱形ABCD中，BCAD，∴∠BAD+∠ABC=180°（两直线平行，同旁内角互补），且∠BAD=120°，∴∠ABC=60°，又∵CEAD，且BCAD，∴CEBC，可得∠BCE=90°，又∵CE=BC，∴BCE为等腰直角三角形，∠CBE=45°，∴∠ABE=∠ABC-∠CBE=60°-45°=15°，故选：D．本题主要考察了平行线的性质及菱形的性质求角度，掌握平行线的性质：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补；菱形中，四条边的线段长度一样，根据以上的性质定理，从边长的关系推得三角形的形状，进而求得角度．6、D【分析】观察图形可得,与已经有一组角∠重合,根据三角形相似的判定定理,可以再找另一组对应角相等,或者∠的两条边对应成比例.注意答案中的、两项需要按照比例的基本性质转化为比例式再确定.【详解】解:项,∠=∠,可以判定;项,∠=∠,可以判定;项,,,可以判定;项,,,不能判定.本题主要考查了相似三角形的判定定理,结合图形,按照定理找到条件是解答关键.7、D【分析】根据相反数的概念解答即可．【详解】2的相反数是-2，

故选D．8、C【解析】正面的数字是偶数的情况数是2，总的情况数是5，用概率公式进行计算即可得.【详解】从写有数字1，2，3，4，5这5张纸牌中抽取一张，其中正面数字是偶数的有2、4这2种结果，正面的数字是偶数的概率为，故选C．【点睛】本题主要考查了概率公式的应用，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．9、C【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质可得DG=AG，根据等腰三角形的性质，得到，由三角形外角的性质，可得，再根据平行线的性质和等量关系可得，根据等腰三角形的性质得到ＣＤ＝ＤＧ，最后由勾股定理解题即可．【详解】为AF的中点，即DG为斜边AF的中线，设在中，根据勾股定理得，故选：C．本题考查勾股定理、直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．10、A【分析】根据勾股定理求得AB，再求得圆锥的底面周长即圆锥的侧面弧长，根据扇形面积的计算方法S=lr，求得答案即可．【详解】解：∵AO=8米，OB=6米，∴AB=10米，

∴圆锥的底面周长=2×π×6=12π米，

∴S扇形=lr=×12π×10=60π（米2）．

故选：A．本题考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，熟知圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．二、填空题(每小题3分,共24分)11、1【解析】原式=2（m2+2mn+n2）-6，=2（m+n）2-6，=2×9-6，=1．12、xy（x+y）（x﹣y）．【解析】分析：首先提取公因式xy，再对余下的多项式运用平方差公式继续分解．详解：x3y﹣xy3=xy（x2﹣y2）=xy（x+y）（x﹣y）．点睛：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式，要首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．13、1【分析】由圆锥的母线长是5cm，侧面积是20πcm2，求圆锥侧面展开扇形的弧长，然后再根据锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求解．【详解】解：由圆锥的母线长是5cm，侧面积是20πcm2，根据圆锥的侧面展开扇形的弧长为：=8π，再根据锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，可得=1cm．故答案为：1．本题考查圆锥的计算，掌握公式正确计算是解题关键．14、旋转【分析】图形变换的形式包括平移、旋转和轴对称．【详解】图形变换的形式，分别为平移、旋转和轴对称故答案为：旋转．本题考查了图形变换的几种形式，分别为平移、旋转和轴对称，以及他们的组合变换．15、1【分析】根据题意，讨论当k=0时，符合题意，当时，一元二次方程有两个相等的实数根即，据此代入系数，结合完全平方公式解题即可．【详解】当k=0，方程为一元一次方程，没有两个实数根，故关于的方程有两个相等的实数根，即即故答案为：1；．本题考查一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．16、1或﹣2【分析】分两种情况讨论：①当m≠n时，根据根与系数的关系即可求出答案；②当m=n时，直接得出答案．【详解】由题意可知：m、n是方程x1+1x﹣1=0的两根，分两种情况讨论：①当m≠n时，由根与系数的关系得：m+n=﹣1，mn=﹣1，∴原式2，②当m=n时，原式=1+1=1．综上所述：的值是1或﹣2．故答案为：1或﹣2．本题考查了构造一元二次方程求代数式的值，解答本题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于中等题型．17、且【解析】由关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得判别式，继而可求得a的范围．【详解】关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，，解得：，方程是一元二次方程，，的范围是：且，故答案为：且．本题考查了一元二次方程判别式以及一元二次方程的定义，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：（1）△＞0方程有两个不相等的实数根；（2）△=0方程有两个相等的实数根；（3）△＜0方程没有实数根．18、4【分析】根据线段是线段和的比例中项，得出，将a，b的值代入即可求解．【详解】解：∵线段是线段和的比例中项，∴即又∵、的长度分别为2和8，∴∴c=4或c=-4（舍去）故答案为：4本题考查了比例中项的概念，掌握基本概念，列出等量关系即可解答．三、解答题(共66分)19、见解析.【分析】利用圆周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，所以∠BAC=∠ABC=60°，从而可判断△ABC的形状；【详解】解：△ABC是等边三角形．证明如下：在⊙O中，∵∠BAC与∠CPB是弧BC所对的圆周角，∠ABC与∠APC是弧AC所对的圆周角，∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，又∵∠APC=∠CPB=60°，∴∠ABC=∠BAC=60°=∠ACB，∴△ABC为等边三角形.本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定，解题的关键是掌握圆周角定理，正确求出∠ABC=∠BAC=60°.20、【分析】先在Rt△ACB中利用三角函数求出AB长，根据勾股定理求出AC的长，再通过证△ADE∽△ACB，利用对应边成比例即可求.【详解】解：∵BC＝6，sinA＝，∴AB＝10，∴AC＝=8，∵D是AB的中点，∴AD＝AB＝5，∵∠ADE=∠C=90°,∠A=∠A∴△ADE∽△ACB，∴＝，即＝，解得：DE＝．本题考查三角函数和相似三角形的判定与性质的应用，解直角三角形和利用相似三角形对应边成比例均是求线段长度的常用方法.21、（1）每个月增长的利润率为5%．（2）4月份该公司的纯利润为23.1525万元．【分析】（1）设出平均增长率,根据题意表示出1月份和3月份的一元二次方程即可解题,（2）根据上一问求出的平均增长率,用3月份利润即可求出4月份的纯利润.【详解】解：（1）设每个月增长的利润率为x，根据题意得：20×（1+x）2=22.05，解得：x1=0.05=5%，x2=﹣2.05（不合题意，舍去）．答：每个月增长的利润率为5%．（2）22.05×（1+5%）=23.1525（万元）．答：4月份该公司的纯利润为23.1525万元．本题考查了一元二次方程的实际应用,属于简单题,理解平均增长率的含义是解题关键.22、（1）当x=45时，w有最大值，最大值是225;（2）获得200元的销售利润，销售单价应定为40元【分析】（1）根据销售利润=单件利润销售量，列出函数关系式，根据二次函数的性质求出最大值即可；（2）根据二次函数与一元二次方程的关系可计算得，同时要注意考虑实际问题，对答案进行取舍即可．【详解】解:与之间的函数解析式根据题意得:w，∵，当x=45时，w有最大值，最大值是225(2)当时，，解得，不符合题意，舍去，答:该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元．本题考查二次函数与实际问题，解题的关键是能够根据题意列出函数关系式，并根据二次函数的性质求解实际问题．23、（1）详见解析；（2）10；（3）详见解析【分析】（1）依据点O